内嵌管式辐射地板的频域热特性分析

李安邦　徐新华

摘要：基于经典有限差分原理建立了内嵌管式辐射地板的频域有限差分（FDFD）模型，同时采用Fluent软件建立了内嵌管式辐射地板的CFD模型作为参考模型，将内嵌管式辐射地板FDFD模型在典型频域点的计算结果转换成时域内的幅值与相角，并与CFD模型的计算结果进行对比.FDFD模型能准确预测内嵌管式辐射地板的热特性.采用FDFD模型进一步计算了不同厚度绝热层的辐射地板的频域热特性，分析了绝热层厚度对内嵌管式辐射地板热特性的影响.结果表明，在高频区域，绝热层厚度对地板传热的影响较小，而在低频区域内影响较为明显，尽管绝热层厚度取到40 mm，地板下表面仍存在较大的热流损失，约占管道热流的16%.

关键词：频域有限差分法；内嵌管式辐射地板；频域热特性；CFD

中图分类号：TU832 文献标识码：A

由于内嵌管式地板辐射系统相比于空气空调系统具有更好的热舒适性以及更高的能效，该系统在建筑里越来越多地被使用[1-3].在内嵌管式地板辐射系统的设计过程中，准确的能耗模拟模型可以帮助设计人员确定合适的系统规模以及选择更优化的系统运行策略[4].关于内嵌管式地板传热模型的动态解析求解很难实现，目前在内嵌管式地板传热模拟计算中主要采用的是半解析模型[5]、简化计算模型[6]以及数值模型[7-8].半解析模型和简化模型虽然计算比较方便，但由于对原物理模型进行了较大程度的简化，计算结果偏差较大.时域数值模型（比如有限元模型、有限差分模型等）都可以获得具有较高准确度的计算结果，但是需要耗费大量的计算时间，且精度越高所需的计算时间代价越高.频域差分法（frequencydomain finitedifference method， FDFDM） 在电磁领域有着较为广泛的应用[9-10]，而在求解传热问题方面的应用较少.相比于时域的数值模型，FDFDM主要有两大特点：其一，计算过程中没有时间项，在求解周期性传热问题时，无论周期的长短，FDFDM计算热流以及温度的衰减和延迟所需要的时间远小于时域数值模型；其二，FDFDM计算出频域热响应可以作为简化模型参数辨识的数据基础，例如：多项式传递函数模型的辨识[11]，RC网络模型的辨识[12].本文将采用FDFD方法计算带有不同绝热层厚度的内嵌管式辐射地板的频域热特性，并分析不同绝热层厚度对内嵌管式辐射地板的频域热特性的影响.

1内嵌管式辐射地板的FDFD模型

内嵌管式辐射地板的结构如图1所示，其中绝热层的厚度δc将作为变量来讨论绝热层厚度对内嵌管式辐射地板的频域热特性的影响.以图1中的abcd结构为研究对象，并将该结构划分成有限个微小的矩形单元.内嵌管式辐射地板中各材料的热物性如表1所示.

联立所有单元的矩阵方程得到关于整个计算区域热流平衡的大型稀疏矩阵方程，通过对这一大型稀疏矩阵方程进行求解就可以得到任意单元频域热响应.

2内嵌管式辐射地板的CFD模型

随着计算机科学和数值计算等学科的发展，计算机数值模拟日趋成熟，在一些领域内实验成本很高甚至有的实验难以实现，许多研究[13-14]常采用数值模拟替代真实实验作为检验模型是否准确的参考依据.本文采用该结构CFD模型预测结果作为参考值.建立图1中abcd结构的CFD模型，通过CFD模型和FDFD模型计算数据的对比来说明FDFD模型的准确性.对于任意频率点ω，CFD模型的外扰为以2π/ω为周期的单位谐波，该单位谐波将以用户自定义函数（UDF）的形式输入到CFD模拟软件中.在FDFD模型和CFD模型中，abcd结构的上表面ab定义为第3类边界条件，ab表面与室内的综合换热系数为7 W/m2·K，下表面cd和管道表面（忽略管道壁厚）定义为第1类温度边界条件（给定温度），表面ac和bd均看作绝热面.

3FDFD模型与CFD模型的计算结果对比

对于线性导热问题， 频域热响应（板壁对温度谐波热扰的衰减和时间延迟或者相角差）与温度谐波热扰的幅值和相角均无关[15].内嵌管式辐射地板的导热微分方程为线性方程，即同样为线性导热问题， 地板各表面的频域热流响应的幅值与温度谐波热扰的幅值呈线性比例关系（该比例只与频率和该结构的热物性有关）， 两者的相角差与温度谐波热扰的相角无关.因此关于温度谐波热扰的幅值和相角的选取对内嵌管式辐射地板频域热特性的分析并无影响.

为了便于分析， 本文在计算内嵌管式辐射地板频域热流响应时， 温度谐波热扰均采用相角为0的单位温度谐波.内嵌管式辐射地板通常存在地板上表面和管道表面两个表面的热扰（地板下表面的热扰一般不明显，且保温层对热扰有较大的抵抗作用，因此不考虑地板下表面热扰），将温度边界条件设置成2种情况：1） 地板上表面特征热扰， 即地板上表面存在一个幅值为1，相角为0的温度谐波，其余两个表面的温度均设定为0 ℃；2） 管道表面特征热扰， 即管道表面存在一个幅值为1，相角为0的温度谐波，其余两个表面的温度均设定为0 ℃.为了便于将FDFD模型和CFD模型的结果进行比较，本文将FDFD得到的频域热响应（u 和 v）代入式（2）和式（3）转换成时域里的温度幅值和相角Φ.

以不带绝热层的内嵌管式辐射地板为例，且考虑单位温度谐波设置在地板上表面的情况（其余两表面的温度均设为0），由FDFD模型以及CFD模型计算出的地板上表面和管道表面的周期分别为12 h和48 h的热流曲线分别如图3及图4所示.通过比较可以发现，FDFD模型和CFD模型的计算结果吻合很好，这说明FDFD模型能很好地计算内嵌管式辐射地板的热特性.计算时间表明FDFD模型的计算时间远远比CFD模型少，计算快速高效.

4内嵌管式辐射地板的频域热响应

频域热特性包括幅频特性和相频特性，幅频特性是指温度谐波热扰传递的衰减倍数（输入温度谐波的幅值与输出温度谐波的幅值之间的比值）与频率的关系，相频特性是指输出温度谐波和输入的温度谐波之间的相位差或者相角差与频率的关系.衰减倍数大和相位差大均可以反映系统具有较好的隔热效果.为了研究绝热层厚度对内嵌管式辐射地板的频域热特性的影响，本文建立了不同厚度绝热层的内嵌管式地板的FDFD模型，并计算出10-10 ～10-3 rad/s之间的一系列离散频率点上的热响应（各表面热流的幅值和相角）.在工程实际中常用的绝热层厚度分别为20，30，40 mm， 为了进行对比研究，本文还计算分析了绝热层厚度分别为100，200 mm及理想绝热情况下内嵌管式辐射地板的频域热特性.图5～图7为管道边界存在幅值为1 ℃，相角为0的温度谐波作用而其余两表面（地板上表面和地板下表面）的温度均为0时，绝热层厚度对地板各表面的热流响应的影响.