初中数学四边形教学的解题策略分析

☉浙江省绍兴市越城区孙端镇中学 任冬海

初中数学四边形教学的解题策略分析

☉浙江省绍兴市越城区孙端镇中学 任冬海

“坚持以生为本的教学理念，将学习能力培养作为有效教学的第一要务，在教学活动中，锻炼和培养学生的分析、思考、解题能力，注重解题策略的有效运用.”这是新实施的初中数学课程教学指标的最新要求，力求在初中数学教学中加强学生的解题思维训练，培养学生的解题策略.四边形教学是初中数学教学章节中最为重要的部分之一，针对此章节培养学生各种解题能力和策略方法，从而提升学生学习数学知识的技能，推动数学教育的良性发展.［1］

初中四边形的几何图形教学是整个几何教学的重要组成部分，四边形教学的解题思路探析不仅能够提高学生的自我解题能力，而且还可以为以后复杂的立体几何图形解析打下坚实的基础，针对初中四边形的解题方法是多种多样的，接下来就针对初中数学四边形的教学提供几种解题策略.

一、添加辅助线

添加辅助线的方法是指通过添加辅助线将四边形分割或者构建出特殊三角形、特殊四边形等新的几何图形进行解析，充分运用已知条件进行辅助线添加，便于几何解析.在进行添加辅助线的方法培养时，要注意添加辅助线的原则——尽可能往已知条件靠拢，尽可能分割组建成特殊三角形、特殊四边形等能创造出已知条件价值的几何图形.

图1

1.添加对角线

例1如图1所示，在四边形ABCD中，AE、AF分别是BC、CD的中垂线，∠EAF=80°，∠CBD=30°，求∠ABC和∠ADC的度数.

解析：如图1所示，连接AC.

因为AE、AF是BC、CD的中垂线，所以AB=AC=AD，所以B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上.

因为∠CBD=30°，所以∠DAC=2∠DBC=60°，所以∠DAF=30°，因此∠ADC=60°.

又因为∠EAC=80°-30°=50°，所以∠ABC=∠ACE= 90°-50°=40°.

2.添高线

例2如图2所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠A+∠C=180°.

证明：如图3所示，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，DF⊥BC于点F.

因为BD平分∠ABC，所以DE=DF，从而Rt△EAD≌Rt△FCD（HL），所以∠C=∠EAD.

因为∠EAD+∠BAD=180°，所以∠BAD+∠C=180°，即∠A+∠C=180°.

图2

二、利用补形法

补形法顾名思义就是将原有的四边形通过边线的延长相交，形成一个新的几何图形，利用已知条件进行解析.

例3如图3所示，在四边形ABCD中，∠B=∠C=60°，P为BC上的一点，且BP=3，PC=6，AB=1，CD=4，求∠APD的度数.

解析：由∠B=∠C=60°，作延长线补图，将四边形ABCD转化为△QBC的问题.

延长BA、CD交于一点Q，连接QP，则△QBC为等边三角形，所以PQ=CQ=BC=3+6=9.

图3

得△BPA∽△BQP.

同理得∠CPD=∠CQP.

所以∠BPA+∠CPD=∠BQP+∠CQP=60°.

故∠APD=180°-（∠BPA+∠CPD）=180°-60°=120°.

三、平移法

平移法是指通过平行的线段或者角进行等量的数据处理，由已知条件转化出未知条件，从而进行四边形的几何图形解析.

例4在四边形ABCD中，AD= BC，E、F分别是AB、CD的中点，直线EF与AD的延长线交于点G，与BC的延长线交于点H.求证：∠AGE=∠BHE.

证明：如图4所示，过点F作FM平行且等于AD，FN平行且等于CB，连接AM、BM、AN、BN、MN，则四边形AMFD和四边形NBCF是平行四边形，从而有AM平行且等于DF，NB平行且等于FC.又因为DF=FC，所以AM平行且等于NB，四边形AMBN是平行四边形.所以MN和AB互相平分.又因为MF=AD，NF=BC，且AD=BC，所以MF=NF，所以△MFN是等腰三角形，FE是底边MN上的中线.所以∠MFE=∠NFE.又易得∠MFE=∠AGE，∠NFE=∠BHE.所以∠AGE=∠BHE.

四、旋转法

旋转法是指将四边形的其中一个部分以一点为中心进行旋转，使其旋转到一定的位置，与原有部分重新拼凑出一个新的几何图形，新的几何图形必须是利于解题的矩形、正方形等特殊几何图形.

图5

例5如图5所示，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD= CD，DP⊥AB，P为垂足，且S四边形ABCD= 18，求DP的长度.

解析：将△DAP绕D点按逆时针方向旋转90°到△DQC的位置.因为∠ADC=∠ABC= 90°，AD=CD，Rt△DQC≌Rt△DPA.从而可得四边形DPBQ为正方形，DP为正方形的边长.因为S四边形DPBQ= S四边形ABCD=18，所以DP2=18，所以DP=

五、转化法

转化法是指通过将四边形分割成便于计算的三角形、矩形等图形来进行解析，利用已知的条件，将四边形进行合理的分割转化，便于学生理解与计算.这种方法的运用，不仅需要教师进行课堂的教学引导，而且需要学生有足够的想象力与创造性，培养了学生主动解决问题和创新思维的能力.［2］

例6如图6所示，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，点F、G分别在AB、CD上，EG交AC于点H，且∠D=∠ACB.

图6

图7

（1）若∠FEG=2∠D，试探究线段EF与EH之间的数量关系，并对你的结论加以证明；

解析：（1）易知△ABC为等腰三角形，∠BAC+2∠B= 180°.又因∠FEH=2∠B，故∠FAH+∠FEH=180°.得A、F、E、H四点共圆.连接AE，因∠EAF=∠EAH，得.所以EF=EH（同一个圆中，等弧所对的弦相等）.

（2）连接BD，AE，过点D向BC的延长线作垂线，垂足为M，易知△DCM≌△ABE，得DM=AE、CM=BE，则BM=

初中四边形的解题思路固然多样，但在实际运用中也不仅仅局限为其中某一种，而是多种方法的灵活运用，最终达到清晰、简洁的完美解答.

六、结束语

初中数学是数学教学中承上启下的阶段，其中四边形问题的解析教学是一个不断探索的过程，其解题思路有很大的灵活性，还需要我们不断地探索新的解题思路和方法，运用多种手段进行解析.四边形教学模式的探索对初中数学教学的发展是至关重要的，应得到广大教师的重视.做好这个环节，有助于提升中学生的解题技巧和解题能力，提高教师教学的水平，初中几何的教学才能真正的实现突破，从而提高课堂教学的有效性.

1.杨洋.浅谈四边形教学中初中数学解题策略的应用［J］.中学课程辅导（教学研究），2014（29）.

2.王国营.平行四边形教学中学生学习能动情感培养之探［J］.考试周刊，2014（53）