过程温度传感器的温度动态特性

2015-03-23ThomasFroehlich张洪军SilkeAugustin吕丹妮

中国计量大学学报 2015年1期

关键词：时间常数热导率阶跃

Thomas Froehlich,张洪军,Silke Augustin,吕丹妮

(1.德国伊尔梅瑙工业大学过程测量和传感器技术学院，德国伊尔梅瑙 98693;

过程温度传感器的温度动态特性

Thomas Froehlich1,张洪军2,Silke Augustin1,吕丹妮2

(1.德国伊尔梅瑙工业大学过程测量和传感器技术学院，德国伊尔梅瑙 98693;

2.中国计量学院计量测试工程学院,浙江杭州 310018)

温度传感器的动态特性对于伺服控制和安全上限等方面的应用非常重要.对于不同工艺介质和有限的测温梯级情况下的温度测试问题,测试程序、可靠的参数识别方法以及测量比较都是当前研究的前沿.当测量的温度范围很大时,材料物性参数随温度的变化不能忽略,这种依随性是非线性的,采用传统模型来解决就会遇到困难.研究给出了材料物性变化最简单情况下的非线性常微分方程模型,即物性参数随温度线性变化,并进行分析求解;且针对一个简单的圆柱体给出了解析解,对其进行了讨论并与有限元法数据进行了对比.

过程温度;温度传感器;阶跃响应;动态温度;内燃机

过程温度传感器的动态特性在伺服控制和安全上限等应用中广受关注[1-2].时间常数是用来描述和比较不同尺寸和形状传感器的主要特征量[3].线性常微分方程(ODEs),R-C模型或时间百分比常常用来定量描述过程温度到传感器信号的动态热传递过程.这些集总参数模型对于理解热耦合和热容等比分布式模型(如有限元分析)更加方便有用.另一方面,基于这种方法的实际控制回路设计也更简单[4].

线性时不变系统(对应线性常微分方程)的解析解广为熟知,它对于阶跃响应是指数衰减,通常称为T1特性.归一化的阶跃响应和时间常数τ与输入阶跃幅值和方向无关.

内燃机(特别是汽车马达)工作过程中温度变化范围有1 000 K,其工作过程最优控制和安全温度极限的确定等方面对于动态温度测量需求越来越多.材料物性和热耦合关系在整个温度范围内不是恒定的(见第一部分),这使得信号动态特性不再是线性.实验表明[5-6]归一化阶跃响应和所输入的温度台阶幅值及符号有关,大幅值温度台阶的阶跃响应不再是指数式衰减,小振幅还是指数衰减,但时间常数与温度有关.

本文给出了一个有限元分析模型和一个简单的分析模型,并针对不同尺寸和形状的传感器进行了比较.

1 材料参数的温度相关性

相关资料给出了Al2O3在很宽温度范围内的热容c和热导率λ数据.图1为Al2O3热容随温度的变化曲线[7-12],图2为热导率温度关系曲线[3，7-9，11-12].不同参考文献给出的热容和热导率数据不完全一致,但定性特征方面基本一致.本文采用加权平均和最小二乘多项式拟合方法对有限元分析结果在0 ℃和1 000 ℃范围内进行处理,获得了c和λ随温度变化的光滑曲线.我们发现,对于热容c,二阶多项式拟合可以有很好结果,而热导率λ需要采用三阶多项式拟合,结果分别为:

c(T)=793.9221+1.360 3ϑ-1.522 74×

10-3ϑ2+6.257 35×10-7ϑ3;

(1)

λ(T)=36.305 3-0.092 81ϑ+1.075 99×

10-4ϑ2-4.448 60×10-8ϑ3.

(2)

式中:ϑ—单位为℃,c—单位为J/(kgK),λ—单位为W/(m·K).

图1 Al2O3热容温度关系曲线图Figure 1 Heat capacity temperature dependency of Al2O3

图2 Al2O3热导率温度关系曲线图Figure 2 Thermal conductivity temperature dependency of Al2O3

两个多项式都只能在0 ℃≤ϑ≤1 000 ℃范围内使用,不能外推.热膨胀及其温度影响可以忽略.热容和热导率之比与温度呈线性关系,如图3所示.之所以给出这个比值,是因为如果介质耦合良好,给定几何形状和边界条件时,其值与时间常数τ成正比,因此,当对流热阻Rα→0,温度常数从

图3 Al2O3热容与热导率之比温度曲线图Figure 3 Temperature dependency of the ratio heat capacity by thermal conductivity of Al2O3

(3)

变为

(4)

2 有限元模型

假设圆柱体直径2 mm,高10 mm,材质为Al2O3.在0 ℃到1 000 ℃范围内,Al2O3材料特性和温度相关.我们采用ANSYS程序(Mechanical APDL 14.5)进行数值计算,用轴对称单元对圆柱体进行建模.根据公式(1)和公式(2)进行计算,热容c和热导率λ数据制成表格,温度从0 ℃到1 000 ℃,温度间隔为50 K.材料密度ρ被假设成一个常数,ρ=3 570 kg/m3.初始时刻t=0时为均匀温度场,圆柱左侧底面温度保持不变(图4),我们进行了瞬态温度场的数值计算.阶跃响应计算到200 s,时间步从10-8s增加到0.5 s.

图4 有限元模型和经典温度梯度Figure 4 FEA Model and typical temperature gradient

有限元计算结果表明温度动态特性和阶跃方向有关(图5).温度阶跃为100 K的计算结果如图6所示,各100 K阶跃的63%响应时间t63与温度的关系见图7,非常接近于线性.当然,正是由于热容与热导率之比与温度的线性关系导致了这一结果.

图5 有限元模型下供热制冷1 000 K时的阶跃响应Figure 5 Step responses for heating and cooling by 1 000 K calculated with FEA Model

图6 有限元模型下Δϑ=100 K时的阶跃响应Figure 6 Step responses for Δϑ=100 K calculated with FEA Model

图7 图6中响应时间t63与温度关系曲线图Figure 7 Temperature dependency of the reponse time t63 corresponding to figure 6

3 集总参数模型

采用集总参数的模型,材料物性不变情况下的常微分方程(ODE)众所周知[13-14].对于初值问题

(5)

开始和结束的温度分别为ϑ0和ϑ∞.这是个线性时不变系统,对于ϑ∞=0,

ϑ(t)=ϑ0e-kt.

(6)

对于ϑ∞≠0,通过比例运算和平移可得:

ϑ(t)=ϑ∞-(ϑ∞-ϑ0)e-kt.

(7)

式中:k和材料特性及几何形状有关,是时间常数的倒数,

(8)

当材料物性不是常数时,最简单的例子是物性与温度呈线性关系.此时k不再是常数,是温度的线性函数,即

k(ϑ)=k∞+k1ϑ.

(9)

式中：k1—物性参数随温度线性变化的斜率,当ϑ∞=0时,

(10)

k∞=k(ϑ∞)=k(0),是过程结束时的值,即零温度.我们假设k(ϑ)在各个温度下都是正数,这与常微分方程稳定非平凡解相符.把公式(9)带入公式(5),ϑ∞=0,则

(11)

这是个Riccati型微分方程,也是个简单结构的Bernoulli型方程,可以通过分离变量进行求解:

(12)

通过积分和求幂得到

(13)

系数C根据ϑ(0)=ϑ0确定,求解ϑ∞得到显式表达式

(14)

(15)

很明显,这不再是方程(6)的线性时不变系统的指数衰减系统.当K=(k0-k∞)/k∞的绝对值比较小时,方程(15)中的分母接近于1,方程(15)退化到线性时不变系统的方程(6).K是从ϑ(0)=ϑ0到ϑ∞=0整个温度变化范围内材料物性参数的相对变化.由于k(ϑ)任何温度都是正的(k0和k∞也是正数),因此比值K在-1到无穷之间变化

-1K.

(16)

图8 不同K值下的归一化阶跃响应,K=6.251 6和K=-0.862 1用方形符号表示Figure 8 Normalized step response for different K, square markers for K=6.251 6 and K=-0.862 1

我们发现当k(ϑ)减小或增大,即K为正或负时,阶跃响应特征不同.图8给出了不同K值的阶跃响应.可以看出数值较小时,比如,K=±10%以内,偏离T1特性很小.比较重要的是,由于K的符号不同,系统的阶跃响应在温度升高或下降时不一样.

当K为正时,K越大时,系统响应越快.当K接近-1时,系统响应很慢,响应接近T2单元.对于有限元分析模型(图5)中1 000 K阶跃响应的情况接近于K=6.251 6(温度升高)和K=-0.862 1(温度降低)的状态,这点在图8中用方形符号的曲线表示出来.

4 讨论

τ(ϑ)=τ0+τ1ϑ.

(17)

这对Al2O3陶瓷圆柱体导热问题更适用,其时间常数、热容和热导率之比在温度0 ℃到1 000 ℃的范围内线性度非常好.存在的问题是,积分可以求出但是没有显式解,除非使用LambertW函数,而且需要是高阶函数k(ϑ),即,当k是ϑ的多项式时,可以求解积分.但是,我们没有指出如何得到k与温度线性相关情况下类似方程(15)的显式解.

温度阶跃幅值很大和K的绝对值较大时,阶跃响应不再是T1类型.温度阶跃幅值较小时可以认为阶跃响应是T1类型,时间常数τ和实际温度相关(图6 100K温度阶跃的有限元模型解).当|K|>0.1时温度阶跃比较大,对应的时间常数τ变化大约10%.温度响应的非线性在伺服控制中非常重要,文献[16]中对此进行了详细的描述.

当然,从实验测量阶跃响应得到τ的常用方法只对线性时不变系统T1类型阶跃响应有用.阶跃幅值较小时这个方法可以采用,而对于大幅值阶跃,在k(ϑ)满足方程(9)中的线性相关情况下,τ和K必须通过测量数据分析得到.对于任意一个k(ϑ),是否可以通过单一大幅值温度阶跃响应来识别,而不是在不同温度下一系列小阶跃来识别,这个问题目前还没有解决,需要进行进一步的研究.

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Temperature-dependent dynamic behaviour of process temperature sensors

Thomas Froehlich1, ZHANG Hongjun2, Silke Augustin1, LYU Danni2

(1.Institute for Process Measurement and Sensor Technology, Ilmenau University of Technology, Ilmenau 98693, Germany; 2.College of Metrology and Measurement Engineering, China Jiliang University, Hangzhou 310018, China)

A good knowledge of the dynamic behaviour of process temperature sensors is very important in many applications for servo-control or safety limits. Test procedures, reliable parameter identification methods and comparison measures are state of the art for different process media and for limited temperature steps. For larger temperature ranges the temperature dependency of the material parameters is no longer negligible, causing a nonlinearity that makes classical model conception difficult. We give a nonlinear ordinary differential equation model for the simplest case of non-constant material properties, i.e. the linear dependency of the parameter over the temperature, and solve it analytically. We explain the given analytical solution, discuss the results and compare them to a finite element method model of a simple cylinder.

process temperature; temperature sensors; step response; dynamic temperature; combustion engine