关于岭估计改进的研究①

周一美，张 拓

(渤海大学 数理学院，辽宁 锦州121013)

0 引 言

岭估计［1～2］在有偏估计［3］中占有着重要地位，具有很多良好性质，也是很多学者心中最理想的一种有偏估计.目前已有大量学者对其进行了不同程度的改进［4～5］，以期获得更小均方误差，以便于解决生产生活中的实际问题.而大部分已经提出的改进后的岭估计都是在线性模型下完成的.一般来讲，对模型的限制条件越少越好，这样会有更广泛的应用价值.

1 广义岭估计的进一步改进

在奇异线性模型中:

现讨论其参数β，σ2估计问题.假设存在Σ ＞0，则存在唯一正定对称阵使.对其进行如下变换:

则可得到一般线性模型形式:

于是可以得到β 的LS 解为:

称其为广义LS 解.线性函数c′β 的可估计性与协方差无关，则对模型(1)的c′β 可估计的充要条件是c ∈μ(X′)，称c′^β 为c′β 的广义LS 估计.

模型(2)的典则形式:设X′X=X′Σ－1X 的特征值为λ1，λ2，…，λp，对应的标准正交化特征向量为φ1，φ2，…，φp，记Φ=(φ1，φ2，…，φp)，Φ 为p×p 标准正交阵，即Φ′Φ =I.记Δ =diag(λ1，λ2，…，λp)，则，其中Z=XΦ，α=Φ′β.

因为，故有:

于是其广义岭估计为:

现对其进行进一步改进，给出β 的一个新估计:

证明:

证毕.

证明:

证毕.

性质3 对任意ki＞d ＞0，有

证明: 对实对称阵X′Σ－1X 进行分解，设rk(X′Σ－1X)=r ≤p，则存在p×p 阶正交阵Q，使:

其中Δr=diag(λ1，λ2，…，λr)为X′Σ－1X 非零特征值组成的对角阵，根据Moore－Penrose 广义逆，^β(K，d)的估计可定义为:

定理得证.

表明当ki＞d ＞0 时是的压缩估计.

定理3.1 存在ki＞0，使

证明: 因为:

记

且

故有:

若

则有:

定理得证.

［1］ HOERL A.E.，KENNARDR.W..Ridge Regression:Biased Estimation for Non －orthogonal Problems［J］.Technometrics，1970，12(1):55－67.

［2］ HOERLA.E.，KENNARDR.W..Ridge Regression:Applications to Non－orthogonal Problems［J］.Technometrics，1970，12(1):69－82.

［3］ 陈希孺，王松桂.近代回归分析－原理方法及应用［M］.合肥:安徽教育出版社，1986:217－279.

［4］ 张建军，吴晓平.线性回归模型系数岭估计的改进研究［J］.海军工程大学学报，2005，17(1):54－57.

［5］ 张拓，李胜起，徐坤哲.广义岭型主成分估计优良性研究［J］.佳木斯大学学报(自然科学版)，32，2014:939－940.