亲历知识生成过程渗透数学基本思想

薛生林

角是学生认识几何图形的基础，也是进一步学习几何知识的基础。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第二学段的“图形认识”中指出：“结合实例了解线段、射线和直线。”“知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。”在“测量”中指出：“能用量角器量指定角的度数，能画指定度数的角，会用三角尺画30°、45°、60°、90°角。”“角的度量”更是学生在三角形分类活动中认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的基础。

一、 经历构建概念过程，渗透分类思想

当学生学习了平角、周角的概念后，为了让学生对角有更深入的理解，必须对角进行分类，理清锐角、直角、钝角、平角、周角之间的关系。因此，学生根据角估认角的类型，从而加深对角概念的理解。学生通过对角的测量来修正角的类型，形成根据角的度数区分直角、平角、锐角、钝角和周角的策略。学生对下列角自主估认、测量、分类后，进行交流并汇报。

生1：∠1和∠6是锐角，因为这两个角比直角小。经过我的测量，∠1的度数是45°，∠6的度数是50°，我的估认与我的测量结果相同。

生2：∠3是平角，因为平角的两条边在同一直线上，与量角器经过中心点的0刻度线完全重合，度数是180°。∠5是周角，因为周角是射线绕它的端点旋转一周所成的角。当周角的一条边绕它的端点旋转到同一直线上时形成平角，这时正好是180°;再旋转到两条边重合在一起时，等于2个平角，所以∠5的度数是360°。

生3：∠2和∠7是钝角，因为这两个角比直角大。经过测量，∠2的度数是120°，∠7的度数是130°。∠4是我的估认与实际测量不相同的，我估认∠4是锐角，经过测量发现∠4是直角。

生4：我想补充∠7不需要测量也能知道度数，因为∠6和∠7形成一个平角，已测得∠6=50°，所以∠7=180°-∠6=180°-50°=130°。因此，∠1和∠6是锐角，∠4是直角，∠2和∠7是钝角，∠3是平角，∠5是周角。

生5：我和同桌通过填表的方式来研究角的分类。

生6：我还知道各角之间的关系，因为锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°，所以，锐角<直角<钝角<平角<周角。

生7：我想补充生6的各角之间的关系，1平角=2直角，1周角=2平角=4直角。

要对角进行有效分类，确定分类标准是至关重要的。学生经历估认角的类型、测量角的大小后再根据角的度数对角进行分类，逐步概括并形成角的概念。正如，《义务教育数学课程标准（2011年版）》中所指出的那样：“通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想”。

二、 经历估量、测量过程，渗透数形结合思想

根据给定的角来估计角的度数，根据角的度数来想象角的大小，是学生学习角的度量的难点。如何让角的图形与角的度数有效结合？学生一组组地进行观察和比较，判断每组中两个角的大小（如图2）。根据学生的原有认知，绝大多数学生认为每组中上面的角比下面的角大一些，理由是下面的角的边比上面的角的边长。

基于学生空间观念发展的特点，学生用一幅三角板拼一拼图2中的每一组角，判断上面的角与下面的角的大小，并分别比较∠1，∠3，∠5和∠7及∠2，∠4，∠6和∠8的大小。学生用三角板拼后进行交流。

生1：我用三角板中的一个小角（指30°角）去拼∠1和∠2，发现∠1和∠2是一样大的。

生2：我也用三角板上的小角去拼第二组中的∠3和∠4，发现∠3和∠4都含有2个小角。

生3：我是用三角板上的大角（指60°角）去拼∠3和∠4，发现∠3和∠4都是一个大角。

生4：我是用三角板上的小角去拼第三组的∠5和∠6，发现∠5和∠6都含有4个小角。我的同桌用大角去拼，发现∠5和∠6都含有2个大角。

生5：我用三角板上的大角和小角都无法拼出第四组中的角，第四组中的角无法判断。

生6：（边展示边说）我用两块三角板能拼出∠7和∠8，先用含有小角的三角板拼直角，再用另一块三角板的角（指45°角）就拼出了∠7和∠8。虽然我知道∠7和∠8一样大，但我不知道∠7和∠8的度数。

师：角的大小与什么因素有关？

生1：经过比较，角的大小与角两边的长短没有关系。

生2：角是从一点引出两条射线所组成的图形，因为射线的一端可以无限延伸，所以，角的大小与角两边的长短无关。

生3：我发现∠1含有一个小角，∠3含有两个小角，∠5含有四个小角。角的大小与两条边张开的大小有关，张开得越大，角越大。

师：经过同学们的观察与比较，得出角的大小要看两条边叉开的大小，叉开得越大，角越大。请同学们再比较∠1，∠3，∠5和∠7四个角的大小，有多大，大多少？

生1：∠3的度数是∠1的2倍;∠5的度数是∠3的2倍，是∠1的4倍;∠7的度数是∠1的4倍多一些。因此，这四个角的大小是∠1<∠3<∠5<∠7。

生2：用我的三角尺无法判断四个角的度数和大多少，而我同桌三角尺上的度数能判断这四个角的度数。

生3：用三角板来判断角的大小，要比对要计算，不仅麻烦，而且有的角无法用三角板来判断。比较角的大小，要用量角器。

学生先估计一幅三角板上各个角的度数，并量一量各是多少度，再用量角器测量∠2，∠4，∠6和∠8中四个角的度数。学生估计与测量后，进行交流并展示。

生1：长度标注在直角边的三角尺，我的估测与测量的结果是相同的，分别是90°、60°、30°。

生2：长度标注在底边的三角尺，我的估测与测量的结果有不同的地方，在估测时，下面的两个角分别是40°、50°，实际测量时发现这两个角的度数都是一样的：45°。

生3：经过对一幅三角尺的测量，我发现开口向右的角一般要看内圈刻度，开口向左的角一般要看外圈刻度。

生4：经过对∠2，∠4，∠6和∠8四个角的测量，我测量的结果是∠2=30°、∠4=60°、∠6=120°、∠8=135°。我发现∠4比∠2大30°，∠6比∠4大60°，∠8比∠6大15°。

生5：四个角测量的结果与我们拼的结果一样，而且，我从四个角的比较中发现角可以看作一条射线绕其端点旋转一定度数后形成的图形。

学生6：经过测量，我现在能比划出30°、45°、60°、90°、120°、135°的角。我能想象出30°、45°、60°、90°、120°、135°角的大小。

三、 经历多元作图过程，渗透类比思想

学生在学习画角知识时，可以充分利用原有量角的知识和经验。学生不仅经历了画角的过程，更重要的是引导学生充分经历类比的过程。如何让学生经历画角的过程，从而培养学生的类比推理能力？学生选择合适的方法画出下列各角（10°、45°、60°、90°、105°、120°、165°），并说说它们分别是哪一种角。学生先自主画角，再分组讨论，然后进行展示。

生1：我每个角都是用量角器画的，因为我们已经学过量角的方法，所以用量角器画角比较简单。在用量角器量角的时候，先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零刻度线和角的一条边重合。因此，我在画一个60°的角时，先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合。在用量角器量角的时候，接着要看角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。因此，画角时，在量角器60°刻度线的地方点一个点。然后，以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。最后，标好角的符号及度数。

生2：我觉得有的角用三角尺画比较简便，用三角尺可以直接画出45°、60°、90°的角，而10°、105°、120°、165°的角用量角器画比较简便。

生3：我除了10°的角要用量角器外，其他的角用三角板都可以完成，其中105°、120°、165°的角需要一幅三角板才能画出来。

师：谁来介绍一下用一幅三角板画出105°和120°、165°的角？

生4：画105°角的方法是：利用45°+60°=105°，可以先用三角板画出一个45°的角，然后与45°的角共一条边再画出一个60°的角，这两个角的和就是105°。画120°角的方法与画105°角的方法是相同的，可以利用60°+60°=120°或者90°+30°=120°来画。

生5：画165°角的方法是：利用30°+45°+90°=165°，可以用三角板画一个30°的角，再接画一个45°的角，然后再接画一个90°的角，这三个角的和就是165°（如图3）。

生6：我补充画165°角的方法，利用45°+60°+60°=165°（如图4），我的同桌利用180°—15°=165°也能画165°的角（如图5）。

学生在作图的过程中提出并交流了各自作图的过程和策略，不仅丰富了数学活动经验，更重要的是渗透了类比思想。正如《义务教育数学课程标准（2011年版）》所言：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的”，因此，“组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，都能有效地启发学生的思考，使学生成为学习的主体，逐步学会学习”。

【责任编辑：陈国庆】