动应变相关函数幅值向量在结构异常识别中的试验研究

李 苗，何 敏，郭 魁

（湖南城市学院，湖南 益阳 413000）

结构健康监测作为一门交叉学科，涉及结构、材料、计算机、通信、信息和传感器等众多学科。其思路是利用各类传感器对结构响应进行采集，通过适当的算法对采集所得数据进行处理，提取对结构损伤较敏感的特征指标，形成一种适合结构安全运营与评定的监测系统。Housner[1]等人将结构健康监测系统定义为从运营状态的结构中获取、处理数据，评估结构主要性能指标（可靠度、耐久性等）的有效方法。健康监测的主要研究内容之一就是寻找结构损伤指标。结构发生损伤时，其刚度和质量会随之变化，从而引起动力特征参数的变化。Cawley[2]等最早利用结构固有频率的变化进行损伤识别。模态振型包括位移模态振型和应变模态振型，可以提供损伤位置所需的空间信息。Dong[3]等指出，相比位移模态振型，应变模态振型对结构损伤更敏感。Pandey提出了模态柔度[4]，其本质是固有频率和模态振型的综合量。有学者利用频响函数进行损伤识别，Sampaio等的研究表明[5]，基于频响函数的曲率的损伤识别方法不需要模态分析确定损伤位置和损伤程度。目前，模态频率、振型、阻尼、频响函数及导出量（柔度矩阵、振型曲率等）在内的频域参数是最常见的损伤特征参数。在时域通过响应信号直接构造损伤特征参数是另一种思路。Sohn和Farrar[6]将响应信号的AR模型系数作为损伤敏感指标。Ruotolo[7]等采用奇异值分解得到响应信号矩阵的秩，通过秩的变化进行损伤识别。陈晓强[8]等基于响应信号构造了统计矩曲率、动能密度和伪比能三种损伤指标。本文考虑在时域构造应变损伤指标。推导结构在白噪声激励下，应变时程的相关函数幅值向量与结构固有频率、模态振型和阻尼比的关系。通过钢梁的振动试验证明动应变相关函数幅值向量作为损伤敏感特征参数的有效性。

1 动应变相关函数

1.1 基本原理

相关函数可简单描述成随机振动波形随时间坐标移动时与别的波形的相似程度[9]。在随机振动下，得到其n个测点的响应信号，不同测点的响应xp(t)与xl(t)(l= 1 ,2,3,… ,n)之间的互相关函数Rpl(τ)定义为

对于离散的时间序列（响应），上式可表示成：

N个自由度系统的随机运动方程表示为，

式中[Ms]、[Cs]、[Ks]分别为N×N的质量、阻尼和刚度矩阵；｛L｝为N× 1的映射向量，f(t)是外部激励，｛L｝f(t)是将激励施加于某自由度。｛xs(t)｝，(t)｝，｛(t)｝分别是N×1的位移、速度和加速度向量。

令｛xe｝i代表第i个单元全部节点的位移列阵，｛x｝i为第i个单元内部某一点的位移列阵，有

式中[P]为位移函数矩阵，｛a｝i为多项式函数的系数列阵，其元素为待定常数。在有限元的节点上，每个节点的位置坐标为确定值，有下列关系，

[A]i应为数值矩阵。将系数列阵｛a｝i表达式代入式(4)得

第i个单元内一点的应变为｛ε｝i，

式中m为单元数，[D]为微分算子，

即

此处｛ε｝为单元内的应变，｛x｝为单元节点位移。将式(8)转换到总体坐标中，

式中[β]为坐标变换矩阵，｛xs｝为总体坐标中节点位移向量。式(8)可表示为，

将以上应变—位移关系式[10]代入式(3)得到，

式中：

将式(12)代入式(11)得

式中

求得自由度l处应变单位脉冲响应函数，

其中ωi，ωdi，ξi分别是第i阶无阻尼和有阻尼模态频率、阻尼比；为第i阶应变模态振型的第l个元素。

在f(t)作用下，自由度l输出的应变响应表达式，

互相关函数Rpl(τ)可表示为，

若f(t)为白噪声，则f(t)的自相关函数为，

当σ1=σ2时，式中S是一个常数，为f(t)幅值的平方；δ(t)为单位脉冲函数，即Dirac函数。

该函数具有抽样的特性，即

将式(17)代入式(16)，得到

将式(14)代入上式，可得

其中，

1.2 损伤指标

定义测点p、l间的相关函数幅值rpl，将各rpl组成向量，以p为参考点的相关函数幅值向量记为Vcf

式(20)表明，白噪声激励下，应变响应的相关函数主要包含频率，模态振型和阻尼比这些结构信息。结构在无损状态下，向量中各元素比例应比较固定。通过式(23)对Vcf进行规范化处理，

结构损伤会使结构参数值发生改变，即Vcf中各元素的比例产生变化。以健康状态下的rVcf作为基准，对比结构未知状态下的Vcf，若向量曲线形式一致，则结构正常。向量的一致性可通过模态置信度准则（Modal Assurance Criterion，MAC）判断（式24），两组相关函数幅值向量的一致性越强，其值越接近1。

2 试验介绍

2.1 试验设备

钢梁为闭口方形空心梁，截面高度、宽度均为30 mm，厚度1 mm，面积A=116 mm2。梁体材料弹性模量E=210 GPa。钢梁两端固支，净间距 3.12m。试验仪器为：信号发生器 Agilent 33521A、信号放大器东华 DH1301、激振器东华JZQ-50、120欧 2.5伏电阻式应变片、信号采集仪HBM-MGC plus AB22A。

2.2 试验方案

以单跨固支钢梁作为试验对象，在钢梁上布置工作应变片（图1）；将信号发生器、放大器与激振仪连接起来，通过信号采集仪实时采集动应变数据（图 2、3）；生成白噪声激励作为结构模型的激振源（激励时长30分钟，图4）。首先在数个短时间段内测试无损状态下试验梁的动应变；然后通过在钢梁上布置质量块模拟固支梁的损伤状况[11]，测试相应试验工况下梁体的动应变信号。试验工况：（1）无损试验，结构无损伤，共测试四次（2min/次）；（2）有损试验 a，1、2节点间梁段施加质量块（梁体质量的4%），测试一次；（3）有损试验b，2、3节点间梁段施加质量块（梁体质量的8%），测试一次。

图1 应变片布置图(单位：cm)

图2 钢梁与试验设备

图3 激振器与质量块图

图4 白噪声激励

3 结果分析

无损梁动应变测试共四次（I、II、III和IV），每次时长2分钟。图5所示为试验I的实测数据，考虑篇幅有限，未给出其余三次试验实测数据图。

图5 无损梁应变数据

采用公式（2）得到延时τ=4s，无损梁试验I各测点间的相关函数。据图6所示，相关函数幅值都在τ=0s附近。通过式（21、22）可构成动应变相关函数幅值向量Vcf。

图6 无损梁各测点相关函数

对四次试验的动应变相关函数幅值向量Vcf进行规范化处理，得到四条Vcf比例曲线（图7）。图形显示，四次测试的比例曲线形式较为一致，以试验I的Vcf作为基准，采用模态置信度准则MAC（式24）量化四次试验相互间的Vcf一致性，MAC值非常接近1（表1）。说明四次试验固支钢梁都处于无损状态，与实际情况相符。有损试验 a、b通过在钢梁上施加质量块模拟结构的损伤，两次试验施加的质量块分别为梁体质量的4%和8%。实测结构各测点的动应变数据如图8、9所示。

表1 无损梁试验下的MAC值

图7 无损梁动应变相关函数幅值向量

图8 有损试验a应变数据

图9 有损试验b应变数据

基于两组有损试验的动应变数据，得到规范后的相关函数幅值向量Vcf（图10、11）。与之对比的曲线为四次无损试验所得的相关函数幅值向量均值。两组图显示，钢梁在增加质量块后，相关函数幅值向量曲线形式有显著的变化。计算有损试验a、b的Vcf与无损Vcf均值的MAC值，分别为0.9137和0.9428。有损试验a的Vcf曲线变化显著的位置出现在r1-2，有损试验 b的Vcf曲线在r1-3较明显，该现象与质量块所处梁段的位置（分别为1、2节点间与2、3节点间）有相关性。

图10 有损试验a相关函数幅值向量

图11 有损试验b相关 函数幅值向量

4 结论

（1）钢梁在无损状态下，四组动应变相关函数幅值向量Vcf呈现一致的线形，说明Vcf正确反映了结构状态；

（2）钢梁在分别施加约梁重 4%与 8%的质量块情况下，规范后的相关函数幅值向量Vcf较无损状态发生了 8.6%与 5.7%的变化，有效识别了固支梁的结构异常；但质量块的增加并未造成Vcf改变量的增大；

（3）有损试验的Vcf曲线变化较显著的位置与钢梁施加质量块的梁段具有一定相关性，可进一步通过算法和试验进行分析验证。

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