微分几何课程学习的几点建议

任 燕

(运城学院 应用数学系，山西 运城 044000)

微分几何课程学习的几点建议

任 燕

(运城学院 应用数学系，山西 运城 044000)

通过对微分几何课程的教学实践，从曲线论和曲面论两方面对课程的学习进行探讨，分别针对曲线论和曲面论中的计算类和证明类题型给出了对应的解题方法，通过本文的论述希望能为学生学习微分几何提供一些参考。

微分几何；曲线伦；曲面论；解题方法

0. 引言

1854年黎曼(Riemann,1826-1866)的《论作为几何基础的假设》一文的发表是现代微分几何开端的标志[1]。现在，微分几何已成为高等院校数学与应用数学专业的一门重要几何类课程。该课程主要借助向量微积分及空间坐标架，去解决各种空间曲线和曲面的有关几何问题。由于其具有很强的理论性和抽象性，加上符号多、公式多，可引用的实例较少，直观性弱，所以导致很多同学在学习微分几何时，时常感到题难做，特别是题难证明。其实，任何学科，都有其自身规律，微分几何也不例外。本文主要对微分几何的学习提些建议。

1. 曲线论学习建议

1.1 解题规律应依赖于相应知识的内在规律

1.2 曲线论中的题型及解题规律

1.2.1 计算类问题

1.2.2 证明类问题

曲线论中的证明问题主要有两类,下面分别给出两类问题的解题规律。

(1)证曲线是直线、平面曲线、或证空间曲线有某种性质。这种类型题，首先要掌握好曲线是直线、平面曲线等的充要条件。在应用这些充要条件的过程中，要应用“碰见问题就求导、有点就用伏雷内公式Frenet”的规律。

例 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么这曲线是直线或平面曲线。

两边对s求导，得

两边对s求导，得

例 设在两条曲线c和c1的点之间，建立了一一对应关系，且对应点的切线平行。

求证：对应点的主法线及副法线也分别平行。

2. 曲面论的学习建议

2.1 曲面的性质

3.2 曲面论中的题型及解题规律

2.2.1计算类问题

曲面论中的计算问题主要有两类,下面分别给出两类问题的解题规律。

代入曲率线方程

(a2+b2+v2)du2-(a2+b2+u2)dv2=0

两边积分，

ln(a2+b2+u2)=ln(a2+b2+v2)+lnc

⟹a2+b2+u2=c(a2+b2+v2)

为所求曲率线方程。

说明：先求基本量E、F、G、L、M、N，然后代入曲率线方程，解微分方程得曲率线。

已知曲线可为

代入正交条件，得：

说明：求基本量E、F、G代入正交条件。

综上，这类题型解题规律比较简单，关键在于掌握曲面上各点、线、面的方程特征，求各种轨线，各种计算几何量的公式及各种几何量间的关系式。

(2)由于曲面上有诸多的曲率，求这些曲率及它们之间的各种关系是研究曲面的重要课题，是曲面上几何性质的重要表征。这必导致以各种曲率及其相互关系表征曲面几何性质的一类题型。解这类题型的规律是：由曲面的向量方程求其基本量，再利用它们之间的各种关系公式去解决有关的问题。

2.2.2 计算类问题

求得E=1，F=0，G=u2+a2

∵L=N=0

∴ 曲面上的参数网为渐近网

由u线可得dv=0，v=v0(常数)

解这种类型题的规律是：由曲面的向量方程首先求出六个基本量，再用各种坐标网成立的必要条件，或利用各种曲线的性质，特别是充要条件.而对曲面上的曲线，还是要用“碰见问题就求导，有点就得用公式”的规律。

3. 总结

总之，在微分几何的学习过程中，对一些比较典型的问题，只要找准规律选对方法，就可以使问题变得简单。学生在学习时可以通过与其他同学讨论合作,与老师交流等途径来寻求解题方法。只有不断交流，才能相互促进，达到更好的学习效果[3]。

[1]RiemannB.OntheHypotheseswhichlieattheBasesofGeometry[J] .Nature,1873 ,8(183).

[2] 梅向明，黄敬之．微分几何[M]．北京:高等教育出版社，2003．

[3] 王春丽．高中数学学习方法谈[J]．硅谷，2009(12)．

【责任编辑 马太来】

2015-08-11

山西省教育科学“十一五”规划课题(QZ-09017);运城学院教育教学研究项目(JG201408)

任燕(1982-)，女，山西侯马人，运城学院应用数学系讲师，博士，研究方向为密码学、有限域。

O

A

1008-8008(2015)06-0008-03