条件命题的证明及推广

胡春华,胡倩

(长江大学 信息与数学学院,湖北 荆州,434025)

高等数学中关于含有多个ξ关系式命题的证明问题,往往利用拉格朗日中值定理[1]证明。本文利用介值定理[1]和拉格朗日中值定理先证明一个命题,之后对命题进行了推广。在命题及其推广结论的证明过程中,充分体现了点选取的重要性,如本文结论6中ki的选取。

1 命题

根据文献[2–3]给出命题:设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(x′)0 ＞,(0)0f=,f(1)=1,则存在使

2 命题的证明

由f(x′)0＞,(0)=0f,(1)=1f,知f(x)[0,1]∈。因在[0,1]上连续,由介值定理知,存在而()f x在区间上满足拉格朗日中值定理条件,故存使得

3 主要结论

在上述命题的证明过程中,在区间(0,1)中找到合适的点x1,且满足是很重要的一步,该是函数 f(x)值域的中点。考虑取值域的n等分点,令2,…,n),(这里取 x0=0,xn=1)上分别运用拉格朗日中值定理,得到如下结论。

事实上,在命题的基础上(条件同命题),可进一步作如下推广。

结论4 ∀ n ∈ N+,存在

下面证明结论4～6,证明思路和方法可参考文献[4–10]。

结论4的证明 当 1n=时,结论显然成立。下证 1n＞时结论也成立。

注意到上述命题与结论中i和λi的取值均有限制,存在局限性,因此推广到如下更一般的结论。

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