具有非局部源和边界流抛物型方程组解的性质

摘要：研究了一类具有非局部源及边界流抛物型组解的性质， 通过构造方程组的上、下解及运用比较定理，得到了方程组解整体存在及解在有限时刻爆破的充分条件。由此得到，当反应项和扩散项的指数满足不同条件时，方程组的解具有不同的性质。

关键词：抛物型方程组；非局部源及边界流；比较原理；整体存在；爆破

中图分类号：O17526 文献标志码：A文章编号：1672-1098（2014）04-0042-04

式中：ΩRN是有界光滑区域，mi>1，pi>0，i（x，y）（i=1，2，3）是Ω×Ω上的非负连续函数，初值u0（x），v0（x）∈C2+α（Ω—）（0<α<1）非负，且在边界上满足相容条件。

式（1）～式（3）可以用来描述化学反应中反应物的反应情况， 或者三种混合固体燃烧的热传导问题， 其中，u， v， w分别代表三种燃料的温度。 近几年来， 许多学者对抛物型方程组中反应项为非局部源及边界流的问题做了大量的研究[1-6]。文献[7]考虑了如下方程组：

ut-Δu=-∫Ωg（u）dxx∈Ω，t>0

u（x，t）=∫Ωf（x，y）u（y，t）dyx∈Ω，t>0

u（x，0）=u0（x）x∈Ω （4）

得到了式（4）解的爆破条件和爆破速率估计。文献[8]研究了式（5）～式（7）解的整体存在和有限时刻爆破以及爆破速率问题。

ut=Δum1+vp2

vt=Δvm2+wp3

wt=Δwm3+up1（x∈Ω，t∈（0，T））（5）

具有连续有界初值

u（x，0）=u0（x）

v（x，0）=v0（x）

w（x，0）=w0（x）（x∈Ω）（6）

边界

u（x，t）=v（x，t）=w（x，t）=1

（x∈Ω，t>0）（7）

文献[9]研究了式（8）～式（10）

ut=Δum1-∫Ωuαvpdx，vt=Δvm2-∫Ωuqvβdx

x∈Ω，t>0 （8）

u（x，t）=∫Ω（x，y）u（y，t）dy，v（x，t）=

∫Ωψ（x，y）v（y，t）dyx∈Ω，t>0 （9）

u（x，0）=u0（x），v（x，0）=v0（x）x∈Ω （10）

得到解的整体存在和在有限时刻爆破的充分条件。

基于以上工作，研究了式（1）～式（3）解的整体存在及有限时刻爆破的充分条件。

1预备知识

定义1令T>0，正函数u—（x，t），v—（x，t），w—（x，t）∈C1，0（Ω—×[0，T））∩C2，1（Ω×[0，T）） 且满足

u—t≥Δu—m1+∫Ωv—p1dx，v—t≥Δv—m2+∫Ωw—p2dx，

w—t≥Δw—m3+∫Ωu—p3dx（x∈Ω，t>0）（11）

具有连续有界初值

u—（x，0）≥u0（x）

v—（x，0）≥v0（x）

w—（x，0）≥w0（x）（x∈Ω） （12）

和边值

u—（x，t）≥∫Ω1（x，y）u—（y，t）dy

v—（x，t）≥∫Ω1（x，y）v—（y，t）dy

w—（x，t）≥∫Ω1（x，y）w—（y，t）dy

（x∈Ω，t>0） （13）

则称（u—（x， t）， v—（x， t），w—（x，t））为式（1）～式（3）的上解。 改变不等号的方向，类似可以定义下解。

由文献[10]，有如下的比较引理。

引理1设（u—（x，t），v—（x，t），w—（x，t））和（u（x，t），v（x，t），w（x，t））是式（1）～式（3）在Ω—×[0，T）上的一对有序上、下解，则式（1）～式（3）存在唯一古典解（u（x，t），v（x，t），w（x，t））在Ω—×[0，T）上有定义且满足：

u（x，t）≤u（x，t）≤u—（x，t），v（x，t）≤v（x，t）≤v—（x，t），w（x，t）≤w（x，t）≤w—（x，t）（x，t）∈Ω—×[0，T）。

引理2设（u（x， t）， v（x， t）， w（x，t））>（0，0，0）是式（1）的下解，如果（u，v，w）在有限时刻爆破，则式（1）～式（3）的解（u（x，t），v（x，t），w（x，t））在有限时刻爆破。

2解的整体存在

定理1如果m1m2m3>p1p2p3时，对于小初值u0（x），v0（x），w0（x），式（1）～式（3）的解整体存在。

证明设（x）满足：

-Δ=ε0x∈Ω

（x）=∫Ωτ（x，y）dyx∈Ω（14）

式中：τ（x，y）=max{1（x，y），2（x，y），3（x，y）}是定义在Ω×Ω上的非负连续函数，ε0>0使0≤（x）≤1，记K1=maxx∈Ω （x），K2=minx∈Ω （x），令u—=a1/m1（x），v—=b1/m2（x），w—=c1/m3（x），则有

u—t-Δu—m1-∫Ωv—p1dx=am1ε0-bp1∫Ωp1m2（x）dx≥am1ε0-bp1Kp1m21|Ω|

v—t-Δv—m2-∫Ωw—p2dx=bm2ε0-cp2∫Ωp2m3（x）dx≥bm2ε0-cp2Kp2m31|Ω|

w—t-Δw—m3-∫Ωu—p3dx=cm3ε0-ap3∫Ωp3m1（x）dx≥cm3ε0-ap3Kp3m11|Ω|

边界：

u—Ω=a（∫Ωτ（x，y）dy）1m1≥a∫Ωτ（x，y）dy≥a∫Ω1（x，y）dy≥a∫Ω1（x，y）1m1（x）dy=∫Ω1（x，y）u—（x，y）dy。

同理：v—Ω≥∫Ω2（x，y）v—（x，y）dy

w—Ω≥∫Ω3（x，y）w—（x，y）dy

初值：

u—（x，0）=a1/m1（x）≥aK1/m12，v—（x，0）=

b1/m2（x）≥bK1/m22，w—（x，0）=b1/m3（x）≥bK1/m32。

综上可知，只要存在a，b，c，使得

am1ε0-bp1Kp1m21|Ω|≥0，bm2ε0-cp2Kp2m31|Ω|≥0，cm3ε0-ap3Kp3m11|Ω|≥0

aK1/m12≥u0（x），bK1/m22≥v0（x），cK1/m32≥w0（x） （15）

成立，则（u—，v—，w—）是式（1）～式（3）的上解， 而（0，0，0）是式（1）～式（3）的下解， 由引理1知， 式（1）～式（3）的解整体存在。下证这样的a，b，c存在。令bp1=am1ε0K-p1m21|Ω|-1， 则可得关于a的不等式：

am1m2m3/p1p2p3≥ε-（m2+p1+m3p1p2）/p10K1（1+p2/m3+p3/m1m3）

|Ω|（m2+1/m3+1） （16）

由定理1的条件m1m2m3>p1p2p3知，只要取a充分大时，可使得式（16）成立。另只要a，b，c充分大，又对于小初值u0（x），v0（x），w0（x），就可以保证式（15）成立。定理1证毕。

3解的有限时刻爆破

引理3设θ>λ>1，k，l>0，h（t）是问题h′（t）=-khλ（t）+lhθ（t），t>0

h（0）=h0>0的解，则当h0充分大时，h（t）在有限时刻爆破。

引理4设λ2>λ1>1，θ2>θ1>1，则存在如引理3的h（t）是满足

h′（t）≤-khλ1（t）+lhλ2（t）

h′（t）≤-khθ1（t）+lhθ2（t）

引理3及引理4的证明如文献[3]所示。

定理2如果p1>m1，p2>m2，p3>m3，则当初值u0（x）， v0（x）， w0（x）充分大时， 式（1）～

式（3）的解在有限时刻爆破。

证明设（x）是满足方程

-Δ=1x∈Ω

（x）=0x∈Ω （17）

的解，则存在C>0，使得0≤（x）≤C。令

u（x，t）=hl1（t）l1（x），v（x，t）=hl2（t）l2（x），w（x，t）=hl3（t）l3（x），h（t）待定，记

k=max{m1C（m1-1）l1-1，m2C（m2-1）l2-1，m3C（m3-1）l3-1}

l=min{1l1Cl1∫Ωl2p1（x）dx，1l2Cl2∫Ωl3p2（x）dx，1l3Cl3∫Ωl1p3（x）dx}

ut-Δum1-∫Ωvp1dx=l1hl1-1（t）l1（x）h′（t）-

l1m1hl1m1（t）l1m1-1（x）Δ（x）-hl1p1（t）∫Ωl2p1（x）dx=

l1hl1-1（t）l1（x）[h′（t）+m1hl1m1-l1+1（t）l1m1-l1-1（x）-

1l1l1（x）hl1p1-l1+1（t）∫Ωl2p1（x）dx]≤l1hl1-1（t）l1（x）

[h′（t）+kh（m1-1）l1+1（t）-lh（p1-1）l1+1（t）]

由定理假设条件p1>m1知，（p1-1）l1+1>（m1-1）l1+1>0，由引理4知，存在满足引理3的h（t）使得

h′（t）≤-kh（m1-1）l1+1（t）+lh（p1-1）l1+1（t）

所以，ut≤Δum1+∫Ωvp1dx。

同理，vt≤Δvm2+∫Ωwp2dx，wt≤Δwm3+∫Ωup3dx。

边界：由式（17）知，（x）=0，x∈Ω，有

u（x，t）=0≤∫Ω1（x，y）u（y，t）dy

v（x，t）=0≤∫Ω2（x，y）v（y，t）dy

w（x，t）=0≤∫Ω3（x，y）w（y，t）dy（x∈Ω×（0，T））

初值：当初值u0（x），v0（x），w0（x）充分大时，有

u（x，0）=hl1（0）l1（x）≤u0（x），v（x，0）=hl2（0）l2（x）≤v0（x）

w（x，0）=hl3（0）l3（x）≤w0（x） （x∈Ω）

故（u，v，w）为式（1）～式（3）的下解，而且（u，v，w）在有限时刻爆破。由引理2知，式（1）～式（3）的解在有限时刻爆破。定理2证毕。

参考文献：

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[2]薛应珍.一类交叉耦合抛物型方程组解的整体存在及爆破问题[J].兰州理工大学学报，2011，37（4）：161-164.

[3]JULIO D R，NOEMI W.Blow up and global existence for a semilinear reaction diffusion system in a bounded domain[J].Partial Diffusion Equations，1995，20（11，12）：1 991-2 004.

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[5]WANG M X.Global existence and finite blow up for a reaction-diffusion system[J].ZAMP，2000，51： 160-167.

[6]ESCOBEDO M，LEVINE H A. Critical blow up and global existence numbers for a weakly coupled system of reaction diffusion equation [J].Arch Rat Mech Analysis，1995，129：47-100.

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[8]李峰， 郑斯宁. 一类非线性扩散方程组解的整体存在和有限爆破问题[J].大连理工大学学报，2003，43（3）：266-269.

[9]王文海.具非局部源和非局部边界条件抛物方程组解的性质[J].中北大学学报：自然科学版，2012，33（4）：372-375.

[10]PAO C V.Nonlinear parabolic and elliptic equations[M].New York，London：Plenum Press，1992：192.

（责任编辑：何学华）