小学数学抽象思想渗透的思考与实践

黄德忠

《义务教育数学课程标准》（2011年版）（下面简称《标准》）已将数学基本思想纳入义务教育阶段的数学学习目标[1]。抽象是数学基本思想之一，通过抽象，“人们把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象”[2]。数学研究的对象是抽象了的东西，所以学习数学离不开抽象。受到小学生年龄特征和知识水平的局限，所以小学数学抽象思想教学方法主要是“渗透”。如何在小学数学教学中渗透抽象思想呢？我们从以下几方面进行了思考与实践。

一、 研究学习素材，挖掘抽象思想渗透资源

《标准》建议，“教材所选择的学习素材应尽量与学生的生活现实、数学现实、其他学科现实相联系，应有利于加深学生对所要学习内容的数学理解。”小学生学习数学常常依赖于具体的学习素材，第一学段学生尤其如此。小学数学教材中所选择的学习素材也往往是蕴含数学知识的生活现实，但这些生活现实只是“举例”，只是数学知识载体，是数学学习的“桥梁”，教材选择这些生活现实的真正目的是通过这些“例子”引领学生理解和掌握这些“例子”所蕴含的数学知识，而这些数学知识要通过“抽象”才能获得，因而要求教师要对教材中的学习素材进行研究、挖掘，即从这些具体的学习素材中要抽象出那些学生要掌握的数学知识以及如何让学生感悟到抽象思想在数学学习中的作用。

我们以苏教版一年级数学上册教材《认数》单元所选择的学习素材分析为例，从课题中我们已明白，本单元要求学生学会认“数（自然数）”，而这些“数”要从学生的生活现实中抽象产生。

教材以学生熟悉的“教师节快乐”节日现场为主题图，并以学生现有的知识（数数）为支撑，学生边数数（数气球个数）边抽象出自然数1、2、3、4、5……由于单一的数学现实不足以完成抽象思想的形成过程，况且学生的思维也会因“单一”而“定势”。鉴于此，教材又在配套练习中选编了不同个数的黄瓜、辣椒、红萝卜、菠萝、草莓、香蕉、梨、树、花等学生熟悉的生活现实，进一步抽象概况出数字1、2、3、4、5……的数学模型。教师还可以引导学生运用抽象出的数来说说这些数还可以表示生活中的哪些数量，以此再把“纯数学知识”运用到生活中去，体会“数学”与“生活”的联系，学生也因此隐约体悟到抽象思想在数学学习中的作用。

随着小学生年龄和数学知识的增长，一些已经抽象出的数学知识作为学习素材也会直接编入教材，目的是为了进一步抽象出其他数学知识，形成数学知识体系。

例如，一年级中有这样的填数题：

8+□<12 8-□<3 6>14-□ 12>□+7

到了第二、三学段，教师就可以通过联系上面此类素材引导学生抽象、构建出不等式数学模型，学生也因素材熟悉而不感到突然，抽象的过程也就水到渠成。

那么此素材在一年级教材中如何渗透抽象思想呢？经分析，这些“填数题”是要求学生在“□”中填一个合适的数，但教师应明白，若把“□”（“□”仍具有很强的直观性）进一步抽象成“X”，则这些“填数题”就抽象成不等式，变元“X”就有确定的取值范围，教师应当挖掘出教材的编排意图，了解符号“□”在这里起“位置占有者”作用，把握素材蕴含的抽象的符号变元这一思想，从而引导学生思考、讨论：“□”内最大能填几？最小能填几？最多能填几个？而不仅仅是填几个数了事。教材中蕴含的进一步抽象的数学思想使数学知识前后相互联系、相互支持，形成体系，而不是孤立的知识点。

可见，抽象思想资源是要靠教师对学习素材进行研究、挖掘才得以“显现”的，学生今后要逐步学习与研究的四则运算、几何图形、分数等数学知识都离不开抽象思想，所以不论哪一学段数学教师都要逐步、不断地渗透抽象思想，唯如此，学生才能对抽象思想经历一个从模糊到清晰的领悟过程。

二、 实施渐近原则，强调抽象思想渗透无痕

小学生数学抽象思想的形成，要无痕“渗透”，渗透时要把握好尺度，不能过早或过迟，要循序渐进、螺旋上升，切不可操之过急，试图一步到位的做法是不可取的。因为学生对包括抽象思想在内的任何一种数学思想的认识都是在反复体会与领悟中得以形成的，它要经历从个别到一般，从低级到高级，从感性认识到理性认识，从直观理解到抽象概括的“小坡度”拾级而上的过程。

下面以苏教版《有余数的除法》教学为例来理解二年级学生抽象思想逐步领会的过程。

1.从实物分配到算式运算过渡

对于小学生来说学习数学是从生活经验开始的，在低年级学生脑子里“除法”“有余数的除法”就是“动手分东西”。 鉴于此，苏教版教材在编写时安排了小朋友“分铅笔”的情境（主题图），如图2：

提出问题：把10枝铅笔分给几个小朋友，每人分得同样多，可以怎样分？小朋友操作时会“试”着进行分配“每人分2枝”和“每人分5枝”都没有多余。列成除法算式是：10÷2=5（人）和10÷5=2（人）。

当每人分3枝时，就会发现：10枝铅笔，每人分3枝，可以分给3人，但还剩1枝。每人分4枝、6枝都有剩余。

引导学生写成除法算式：

10÷3=3（人）……1（枝）。

10÷4=2（人）……2（枝）。

10÷6=1（人）……4（枝）。

在分铅笔过程中剩余的不够再继续分的铅笔数：1（枝）、2（枝）、4（枝）就是余数。这里的从“铅笔的实物分配”到“列除法算式”是一个抽象思想运用的过程，同时也抽象出了“余数”这一新的数学概念，为进一步抽象概括出余数的相关规律作了必要的铺垫。

2.从算式特点抽象概括出余数的规律

教材继续举分实物的例子，要求学生列算式，不过和开始主题图不同的是，此例并不要求学生再次真的“动手操作”，而是让学生看着实物在脑子里想着“分桃子”“分气球”，教材之所以这样编排，可能是帮助学生经历一个“半抽象”的过程，我们可以把这一过程看作是从“具体”到“抽象”的一个过渡，也是对学生多次反复地进行抽象思想的渗透过程，使学生逐步领悟到抽象思想在数学中运用。例如，学生根据“分桃子”图抽象出算式：7÷3=2（盘）……1（个）；根据“分气球”图抽象出算式：17÷5=3（个）……2（个）。至此，学生已经从具体到抽象得出若干个“有余数的除法算式”（余数为0时，通常说是“整除”），火候已到，教材便提出问题：“比较每道题里的余数和除数的大小，你发现了什么？……”学生会趁热打铁再次将“余数”知识抽象概括到一般化规律层面。如抽象概括得出：余数一定比除数小，被除数等于除数乘商加余数等。

可见，小学生抽象思想的渗透要与具体知识教学相联系，要顺应学生认知发展规律，按照反复孕育→初步领悟→简单应用的路径逐步进行，这样才能取得潜移默化、水到渠成的效果。

三、 突显学生参与，为了抽象思想渗透对象

学生是学习的主体，意味着抽象思想渗透的对象是学生，教学的一切活动都必须建立在学生学的基础上，因此，渗透数学抽象思想的前题是组织学生积极参与数学的学习活动全过程，此过程是学生在师生、生生互动中、在教师的引导下渐渐体会、领悟、形成、掌握抽象的数学思想过程。学生对具体的数学知识学习与对数学抽象思想的感悟有明显的不同，学生对数学知识的学习主要是理解与记忆，而对数学抽象思想的感悟则重在体会与应用；学生数学学习主要是在数学活动中进行的，脱离了数学活动过程数学抽象思想的感悟也就成了空中楼阁。为更好地让学生感悟抽象的数学思想，设计的数学活动一定要服务于学生的学习，适合学段学生的特点。

低段学生要体会抽象思想是要靠直观教材辅助的，这是由低段学生的年龄特点与思维特征决定的。如在教学《认识角》时，为了让学生抽象出“角有大有小，且角的两边张开大，角就变大；张开小，角就变小”这一特点。我们创编了很有数学味的“小红帽造角”情境，旨在引导二年级学生积极参与到这个数学学习活动中，教师将角的这一特点的抽象过程设计在整个的教学活动中，最后引导学生很自然地抽象出角“变大、变小”的特点。

师：现在轻松一下，带大家参观一个工厂。

（学生高兴极了！教师课件出示“造角厂”，学生有的惊讶，有的兴奋……）

师：造角厂里有一个造角的机器，还有一个小工人，请出他们。

（课件显示一个标上数字的钟面和小红帽，教师引导大家回忆钟面上的相关知识。）

师：请大家看，小红帽开始造角了。

（课件动态演示小红帽分别拉动分针的过程，呈现出分针与时针的不同夹角，如图3。）

（课件动态演示：从“分针与时针的不同夹角”抽象出数学上的平面图形“角”——锐角、直角、钝角。）

师：这些角中谁最大？谁最小？为什么？

……

小学生参与的数学抽象活动，往往不是“纯抽象”的数学活动，而是要借助有趣的且又有数学味的生活情境，目的是通过“直观”走向“抽象”，生活情境是学生通向抽象思想的“桥梁”。如本案例，通过“造角厂”这个情境，一方面在钟面上造角，利用数格子的方法，将角的大小量化，变“机械演练”为“数学思考”，学生易于抽象出角有大有小的；另一方面，动态地呈现小红帽造“角”的过程，将静态的知识形象化、动态化，进而从契合了小学生好玩、好动、好奇的天性。小红帽这一形象也让学生感到亲切，易于接受，整个学习过程充满童真童趣。整个抽象思想学习过程水到渠成、润物无声，学生不知不觉中体会到抽象思想的作用。之所以设计这么有趣的数学活动，目的是为了让学生更好地体会抽象的数学思想。

综上我们不难发现，小学数学概念的获得、法则的概括、规律的探索、解决问题策略的提炼等所有数学知识的学习都离不开抽象，数学知识的探究过程实质上也是数学抽象思想的感悟过程，抽象思想的教学要融入到具体的数学知识教学过程中，让学生在数学知识的探究过程中逐步领悟抽象的数学思想。抽象思想的教学不是通过几堂课就能完成的，需要教师把抽象思想的教学要求作为数学教学目标纳入到日常教学的备课环节、课堂之中和课后反思的全过程中，需要教师深研教材，充分挖掘具体的数学学习素材所隐含的抽象思想，抓准抽象思想与具体数学知识的结合点，进行长期的无痕渗透，使学生都能够顺利地获得抽象思想这一数学学习的法宝，从而实现学生数学素养的提升。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.（2011年版）义务教育数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 史宁中.漫谈数学的基本思想[J].中国大学教学，2011（7）.

[3] 史宁中.数学的基本思想[J].数学通报，2011（1）.

【责任编辑：陈国庆】