例谈初中数学《图形与几何》的入门教学

柯曾莲

学生常言“几何头，代数尾，还有函数追命鬼”。这句话说明了《图形与几何》在初中数学中一直处于“两难”的位置——学生难学，教师难教。而对于这个内容，《新课标》明确规定，数学课程中应当注重发展学生的符号意识和空间观念，形成几何直观能力，发展形象思维与抽象思维;在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中发展合情推理和演绎推理能力。这种巨大的反差让我们时常深思，如何消除学生的学习障碍呢？

一、过好兴趣关，消除心理障碍

兴趣是入门的先导，学生学习的最大动力乃是对所学材料的兴趣。这说明兴趣教学起着至关重要的作用。

结合多年的教学经验和几何的学科特点，举出一些学生由于学了几何而带动数学成绩整体提高的实例;在课堂教学中，结合教学内容从几何的实用性、趣味性、几何推理的严密性和逻辑性等激发学生学习的兴趣。告诉学生，学习的目的就是训练人的逻辑思维能力，使人变得聪明，考虑问题周密，所以聪明人说“几何几何，越学越活”，蠢笨的人说“几何几何，脑袋想破”。谁还想当蠢笨的人呢？这样，便可从思想上消除畏惧心理。

利用几何直观、多媒体资源，尝试Z+Z课件平台和几何画板工具把抽象的几何知识，更形象直观地呈现在学生面前，通过平移、旋转、轴对称等方法和直观可信的画面，使得课本上“死”的几何知识能在屏幕上“活”起来，动静结合易于学生理解和接受，使学生对几何学习产生浓厚的学习兴趣。

教材为学生动手操作实践提供了素材，教师应为学生提供足够的时间和空间。如在学习全等三角形的时候，可以让学生剪一些全等的三角形，通过图形变换的几种方式拼成各种图案，这能为三角形全等找对应元素提供很大的帮助。又如在学习轴对称时，让学生利用轴对称的性质剪窗花、设计轴对称图案等，可使学生明确数学来源于生活又服务于生活，利用几何知识还可以美化生活，深信学习几何是必要的，也能激发学生的学习兴趣。

二、过好语言关，消除交流障碍

我们发现，学生害怕学习几何的一个重要原因是几何语言不过关，在学习中，不能有效地应用几何语言进行表达、交流和思维。为此先得过好语言关，力求使语言准确规范。

要让学生弄清字母、几何术语、定义、公理、定理等的意义和规范。如：一个小写字母几何里表示一条直线或线段，代数里却可以表示任何一个数;一个大写字母代数里表示一个代数式，而在几何里却只能表示一个点;两个大写字母表示线，三个大写字母表示角和三角形（或者弧线、折线），四个大写字母表示四边形，多个大写字母表示多边形等等，要求学生动口说和动手写的时候都要先“安上姓再附上名”，这就和我们人的名字一样。

注重三类语言的转换。几何语言指图形语言、文字语言、符号语言，这三种语言通常是并存的，将三者之间相互转换，是学生学习几何的基本功之一。要训练学生多说、多写、多画，逐步做到几何语言准确简练，绘制图形正确清晰，符号语言使用规范，建立起三者的有机联系，教师先当好“翻译”，逐步使学生自己成为“翻译”。如角平分线（图1）是其图形语言，其符号语言应该表述为“OC平分∠AOB或∠AOC=∠BOC=[12]∠AOB”;再如等腰梯形，（图2）是其图形语言，其符号语言应为“梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD”。只有这样，学生才能和数学文本顺畅地进行交流。

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三、过好推理关，消除思维障碍

推理贯穿于数学教学的始终，图形与几何教学的重要任务之一是培养学生的逻辑思维能力，推理又是形成思维能力的基础。课标要求：“推理证明的教学应关注学生对证明基本方法的掌握和证明过程的体验，证明过程及其表述符合逻辑，清晰而有条理。”推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的训练过程。

对于推理格式、步骤的训练，教师要当好“领路人”。训练要有的放矢，辅导要及时耐心，点拨要精心启发。训练步骤由一步、两步到三步。如“因为有垂直，所以有直角”，“因为有第三条直线与两平行直线相交，所以有角相等或互补”，“因为是平行四边形，所以有对边等对角等对角线平分”。开始是教师“建模版”，学生“套内容”，模板“套”多了，对条件和结果之间的因果关系清楚了，自然就熟练了。

对于有理有据地推理证明，教师要当好“帮扶手”。让学生经历“模仿→分析思路→选择方法→推理证明”的过程，重点训练学生找准推理的切入点、推理过程的表述、检查推理是否有理有据。为了训练推理的条理性，教师可以示范一些关联词，如：“因为……所以……”;“又因为……所以……”。对于复杂的推理过程，就要理清各个条件之间的层次关系（如因果关系、并列关系等），这样的训练推理过程衔接自然，顺理成章。

对于逻辑推理方法、解题思路分析的训练。教师的作用就是“穿针引线”。教师要善于引导学生用分析法和综合法来思考，设置系列问题串，引导学生用分析法由这些问题串“执果索因”形成解题思路。然后放手让学生用综合法“由因导果”有条理地写出推理过程。这样长期坚持，既可以培养学生的推理能力，又可以养成学生思维的好习惯。

例：如图3，AD平分∠BAC，∠BAC+∠ACD=180°，E在AD上，BE的延长线交CD于F，连CE且∠1=∠2，求证：AB=AC.

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教学时可设置下列问题串：

（1）AB与AC在哪两个三角形里？怎样才能证明它们相等？

（2）要证明△ACE≌△ABE，隐含条件是什么？还需知道几个条件？

（3）还能找到边等的条件吗？有角等的条件吗？∠2可能和那个角相等？

（4）∠1=∠2，还需要证明出谁和∠1相等就可以了？

（5）如何证明∠1=∠B？条件是怎样的？

学生经过思考得出如下思路：

分析思路—→

[      AB=AC←      ΔACE?ΔABE←∠2=∠B←∠1=∠2（已知）∠1=∠B←CDAB←∠BAC+∠ACD=180?（已知）∠CAB=∠DAC←AD平分∠BACAE=AE（公共边）]

←—推理过程

有了这样的思路，学生自己写出证明过程就轻而易举了。

引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法，进行比较和讨论激发学生对几何证明的兴趣，训练他们思维的广阔性和灵活性。教师要学会“放风筝”。通过一题多解、一题多变、变式训练和开放性联系等方式培养学生的创新思维能力，丰富解决问题的方法和策略。

例：如图4：已知[?]ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F.连接AF、CE。

（下转第32页）

（上接第29页）

求证：四边形AFCE是菱形.

<F：＼TM＼中小学＼2015＼2期＼t2q-9.tif>

对于此例，我首先提出了以下问题：

（1）你能用哪些方法推理？

学生经过长时间的思考后得出了以下思路：

（1）证△AOE≌△COF→AE=CF，AE∥CF→[?]AECF，EF⊥AC→菱形AECF

（2）证△AOE≌△COF，再证△AOF≌△COE→AE=CF，AF=CE→[?]→AECF，AE=EC→菱形AECF

（3）证△AOE≌△COF→AE=CF，AE=EC，AF=CF→AE=CE=CF=AF→菱形AEC

（4）证△AOE≌△COF→OE=OF，AO=CO→[?]AECF，EF⊥AC→菱形AECF

接着提出问题：（2）看看哪些方法较简单？

结论显而易见，这样的过程既让学生运用所学知识解决了问题，又让学生进行了思维类比，提升了学生的思维水平。

四、过好反思关，消除应用障碍

坚持让学生反思自己的学习过程，积累学习经验，消除应用障碍可以为学生后继的学习奠定较好的基础。如在学习平行四边形的性质和判定以后，我们做了下列小结：平行四边形我们研究的内容是：边、角、对角线三方面的特征;研究的步骤是“下定义→探性质→研判定”;研究的方法是“通过观察、猜想、证明，把四边形问题转化为三角形问题，从对性质定理的逆命题讨论中研究判定定理”。所以在学习特殊平行四边形时可以用类比的思想方法来研究特殊平行四边形性质和判定。这样，学生在后面的学习中就有了方向、目标和方法。

对于比较抽象的内容，把它编成歌诀、顺口溜来辅助记忆。学习讨论中点四边形时探讨发现，利用三角形的中位线定理，把中点四边形的边转化为以原四边形的对角线为第三边的三角形中位线，中点四边形的形状只与原四边形的两条对角线的关系有关。所以我们一起把中点四边形规律总结成如下歌诀：不看角不看边，只看原来的对角线;相等是菱形，垂直是矩形，其他都为平行四边形，这些歌诀和顺口溜，数形结合、形象直观、生动有趣、易于记忆，也积累了学生的数学经验，还可以养成学生自己总结规律的好习惯。

（责任编辑：张华伟）