圆锥曲线中的探索性问题

存在性问题与证明问题是近几年高考试题对解析几何考查的一种热点题型，以判断满足条件的点、直线、参数是否存在，证明直线与圆锥曲线的位置关系. 数量关系（等量或不等量）为主要呈现方式，多以解答题的形式考查.

（1）圆锥曲线中的取值范围问题.

（2）圆锥曲线中的定点、定值问题.

（3）圆锥曲线中的存在性问题和有关证明题.

解决解析几何中的探索性问题，主要是根据题目所给的条件，结合相关的图形进行分析、化简. 探索性问题对思维能力和计算能力的要求较高，平时应多注重这两方面能力的训练.

例1 如图6，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都是e. 直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.

图6

（1）设e= ，求BC与AD的比值；

（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN？说明理由.

破解思路 解决解析几何中的存在性问题的一般步骤为：第一步，假设结论成立；第二步，以存在为条件，进行推理求解；第三步，明确、规范结论，若能推出合理结果，经验证成立即肯定假设；若推出矛盾，即否定假设；第四步，回顾、检验本题，若忽略了Δ>0这一隐含条件，结果会造成两解.

答案详解 （1）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1： + =1，C2： + =1（a>b>0）. 设直线l：x=t（t

（2）当t=0时，l不符合题意；当t≠0时，BO∥AN，当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即 = ，解得t=- =- ·a. 因为t

所以当0

例2 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： + =1（a>b>0）的右准线为直线l，动直线y=kx+m（k<0，m>0）交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，如图7. 若A，B两点分别是椭圆E的右顶点、上顶点时，点Q的纵坐标为 （其中e为椭圆的离心率），且OQ= OM.

图7

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）如果OP是OM，OQ的等比中项，那么 是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由.

破解思路 求解定值问题的“三个”步骤：①由特例得出一个值，此值一般就是定值；②证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值.

答案详解 （1）当A，B两点分别是椭圆E的右顶点和上顶点时，则A（a，0），B（0，b），M ， .

因为Q ， ，所以由O，M，Q三点共线，得 = ，化简，得b=1. 因为OQ= OM，所以 = ，化简，得2a= c. 由a2=b2+c2，b=1，2a= c，解得a2=5，c2=4.所以椭圆E的标准方程为 +y2=1.

（2）把y=kx+m（k<0，m>0），代入 +y2=1，得（5k2+1）x2+10mkx+5m2-5=0. 当？驻>0，即5k2-m2+1>0时，xM= - ，yM= ，从而可得点M- ， .

所以直线OM的方程是y=- x. 由y=- x， +y2=1，得x2P= . 因为OP是OM，OQ的等比中项，所以OP2=OM·OQ，从而x2P=xMxQ=- . 由 =- ，得m=-2k，从而 =-2，满足？驻>0. 所以 为常数-2.

1. 如图8，已知椭圆C： + =1（a>b>0）经过点（0， ），离心率为 ，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，点A，F，B在直线x=4上的射影依次为D，K，E.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l交y轴于点M，且 =λ ， =μ ，当直线l的倾斜角变化时，探究λ+μ是否为定值. 若是，求出λ+μ的值；若不是，说明理由.

（3）连结AE，BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于一定点. 若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.

图8

2. 如图9，已知椭圆C1： + =1，抛物线C2：y2=4x，过椭圆C1右顶点的直线l交抛物线C2于A，B两点，射线OA，OB分别交椭圆于D，E两点，点O为原点.

图9

（1）求证：点O在以DE为直径的圆的内部；

（2）记△ODE，△OAB的面积分别为S1，S2，问是否存在直线l，使S2=3S1，若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.