二维无解区域上一类广义Navier－Stokes 方程的衰减率①

王 艳，常敬腾，董柏青

(安徽大学数学科学学院，安徽 合肥230601)

0 引 言

主要研究二维无解区域Ω 上一类广义Naiver－Stokes 方程Cauchy 问题整体解的L2衰减率

这里u=u(x，t)=(u1，u2)和π=π(x，t)分别表示流体的速度场和压力，μ0＞0，μ1＞0 为粘性系数.Ω ⊂R2具有光滑的边界.众所周知，当μ1=0时，(1)就变成经典的Navier－Stokes 方程［1］.

关于经典的Navier－Stokes 程，其解的衰减性一直是非常热点的前沿问题.例如Leray［2］首次提出了解的衰减性问题.Schonbek［3］利用其创立的经典的Fourier 分解方法研究了弱解在L2范数下的衰减率为(1+t)n/4(n 为空间维数).之后有大量的工作来进一步研究其衰减性，如文献［4 ～5］等.

本文第三作者［6］曾经应用改进的Fourier 分解方法得到了广义Navier－Stokes 方程当初速度u0∈L2(Rn)∩L1(Rn)(n ≥2)时弱解在L2范数下的最优衰减率为

然而当考虑无界区域时，上述经典的Fouerier 分解方法不再适用，本来将利用广义Navier－Stokes方程的结构，利用新的方法来刻画速度梯度的衰减性，需要指出的是该方法仅仅依赖于能量方法，而且可以应用到一般耗散系统的衰减性研究中

1 预备知识和主要结果

首先，本文采用以下记号和约定.不失一般性，首先假定 在(1)中μ0=μ1=1.C ＞0 表示仅依赖于初速度而与时间无关的常数，在不同的地方可以取不同的值.Lq(Ω)表示通常标量和向量场的Lebesgue 可积空间，其范数记为‖·‖q.特别的记‖·‖=‖·‖2.

下面我们给出弱解的定义.

定义2.1 (参考［7］)假设初速u0∈L2(Ω)，u(x，t)称为上述Navier－Stokes 方程初边值问题(1)的弱解如果它满足

(ii)u 在 广义意义下满足方程(1).

(iii)u 满足下面的能量不等式

下面叙述定理.

定理2.1 如果u0∈L2(Ω)，u(x，t)为广义Navier－Stokes 方程初边值问题(1)的弱解，则

注: 一方面，定理2.1 不同于以往的结果先给出速度的衰减估计［8～10］，然后再来讨论速度梯度的衰减估计，本定理本质上提供了一种研究无界区域耗散方程解的衰减性的方法.另一方面，定理2.1 的结果和在相同初值可积条件下，全空间上Navier－Stokes 方程的最优衰减率是一致的，因此(3)也是最优的.

2 定理2.1 的证明

对广义Navier－Stokes 方程(1)两边乘以－Δu 然后在空间上积分就得到

这里利用了速度的自由散度的性质和零边界条件，即

利用Holder 不等式，Gagliardo－Nirenberg 不等式和Young 不等式，就得到

这样把(5)代入到(4)中并利用定义2.1 中的能量不等式，就有

也就是

然后关于t 时间从s 到t 积分，t ≥s ≥0，这样有

再次利用定义2.1 中的能量不等式

代入(9)就得到

这里C0＞0 是一个仅仅依赖于初速度的常数.

从而进一步由能量不等式就得到

即

于是我们就证明了定理2.1.

［1］ O.Ladyzhenskaya.The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Fluids［M］.New York:Gordon Breach，1969.

［2］ J.Leray.Essai sur les le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace［J］.Acta.Math.，1934，63:193－248.

［3］ M.E.Schonbek.L2decay of weak solutions of the Navier－Stokes equations［J］.Arch.Rational Mech.Anal.，1985，88:209－222.

［4］ A.Carpio.Large time behavior of incompressible Navier－Stokes equations［J］.SIAM J.Math.Anal.，1996，27:449－475.

［5］ M.Wiegner.Decay results for weak solutions of the Navier－Stokes equations in Rn［J］.J.London Math.Soc.，1987，35:303－313.

［6］ 董柏青，李用声.一类修正的Navier－Stokes 方程的长时间性态［J］.数学物理学报2006，26:498－505.

［7］ J.L.Lions.Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux limits non linéares［M］.Gauthier－Villiars，Paris，1969.

［8］ W.Borchers，T.Miyakawa.Algebraic L2decay for Navier－Stokes flows in exterior domains［J］.Acta Math.1990，165:189－227.

［9］ P.Han.Decay rates for the incompressible Navier－Stokes flows in 3D exterior domains［J］.J.Funct.Anal.2012，263:3235－3269.

［10］ C.He，T.Miyakawa.Nonstationary Navier－Stokes flows in a two－dimensional exterior domain with rotational symmetries［J］.Indiana Univ.Math.J.2006，55:1483－1555.