点集拓扑中各种紧致空间之间的相互蕴含关系

张灵敏，郑国萍，邸聪娜

(河北科技师范学院数学与信息科技学院, 河北 秦皇岛，066004)



点集拓扑中各种紧致空间之间的相互蕴含关系

张灵敏，郑国萍，邸聪娜

(河北科技师范学院数学与信息科技学院, 河北 秦皇岛，066004)

介绍了紧致空间、可数紧致空间、列紧致空间、序列紧致空间、局部紧致空间、仿紧致空间的基本概念，讨论了上述几种紧致空间之间的相互蕴涵关系。对于紧致空间之间具有的蕴含关系，先给出了相应的结论，然后从理论上进行了详细的验证；对于紧致空间之间不具有的蕴含关系，给出了具体的反例。

紧致空间；可数紧致空间；列紧致空间；序列紧致空间；局部紧致空间；仿紧致空间；相互蕴含关系

紧致空间是拓扑学中应用极为广泛的一类空间，有着重要的理论和实际意义[1]。紧致性是拓扑空间的重要性质之一，是一种拓扑不变性质，又是对闭子空间可遗传的性质，且具有有限可积性。另外，把分离性公理放在紧致空间中考察，将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了[2]。常见的几种紧致空间之间有一定的蕴含关系，但有些蕴含关系是在满足一些特定的条件下成立的，把各种紧致性放在一起来讨论，容易产生混淆。但现有文献对这一问题的讨论过于简单，相互之间的蕴含关系叙述不够清晰和详细。比如，赵秀恒等[3]仅从定义方面分析了各种紧致性之间的关系，没有给出明确的结论；赵树魁等[4]仅给出了紧致性与可数紧致性的一种刻画方式，没有具体的讨论其相互蕴含关系；文献[2]中这部分内容也比较简单。由此导致学生在学习过程中很容易产生困惑，混淆这几种空间，对其性质模糊不清。针对这一问题，笔者对几种常见的紧致空间进行了深入的研究，讨论了各种紧致空间的相互蕴含关系，给出了相关结论，并进行了详细的论证。

1 各种紧致空间的概念

定义1.1[2]设X是一个拓扑空间，如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓空间X是一个紧致空间。

定义1.2[2]设X是一个拓扑空间，如果X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个可数紧致空间。

定义1.3[2]设X是一个拓扑空间，如果X的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X是一个列紧致空间。

定义1.4[2]设X是一个拓扑空间，如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X是一个序列紧致空间。

定义1.5[5]设X是一个拓扑空间，如果X中的每一个点都有一个紧致的邻域，则称拓扑空间X是一个局部紧致空间。

定义1.6[6]设X是一个拓扑空间，如果X中的每一个开覆盖都有一个局部有限的开覆盖是它的加细，则称拓扑空间X是一个仿紧致空间。

2 各种紧致空间之间的相互蕴涵关系

2.1 紧致空间与可数紧致空间之间的相互蕴涵关系

定理2.1.1 每一个紧致空间都是可数紧致空间。

证明 因为X是一个紧致空间，所以X的每一个开覆盖都有有限子覆盖，因而每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，所以X是一个可数紧致空间。

定理2.1.2 每一个Lindelöff的可数紧致空间都是紧致空间。

证明 设X是一个可数紧致空间，则X的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，又因为X是一个Lindelöff空间，X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，所以X的每一个开覆盖都有有限子覆盖，因此X是紧致空间。

定理2.1.3 存在可数紧致而不紧致的拓扑空间。

例[7]设w1为第一个不可数序数，X=[0,w1]为所有小于或等于w1的序数组成的集合，Y=[0,w1)是所有小于w1的序数组成的集和。在X和Y上都取区间拓扑，则X=[0,w1]是紧致的，从而[0,w1]也是可数紧致的。这就是说，在[0,w1]中每个序列都有聚点x∈[0,w1]。因w1是集合(a1,w1)的聚点，但它不是(a1,w1)中某个序列的聚点，故x≠w1，从而x∈[0，w1)。可见[0,w1)是可数紧致的但不是紧致的，因为{[0,a)|a

这说明可数紧致空间是Lindelöff空间时，它才是紧致空间。

2.2 可数紧致空间与列紧致空间之间的相互蕴涵关系

定理2.2.1 每一个可数紧致空间都是列紧致空间。

证明 设X是一个可数紧致空间。为了证明它是一个列紧致空间，只要证明它的每一个可数的无限子集都有凝聚点。在此，笔者用反证法来证明这一点。假设X有一个可数无限子集A没有凝聚点。首先这蕴涵A是一个闭集，此外对于每一个a∈A，由于a不是A的凝聚点，所以存在a的一个开邻域Ua使得Ua∩A={a}。于是集族{Ua|a∈A}∪{A′}是X的一个开覆盖。由于X是可数紧致空间，它有一个有限子覆盖，不妨设为{Ua1,Ua2,…,Uan,A′}，因为A∩A′=Φ,所以{Ua1,Ua2,…,Uan}必定覆盖A。因此，A={Ua1,Ua2,…,Uan}∩A={a1,a2,…,an}是一个有限集。这是一个矛盾。因此假设不成立，即X是一个可数紧致空间。

定理2.2.2 每一个列紧致的T1空间都是可数紧致空间。

所以，X是一个可数紧致空间。

定理2.2.3 存在列紧致而不可数紧致的拓扑空间。

例 令X=N,N为自然数集，T为以B={{2n-1,2n}:n∈N}为基的X的拓扑，设a∈A⊂X，若a=2k,k∈N，则2k-1为A的聚点；若a=2k+1,k∈N，则2k+2为A的聚点，所以X为列紧致空间，因B为X的两两无交的开覆盖，且B为无限集，所以X不是可数紧致空间。

2.3 序列紧致空间与可数紧致空间之间的相互蕴涵关系

定理2.3.1 每一个序列紧致空间都是可数紧致空间。

定理2.3.2 每一个满足第一可数性公理的可数紧致空间都是序列紧致空间。

N1=min{j∈Z+|xj∈U1∩E1}

对于每一个i>1，令

Ni=min{j∈Z+|xj∈Ui∩ENi-1+1}

于是N1,N2,…是一个严格递增的正整数序列，并且xNi∈Ui对于每一个i∈Z+成立。

下面证明序列{xi}的子序列{xNi}收敛于x：设U是y的一个邻域，存在某一个k∈Z+使得UNk⊂U,于是当i>K时有xNi∈Ui⊂Uk⊂U。因此，X是一个可数紧致空间。

定理2.3.3 存在可数紧致而不序列紧致的拓扑空间。

例[8]因为紧致空间都是可数紧致空间，所以只需说明存在紧致而不序列紧致的拓扑空间即可。

设I为单位闭区间，并在I上取通常拓扑，X为乘积空间II。据Tychonoff定理[1]，X是紧致的。往证X不是序列紧致的。为此，定义函数序列an∈X(n=1,2,…)如下：an(x)代表x∈I的二进位表示式中的第n个数字。为证X不是序列紧致的，只要证明an(x)中不存在收敛子列即可。反证，设{an}有子列{ank}收敛于a∈X。因乘积空间中的收敛性等价于依坐标收敛，故对每一个x∈I，ank(x)在I内收敛于a(x)，取x∈I，使其在二进位表示式中奇数位置上的数字为0，偶数位置上的数字为1，则据函数ank(x)的定义，当k为奇数时ank(x)=0，而当k为偶数时ank(x)=1。也就是说，序列{ank(x)}是0,1,0,1,…它并不收敛。因此，X不是序列紧致的。这说明只有在第一可数性公理下可数紧致空间才是序列紧致空间。

2.4 局部紧致空间与仿紧致空间之间的相互蕴涵关系

定理2.4.1 每一个满足第二可数性公理的局部紧致的Hausdorff空间都是仿紧致空间。

[1] 段彦峰，陈国龙，武成伟.紧致性定理在近世代数中的应用[J].长江大学学报：自然科学版·理工，2012,9(5):9-10.

[2] 熊金城．点集拓扑讲义[M].第三版．北京：高等教育出版社，2003．

[3] 赵秀恒,白占立.关于拓扑空间紧性的研究[J].河北师范大学学报：自然科学版,1999,23(1):27-29，32.

[4] 赵树魁，周景新.紧致性与可数紧致性的一种刻画[J].河北科技大学学报，2007，28(1):11-13.

[5] 梁基华，蒋继光．拓扑学基础[M]．北京：高等教育出版社，2000．

[6] 儿玉之宏,永见启应.拓扑空间论[M].北京:科学出版社,2001.

[7] 汪林，杨富春．拓扑空间中的反例[M].北京：科学出版社，2000．

[8] 李雨生．与一拓扑紧性反例相关的结果[J]．数学的实践与认识，2000，30(4)：491-492．

(责任编辑：朱宝昌)

Relationships Among Compact Spaces in Point Set Topology

ZHANG Ling-min,ZHENG Guo-ping,DI Cong-na

(School of Mathematics and Information Science & Technology, Hebei Normal University of Science & Technology, Qinhuangdao Hebei,066004,China)

In this paper, many concepts were introduced such as compact space, countable compact space, sequentially compact space, sequences of the tight space, local compact space and paracompact space, and the relationship among these spaces was discussed. The conclusion was put forward and demonstrated theoretically in detail, and concrete counterexamples were given.

compact space; countable compact space；sequentially compact space；sequences of the tight space；local compact space；paracompact space; relationships

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2015.01.015

张灵敏(1981-),女，讲师，硕士。主要研究方向：图论，拓扑。

河北科技师范学院教学研究项目(项目编号：JYYB201202)。

2014-08-27; 修改稿收到日期: 2014-10-10

O152

A

1672-7983(2015)01-0077-04