色散对法布里－珀罗干涉仪纵模间隔的影响

熊翠秀

(湖南城市学院通信与电子工程学院，益阳413000)

引 言

由于法布里－珀罗干涉仪(Fabry－Perot interferometer，F－PI)能产生很细锐的干涉条纹，是激光器的谐振腔，在微位移测量［1］、风速温度测量［2－4］、压力传感器［5］、液体浓度微变监测系统［6－7］、固体材料线膨胀系数测量［8］及光纤电流传感器［9］等各领域受到广泛的应用。故对F－PI的研究已有大量的报道，F－PI的光学传输特性受腔长、反射率、入射角及腔内介质折射率等参量的调控［10－13］，其稳定性受到腔体振动变形的影响［14］。在以往的研究中，通常把腔内介质的折射率当作常量。事实上，介质的折射率与在其中传播的光场频率(或波长)有关，即存在色散。考虑到色散后F－PI的光学传播特性可能会发生一定的变化，故考虑了腔内介质的色散，对色散介质采用洛伦兹振子模型［15］，研究色散对F－PI纵模的影响，具体分析了洛伦兹振子的色散强度、衰减系数和谐振频率对纵模间隔的调制规律，得到了相应的研究结果。

1 理论模型

F－PI由两块精密的相向面渡银的平行平面玻璃构成，强度反射率为R，板间距离为h。两块玻璃之间介质的相对介电常数和相对磁导率分别为ε和μ，相应的介质折射率为由于薄膜的等倾干涉，无穷多次反射和折射后透射光的光强为［16］:

式中，I0是入射光强，δ是相邻两束透射光的位相差。令光线在膜内的倾角为i，则相位差 δ=4πnhλ－1cosi。

考虑两个平板玻璃间的介质是非铁磁色散介质，该色散介质采用洛伦兹振子模型的相对介电常数为［15］:

式中，εb，ω，ω0，χ0和 γ 分别是背景材料的相对介电常数(即不考虑色散时介质的介电常数)、光场频率、谐振频率、色散强度和衰减系数。

2 数值计算结果与分析

令复色光垂直入射到F－PI上，不考虑介质的增益效益，统一取R=0.9，h=2cm，εb=2.7889。由于只考虑色散，由(2)式计算折射率时，只取实部。

2.1 色散强度对纵模的影响

固定ω0=2.98×1014Hz和γ=2.98×1014Hz不变。由(1)式和(2)式，得到不同χ0下低频段和ω0附近的透射光谱，如图1所示。计算中，取两组χ0和归一化频率范围，第1 组:χ0取 0，0.03，0.1，0.2，0.3 和0.4，归一化频率 ω/ω0范围取 0.5000 ～0.5002，对应于图1a ～ 图1f。第 2 组:χ0取 0，0.02，0.03，0.04，0.1和0.2，ω/ω0范围取0.9999～1.0001，对应于图1g～图1l。

Fig.1 Transmission spectrum of F－PI with different dispersive intensity

其中图1a和图1g表示不考虑色散(χ0=0)的情况，呈现一组等间距的纵模。由图可知，当考虑色散时，对于低频段的纵模，随着χ0的增大，纵模间隔依次减小，且纵模间隔始终小于不考虑色散的情况，具体为:不考虑色散时，在0.5000～0.5002的归一化频率范围内只有21个纵模(见图1a)，而当χ0增大到0.4时，在相同的归一化频率范围内的纵模增到25个(见图1f);高频段的纵模间隔随χ0的变化趋势与低频段类似，故不再给出相应的图;比较ω0附近的图1g～图1l发现:在ω0和γ不变的情况下，纵模间隔可大于或小于不考虑色散的情况，且随χ0的增大，纵模间隔逐渐增大，在所取的参量中，χ0=0.03对应的图1i中的纵模间隔达到最大(纵模间隔远大于不考虑色散的情况)，然后又逐渐减小。事实上，尽管都在ω0附近，只要频段发生微小变化，纵模间隔就会发生明显的变化，但纵模间隔随χ0的变化趋势保持一致。此外，考虑色散后，把图1b与图1i、图1c与图1k和图1d与图1l两两比较可以发现，即使χ0相等，不同频段纵模间隔也明显不相等。

2.2 衰减系数对纵模的影响

固定ω0=6.2×1014Hz不变。分别取γ=2.98×1014Hz和γ=6.98×1014Hz，得到χ0=0.4时低频和高频段的透射光谱，如图2所示。由图2可见，无论是高频段还是低频段，γ增大时，纵模间隔都增大。

Fig.2 Transmission spectrum of a F－PI with different attenuation coefficients at low and high frequency band(solid line—γ=2.98×1014Hz，dot line—γ =6.98 ×1014Hz)

接下来考虑γ对ω0附近纵模间隔的影响。取χ0=0.02和 χ0=0.2，不同 γ 对应的 ω0附近的透射光谱如图3所示。图3a～图3g对应于χ0=0.02，其纵模间隔随着γ的增大一直在减小;而图3h～图3n对应于χ0=0.2，随着γ的增大，相邻纵模间隔先增大后减小。即 ω0附近的纵模，在 χ0较小(如 χ0=0.02)时，纵模间隔随着γ的增大而减小;当χ0较大(如χ0=0.2)时，纵模间隔随γ的增大先增大后减小。

Fig.3 Transmission spectrum of a F－PI with different attenuation coefficients near resonant frequency(ω0=2.98×1015Hz)

2.3 谐振频率对纵模的影响

固定γ=2.98×1014Hz不变。图4为χ0=0.02和χ0=0.2两种情况下，不同χ0值对应的ω0附近的透射光谱。由于考虑ω0对纵模的影响，ω0不再是常量，横坐标的ω对ω0归一化后，不同的图之间没有可比性，故横坐标直接用ω表示。为了比较，每个分图的横坐标都取了各自ω0附近间隔为0.0003×1015Hz的一小个频段。图4中对应于χ0=0.02时，随着ω0的增大，纵模间隔先增大后减小;图4中对应于χ0=0.2时，随着ω0的增大，纵模间隔始终单调减小。即ω0附近，χ0较小(如χ0=0.02)时，纵模间隔随着ω0的增大先增大后减小，而 χ0较大(χ0=0.2)时，纵模间隔随 ω0的增大始终减小。ω0对高、低频段的纵模间隔影响不大，所以没给出相应的图。

Fig.4 Transmission spectrum of a F－PI with different resonant frequencies near resonant frequency(γ=2.98×1014Hz)

由上述的计算结果可知，不考虑色散时，复色光照射到F－PI时，得到等间隔的纵模。考虑介质的色散后，纵模受到洛伦兹振子的χ0，γ和ω0等参量的调控，其纵模间隔不再相等，且各个频段受到参量的调控规律又有所不同，具体为:高、低频段，各个参量对纵模间隔按单调规律调控，但间隔都比不考虑色散的情况小;而在ω0附近，各个参量对纵模间隔不再按单调规律调控。为什么会出现这些现象?后面将用波动理论进行定性分析。

3 理论分析

令复色光束以θ0的入射角入射到F－PI上，光线在膜内的倾角为θ，光束在膜内多次反射和透射，平行透射光束的多光束干涉得到明暗相间的干涉条纹，明条纹即为F－PI的纵模。在不考虑半波损失的情况下，相邻两束平行光的光程差ΔL为:

对于纵模，上述光程差等于波长λ的整数倍［16］:

式中，k为纵模的级数。把真空中的光速c、光场频率ω和波长λ的关系(λ=2πc/ω)代入上式，得到介质的折射率n与第k级纵模的ω之间的关系如下式所示:

下面以垂直入射为例。首先分析χ0对纵模间隔的调制。固定ω0=2.98×1015Hz和γ=2.98×1014Hz不变，由(2)式计算不同χ0、不同ω处的折射率的实部n，绘制如图5a所示的ω/ω0-n曲线，称为色散曲线;然后k取定值，根据(5)式进一步绘制出第k级纵模的n与ω所满足的关系，如图5a所示，称为纵模曲线(曲线上标注了相应的k值)。第k级纵模曲线与色散强度为χ0的色散曲线之间有交点(1个或3个交点)，交点坐标记为((ω/ω0)k，nk)，该坐标的横、纵坐标分别表示χ0对应的第k级纵模的归一化频率和折射率。同一条色散曲线上相邻两个交点的横坐标之差为归一化纵模间隔 Δω/ω0，即:

图中水平横线为不考虑色散的情况。考虑色散后，低频段的折射率的实部大于不考虑色散时的折射率，且在相同频率下χ0越大，折射率实部越大;高频段正好相反;ω0附近处于反常色散，χ0越大，ω0附近色散曲线越陡、幅度越大。从图5a可以清楚地看到，由于色散曲线的以上特征，导致:(1)对于低频段，χ0越大，第k级纵模曲线与色散曲线的交点对应的频率越小，且相邻两条纵模曲线与同一条色散曲线的两个交点对应的频率差也越小，即考虑色散后，低频段的纵模红移，χ0越大，红移量越大，纵模间隔也越小，在相同频率范围内能容纳更多的纵模;(2)对于高频段，χ0越大，第k级纵模曲线与色散曲线的交点对应的频率越大，且相邻两条纵模曲线与同一条色散曲线的两个交点对应的频率差也越小，即考虑色散后，高频段的纵模蓝移，χ0越大，蓝移量越大，纵模间隔也越小，在相同频率范围内能容纳更多的纵模;(3)对于ω0附近，有些纵模曲线与色散曲线有3个交点，即不考虑色散时的1个纵模分裂成了3个纵模，这3个纵模中有的1个纵模发生红移，2个纵模发生蓝移;有的则1个纵模发生蓝移，2个纵模发生红移，相当于纵模被稀释了，且χ0越大，纵模被稀释的程度就越大。但是当χ0较大时，由于色散曲线在反常色散区很陡，上下幅度很大，因此1个纵模分裂为3个后，其中2个纵模靠得很近。所以这个区表现为随着χ0的增大，纵模间隔增大。但当χ0增大到比较大时，纵模间隔又随χ0的增大而减小。这与图1中所示的计算结果一致。

Fig.5 Longitudinal modes curve and dispersion curve

接下来分析γ对纵模间隔的调制。固定ω0=2.98×1015Hz不变，γ从 2.98×1014Hz依次增大到8.98 ×1014Hz，图5b 中给出了取 χ0=0.02 和 χ0=0.2两种情况的色散曲线以及纵模曲线。由图5b可知，在ω0和χ0不变时，相同频率下:(1)低频段折射率的实部随着γ的增大而略微减小，而纵模曲线由左上方到右下方与色散曲线斜交，因此纵模间隔略微增大(但纵模间隔始终小于不考虑色散时的纵模间隔)，纵模红移量也逐渐减小;(2)高频段折射率的实部随着γ的增大而略微增大，因此纵模间隔略微增大(纵模间隔也始终小于不考虑色散时的纵模间隔)，纵模蓝移量也逐渐减小;(3)对于ω0附近的频段，虽然都处于反常色散，但 χ0较小(如 χ0=0.02)时，反常色散区的色散曲线比纵模曲线平坦，1条纵模曲线与1条色散曲线仅有1个交点，即纵模不分裂，两侧的纵模红、蓝移后仅表现出纵模被稀释的现象，因此纵模间隔较大，但随着γ的增大，色散曲线上下幅度减小，所以纵模间隔随γ的增大而减小。当χ0较大(如χ0=0.2)且γ小时，反常色散区的色散曲线比纵模曲线陡峭，1条纵模曲线与1条色散曲线有3个交点，即不考虑色散时的1个纵模分裂为3个纵模，其中2个纵模靠得很近，故纵模间隔较小，随着γ的增大，色散曲线的幅度慢慢降下来，纵模间隔增大，但γ进一步增大时，色散曲线又趋于平坦，即趋于不考虑色散的情况，故纵模间隔又慢慢地减小。综上所述，随着γ的增大，高、低频段的纵模间隔增大;ω0附近表现出比较复杂的特性，χ0很小时，随着γ的增大纵模间隔一直减小，最后趋于不考虑色散的情况，而χ0较大时，随着γ的增大，纵模间隔先增大后减小，最后也趋于不考虑色散的情况。这些分析结果与图2和图3中的计算结果一致。对于ω0也可以进行类似的分析，但限于篇幅的原因，不再重复。

4 结论

研究结果表明，考虑F－PI腔内介质的色散后高、低频段的纵模分别发生蓝移和红移;纵模间隔对洛伦兹振子的色散强度、衰减系数和谐振频率敏感，特别是谐振频率附近的纵模尤为突出:(1)在衰减系数和谐振频率不变的情况下，高、低频段的纵模间隔随色散强度的增大而减小，谐振频率附近的纵模间隔随色散强度的增大，呈现先增大后减小的趋势;(2)在色散强度和谐振频率不变的情况下，高、低频段的纵模间隔随衰减系数的增大而增大，最后趋于不考虑色散的情况，对于谐振频率附近的纵模，色散强度较小时，纵模间隔随衰减系数的增大而减小，而色散强度较大时，纵模间隔先增大后减小;(3)在色散强度和衰减系数不变时，谐振频率附近的纵模，在色散强度较小时，纵模间隔随谐振频率的增大先增大后减小，而色散强度较大时，纵模间隔随谐振频率的增大而减小。

本文中在分析问题时把法布里－珀罗干涉仪的强度反射率R当作常量，但事实上分界面上的强度反射率与分界面两侧介质的折射率有关，考虑色散后F－PI内介质的折射率不再是常量，而是与光场频率有关的量，因此镀膜面的强度反射率R与光场频率有一定的关系，纵模的强度半峰宽度也要发生相应的变化。但由于镀膜面的折射率不好确定，如果考虑R受光场频率调制，问题将复杂化，故把R当作常量，对强度半峰宽度也没有进行分析。

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