微积分在物理学中的应用

蔺守臣

摘要：通过应用微积分知识解决物理量的变化率、电容器充放电以及运动学变量求解等问题，同时结合具体的实例来探讨求证，为解决一些初等物理问题提供了一些新的思路，体现了微积分在物理学中的作用。

关键词：导数 微分 积分 定积分

高等数学中的微积分不仅是一些计算公式，更包含了一种数学思想。微分的思想就是“无限细分”，而积分的思想就是“无限求和”。其中的“无限”便是极限，极限是用运动的思想分析和解决问题，是微积分思想的基础。正因如此，微积分在生活中各个领域、各个学科中都有越来越广泛的应用。

一、导数

导数是指当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。

1.物理量的变化率求解

變加速直线运动中，有位移、时间、速度、加速度等物理量，而加速度就是速度的变化率。解决这类问题较为直观的是利用v-t图像，加速度a就是图像的斜率（即a=△v/△t），面积便是位移s，而图像的斜率和面积是几何意义上的微积分。

3.积分

积分是微分的逆运算，在实际应用中，被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积。

仍以引子中电容器的问题为例，如果把从0到t时间内的△q加起来，用求和符号“∑”表示，则有：q=∑i△t。因为t=N△t，当△t取无穷小时，i△t便有N→∞个，因此要把无穷个i△t进行相加，方便起见，可以用微积分符号idt表示q=lim∑i△t=idt，称为对i在时间上求积分。

这样做的意义在于：从i-t图像上看，q=limt∑i△t=idt就是i-t图像中的面积。若是恒定电流，△q=i△t，即小块矩形面积；若为变化的电流，用△q=i△t来计算，发现有一小块近似三角形面积的误差，但是当△t取无穷小时，该误差会无限接近为零，可以忽略不计，计算的面积无限接近于实际面积。

4.定积分

定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积。即由y=0，x=a，x=b，y=f（X）所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，可以通过以下几个小例子看到定积分在物理学中的作用：

（1）匀变速直线运动位移问题

研究匀变速直线运动时，可以把时间无限细分。在每一份时间内，速度的变化量非常小，小到几乎可以忽略，认为物体在做匀速直线运动，根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移可以知道。由此可以理解，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围成图形的面积。

（2）变力做功问题

变力做功问题不能直接利用公式，可以把位移无限细分，在每一份位移上，几乎可以看作是恒力做功，根据公式算出力所作的功，再无限求和，即求积分，就可以求出变力做的总功。

综上所述，利用微积分的一些思想、观点、原理和方法，可以拓展解题思路，从更深刻的层面理解物理规律，使得繁琐的解题过程更加清晰。微积分在物理学中的应用还很多，值得做更多更深入的探究和考证。

参考文献：

[1]李长明，周焕山.初等教育研究[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]田载今，李海东.关于高中物理教科书中位移公式推导的一点说明[J].中学物理教学参考，2007.

[3]华东师范大学数学系.数学分析（上册，第3版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]李长明，周焕山.初等教育研究[M].北京：高等教育出版社，2012.