科学选题，有效训练——艺术生有效复习三角函数专题探究

朱华仙

（浦江职业技术学校）

纵观近几年的高考命题特点，结合《2015年浙江考试说明》，根据我校艺术生的实际，我们高三备课组经过仔细讨论研究近五年的高考试题，确定了三角函数专题的重点和难点.

专题重点：三角函数的小题重点在基础知识：三角函数的概念、运用三角函数的关系化简与求值、三角函数的图象和性质、和差角公式、三角函数符号规律、二倍角公式等；大题重点主要是三角函数的图象和性质、三角恒等变换、解三角形等.

专题难点：小题难点是三角函数图像变换、性质（即单调性、对称性、奇偶性、周期性）的综合应用、灵活应用正余弦定理，三角形内角和定理和面积公式等解三角形.

突破考点：因三角函数内容难度不是很大，方法灵活多样，基础较好的艺术生都会有解题思路，所以上课讲例题时我尽量先让学生自己动手解，再和全班同学一起讨论总结部分能解出题目的学生的解法，再一起找出最简解法，并加以适当补充，师生共同归纳出一种最美解法。本专题主要给艺术生确定的热点问题有以下几个方面.

热点一：运用三角函数的关系化简或求值

考点剖析：本题考查了诱导公式、三角函数的符号规律、同角三角函数的关系式，对数基本运算法则.先利用诱导公式和对数运算法则求出sinα，再由α 的范围、诱导公式和平方关系求出cos（2π-α）.

考点剖析：本题考查同角三角函数关系、三角函数的符号规律、两角和与差的三角函数。注意观察找出关系，根据题中所给的范围得所以由平方关系并注意符号规律就可求出再利用差角公式求得答案.

考点剖析：本题主要考查同角三角函数关系，三角函数符号，特殊角三角函数值等.

把原式平方得（sinα-cosα）2=2，所以sin2α=-1，根据题中α 的范围，可得

总结规律：

1.利用同角关系和诱导公式解题时特别要注意象限角对三角函数符号的影响；

2.在三角函数式求值化简时，注意平方关系和弦切互化公式的变形应用；

3.灵活运用和积转换法进行变形、化简，如：（sinα±cosα）2=1±2sinαcosα 等；

【课堂跟踪训练】

热点二：三角函数的图象和性质

例2.（1）（2012·浙江）把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是 （ ）

考点剖析：三角变换是三角函数图象内容的一个重要考点。把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y1＝cosx＋1，向左平移1个单位长度得y2＝cos（x+1）+1，再向下平移1个单位长度得y3＝cos（x+1），观察图象即得答案A．

（2）（2013·浙江）函数f（x）=sinxcosx+的最小正周期和振幅分别是 （ ）

考点剖析：本题考查三角函数的图象与性质、二倍角公式、和差角公式等。熟练掌握公式是解本题的关键.先利用二倍角公式化简f（x）解析式，再利用和差角公式化为一个角的正弦函数，根据解析式确定出振幅，找出ω 的值，再由求出函数的最小正周期。即f（x，∵-1≤sin（2x+≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．

（3）（2014·浙江）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数的图象 （ ）

考点剖析：本题考查三角函数图象的平移变换性质，和差角公式化简等.平移变换中注意x的系数.先化简，再由“左加右减”法则得到答案C.

规律总结：

1.求三角函数的最小正周期时，一定要先化简解析式为只含一个三角函数的式子，即化为“y=Asin（ωx+ψ），y=Acos（ωx+ψ）,y=Atan（ωx+ψ）”的形式，再利用周期公式求解；

2.求三角函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围，最大和最小值不一定在自变量区间的端点处取得,一定要结合三角函数图象；

3.三角函数图象进行平移变换时一定要注意提取x的系数，周期变换的时候要将x的系数变为原来的ω 倍.

【课堂跟踪训练】

2.（2013·四川卷）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋Φ）的部分图象如图所示，则ω，Φ 的值分别是（ ）

3.（2014·镇海）设函数f（x）=sin（-2x+ψ）（0<ψ<π），y=f（x）的一条对称轴是直线，（1）求ψ；（2）求函数y=f（x）的单调区间.

热点三：解三角形

例3.（1）（2013·浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．

考点剖析：本题考查三角函数求值，解三角形，正余弦定理的灵活应用等，熟练掌握三角形的面积公式是本题的关键.（Ⅰ）先利用正弦定理化简原式得

（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc·cosA，即36=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=64-3bc

（2）（2013·重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

（Ⅰ）求A的值；

考点剖析：本题主要考查正余弦定理，面积公式，三角恒等变换等.

（3）（2011·浙江）18.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）且

（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围.

考点剖析：（Ⅰ）本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查基本运算求解能力。由题设并利用正弦定理，得

（Ⅱ）由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB

因为B为锐角，0＜cosB＜1，得由题设知p＞0，所以

规律总结：考查三角函数求值，解三角形，是近几年高考解答题最常见题型.

1.在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，要注意确定角的限制范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解；

2.正余弦定理应用时，应注意灵活性，尤其边角的互化，一般全部化为角的关系，或全部化为变的关系，可提醒学生一般题中若出现边的一次式采用正弦定理，出现边的二次式采用余弦定理；

3.碰到面积问题时要根据题意灵活选用面积公式.

【课堂跟踪训练】

1.（2014·浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知

（I）求角C的大小；

（II）若b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值.

2.（2014·全国）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为________.

3（.2013·山东卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，a=1，b=，则c= （ ）

三角函数专题是近些年高考试题中的热点,因艺术生基础较差，计算能力较弱，因此，课堂上要非常关注每个学生解题的易错点，并及时指出，再跟踪训练类型相似的试题，再总结此类题型的基本数学思想方法及解题应试技巧等.本专题的复习，例题的选取很关键，我给艺术生练的每个题目都有明确的针对性和目的性，通过疏密有度的训练，提高艺术生的应试技巧，全面提高艺术生综合运用所学知识和方法分析问题和解决问题的基本能力，逐步培养他们的自主学习能力.