块阵群逆的一个注记

张 汉 宇

(1 黑龙江大学数学科学学院，黑龙江 哈尔滨，150080；2 黑龙江省鸡东县第二中学)



块阵群逆的一个注记

张 汉 宇1,2

(1 黑龙江大学数学科学学院，黑龙江 哈尔滨，150080；2 黑龙江省鸡东县第二中学)

环;群逆;块阵;反三角

分块矩阵的D-逆(群逆)是研究奇异微分方程和差分方程、马尔可夫链等统计问题不可缺少的工具[1～3]。本次研究的目的是把一些原有的结果推广到更一般的结合环上。

1 预备知识

本次研究中R是含1的结合环,Rn×n是R上全部n×n矩阵的集合。

定义1 如果存在矩阵X∈Rn×n使得AXA=A, XAX=X, AX=XA，那么X被称为A的群逆，表示为A#。

如果A#存在，那么它是唯一的，也称A是群可逆的。如果A是群可逆的，把I-AA#表示为Aπ,这里I是n阶单位阵。

本次研究中,R(A)={Ax|x∈Rn}与Rr(A)={xA|x∈R(n)}分别表示A的列值域与A的行值域。

引理1[6]设A∈Rn×n，那么如下条件等价：

(1) A是群可逆的；

(2) 矩阵方程A=A2X与YA2=A在R上有解；

(3) R(A)=R(A2)与Rr(A)=Rr(A2)。

2 主要结果

(1)M#存在当且仅当T=A2+BSπC是可逆的。

M1=AT-1(A+BS#C)T-1A,

M2=AT-1(A+BS#C)T-1BSπ-AT-1BS#,

M3=SπCT-1(A+BS#C)T-1A-S#CT-1A,

M4=SπCT-1(A+BS#C)T-1BSπ-S#CT-1BSπ-SπCT-1BS#+S#。

证明 (1)的必要性证明：由S#存在，易计算

如果M#存在，由引理，在R上存在矩阵X,Y使得M=M2X=YM2。

可设

则由M=M2X=YM2，可得

从而TX1=A, Y1T=A。故

TX1A-1=I=A-1Y1T

(*)

因此，A-1Y1TX1A-1=A-1Y1，即X1A-1=A-1Y1。由(*)知，T是可逆的。

(1)的充分性与(2)的证明：如果T=A2+BSπC是可逆的，令

M1=AT-1(A+BS#C)T-1A,

M2=AT-1(A+BS#C)T-1BSπ-AT-1BS#,

M3=SπCT-1(A+BS#C)T-1A-S#CT-1A,

M4=SπCT-1(A+BS#C)T-1BSπ-S#CT-1BSπ-SπCT-1BS#+S#。

(1)M#存在当且仅当BC是可逆的；

证明 (1)的必要性证明：由C∈Rm×n是左可逆的，B∈Rn×m是右可逆的，易于计算

(**)

注记1 本次研究中的定理1和定理2分别把文献[4]中除环上定理3.1的结果与文献[5]中复数域上推论3.3的结果推广到一般环上。

[1] Campbell S L,Meyer C D.Generalized Inverses of Linear Transformations[M].London:Pitman,1979.

[2] Bu C J,Zhang K Z,Zhao J M.Representations of the Drazin inverse on solution of a class singular differential equations[J].Linear and Multilinear Algebra,2011,59(8):863-877.

[3] Wei Y M.Index splitting for the Drazin inverse and singular linear syetem[J].Appl Math Comput,1998,95:115-124.

[4] Bu C,Li M,Zhang K,et al.Group inverse for block matrices with an invertible subblock[J].Appl Math Comput,2009,215:132-139.

[5] Zhou J,Bu C,Wei Y M.Group inverse for block matrices and some related sign anslysis[J].Linear Multilinear Algebra,2012,60:669-681.

[6] Sheng Y Q,Ge Y L,Zhang H Y,et al.Group inverses for a class of 2×2 block matrices over rings[J].Appl Math Comput,2013,219:9 340-9 346.

(责任编辑：朱宝昌)

A Note on the Group Inverse of Block Matrices

ZHANG Han-yu1，2

(1 School of Mathematical Science,Heilongjiang University,Harbin Heilongjiang,150080;2 Group of Mathematical,Jidong second middle school;China)

SupposeRis an associative ring with unity 1.In this paper, We give the necessary and sufficient conditions for the existence and explicit representations of the group inverses of the following two classes block matrices. (1)M=ABCD, whereAis invertible, and (D-CA-1B)#exists; (2)M=ABC0, whereCis left invertible,Bis right invertible. Some examples are given to illustrate our results.

ring;group inverse;block matrix;anti-triangular

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2015.02.009

2015-04-13; 修改稿收到日期: 2015-06-16

O

A

1672-7983(2015)02-0043-04

张汉宇(1985-)，男，硕士。主要研究方向：矩阵代数，广义逆等。