以地球为参考系下太阳系各行星运动轨迹的探讨

杨习志 胡 斌

(云南省昆明市第一中学，云南 昆明 650031)

以地球为参考系下太阳系各行星运动轨迹的探讨

杨习志 胡 斌

(云南省昆明市第一中学，云南 昆明 650031)

本文以火星为例，借助Matlab，分别从地球公转、自转、自转轴倾角等三个方面，研究以地球为参考系下太阳系其他行星的运动轨迹，具体给出火星在2014年-2016年不同季节相对于地球的位置.

太阳系；地球；火星；Matlab；运动轨迹

在中学关于参考系以及太阳系行星模型的教学中，学生经常问这样的问题：若以地球为参考系，太阳系其他行星的运动会是什么样？这其实是一个非常复杂的问题，老师们往往很难回答.历经千年，以太阳为中心，行星围绕太阳做近似圆周运动的模型似乎已成为人们的常识.但我们实际生活在地球上，我们的观看一定是以地球为参考系进行的，故在日常生活中，我们根本不可能看到行星围绕太阳做圆周运动的景象.那么，如果以地球为参考系，太阳系其他行星的运动轨迹到底怎么样？这是一个看似简单却非常复杂的问题，原因有三：第一，地球和其他行星都在围绕太阳公转，而且公转速度不一样.第二，地球本身在自转，地球上的观察者当然也会跟着地球自转.第三，地球的自转轴与太阳所在平面并不垂直，存在一个夹角，即黄赤交角.因此，要想直接想清楚各个行星的运动情况几乎是不可能的事，这就需要借助于计算机，因此，本文利用Matlab，研究以地球为参考系下太阳系其他行星的运动轨迹问题.

为简化问题，以火星为例，并作以下假设(实际上几乎不影响观看结果)：第一，太阳系各行星的运行轨道是圆；第二，各行星处于同一平面内；第三，观察者站在地球的赤道上；第四，以火星和地球相距最近时为起始点.

1 只考虑地球的公转

图1 考虑地球公转时的坐标转化

故可用Matlab编程如下：

t=0:0.01:2;%运行时间2年

x=1.52*cos((pi/0.99)*t)-cos(2*pi*t);

y=1.52*sin((pi/0.99)*t)-sin(2*pi*t);

i=0;

for t=0:0.01:2;

i=i+1;

x(i)=1.52*cos((pi/0.99)*t)-cos(2*pi*t);

y(i)=1.52*sin((pi/0.99)*t)-sin(2*pi*t);

plot(x,y,x(i),y(i),'or');

getframe;%截取每幅画面

axis equal;%坐标等距

axis off;%取消坐标轴线

end

运行结果如图2所示：

图2 考虑地球公转下2年时间内火星的运行轨迹

由图2可以看出，以地球为参考系下火星的运动轨迹像一个苹果，并不是标准的圆或椭圆，而且在一个周期中会出现逆行现象，这是由于地球的公转角速度比火星的公转角速度大而造成的.

令t=0∶0.3∶2.1;可以确定每个季度火星相对于地球的位置，同理也可以确定各个时期的位置，以2014年04月08日火星冲日(火星与地球最近)为起点，则得到火星各个季度相对与地球的位置如图3所示.

图3 2014—2016年火星与地球的相对位置

若令t=0：0.01：50，则运行结果如图4所示，可以看出，以地球为参考系下看到的火星的轨迹不是一个稳定的图形，而是在不断变化着的.因为每完成一个周期后火星相对于地球的初始位置已经发生了变化，相对初始位置在不断的向前移动，故导致火星的心型轨迹在不断的转动.

图4 考虑地球公转下50年时间内火星的运行轨迹

令t=0：0.01：100，则运行结果如图5所示，可以看出：100年后火星的轨迹覆盖了火星离地球最近和最远范围内的整个平面.

图5 考虑地球公转下100年时间内火星的运行轨迹

2 考虑地球的公转和自转

图6 考虑地球公转和自转时的坐标转化

故可作编程如下：

t=0：0.01：10;

x=1.52*cos((pi/0.99)*t)-2*cos(2*pi*t) -(4.3e-5)*cos(730*pi*t);

y=1.52*sin((pi/0.99)*t)-2*sin(2*pi*t) -(4.3e-5)*sin(730*pi*t);

i=0;

for t=0:0.01:10; i=i+1;

x(i)=1.52*cos((pi/0.99)*t)-2*cos(2*pi*t)-(4.3e-5)*cos(730*pi*t);

y(i)=1.52*sin((pi/0.99)*t)-2*sin(2*pi*t)-(4.3e-5)*sin(730*pi*t); plot(x,y,x(i),y(i),'or'); getframe; axis equal; axis off;

end

运行结果如图7所示.

图7 考虑地球公转与自转时10年时间内火星的运行轨迹

由于地球的半径相对于地球与火星的轨道半径，以及图像尺寸与实际观看尺寸相比都太小，故看上去似乎与不考虑地球自转时是一样的，为了看出差别，可将地球的半径适当放大，令R=4.3×10-2AU，代入程序中，则运行结果如图8所示.

图8 考虑地球公转与自转时火星2年内的运行轨迹

由图8可以看出由于地球的自转，导致火星相对于地球的轨迹在原轨迹上发生微小的回旋，由于地球的自转角速度远大于火星的公转角速度，而且地球的半径远小于火星相对于地球的距离，故地球自转对火星的轨迹形成了图中的微型回旋振荡.

3 考虑地球自转轴倾角

图9 考虑地球自转轴倾角时的坐标转化

令α=23.5°，可作编程如下：

t=0:0.01:10;

x=1.52*cos((pi/0.99)*t)-2*cos(2*pi*t) -(4.3e-5)*sin(23.5/360)*cos(730*pi*t);

y=1.52*sin((pi/0.99)*t)-2*sin(2*pi*t) -(4.3e-5)*sin(730*pi*t);

z=(4.3e-5)*cos(23.5/360)*cos(730*pi*t);

i=0;

for t=0:0.01:10; i=i+1;

x(i)=1.52*cos((pi/0.99)*t)-2*cos(2*pi*t) -(4.3e-5)*sin(23.5/360)*cos(730*pi*t);

y(i)=1.52*sin((pi/0.99)*t)-2*sin(2*pi*t) -(4.3e-5)*sin(730*pi*t);

z(i)=(4.3e-5)*cos(23.5/360)*cos(730*pi*t); plot3(x,y,z,x(i),y(i),z(i),'or');

axis([-4,4,-4,4,-4,4]);%坐标轴范围

getframe;运行结果如图10所示.

图10 考虑地球公转、自转以及自转轴倾角时火星10年内的运行轨迹

由于图像尺寸与实际观看尺寸相比太小，故可改变坐标轴范围，将z轴尺寸进行放大.令t=0:0.005:5，axis([-4,4,-4,4,-5e-4,5e-4])，运行结果如图11所示.

图11 考虑地球公转、自转以及自转轴倾角时火星5年内的运行轨迹

由图11可以看出考虑地球的自转轴倾角后，火星的运行轨迹除了以上的运动形式外还在上下振动，这是由于在地球的自转倾角的影响下，火星相对于地球的位置时上时下的结果.

令t=0:0.005:100，axis([-5,5,-5,5,-2e-4,2e-4])

运行结果如图12所示.

图12 考虑地球公转、自转以及自转轴倾角时火星100年内的运行轨迹

由图12可以看出，100年后，火星的轨迹呈现一柱体样式，要注意中间并没有被填满，只是被挡住看不见而已.

通过以上分析可以看出，以地球为参考系去看太阳系其它行星的运动轨迹与我们脑海中行星的运行轨迹是完全不一样的.作为老师，若了解这些问题，那么不但可以回答学生的相关问题，还可以在参考系的教学当中给学生讲解一下在研究物理问题时选取参考系的重要性，比如，研究天体的运动时，以太阳系为例，若选太阳为参考系，则会使天体的运动变得非常的简单，若以地球为参考系，则会使之变得非常的复杂，这或许也是“日心说”经历很长时间未被发现的原因之一，因为它不符合人们日常的观察结果.在很多情形下，若转化一下参考系，则会使问题研究变得非常的简单.