基于微课程的数学分析拓展资源建设探讨

杨建雅，张凤琴

(运城学院 应用数学系，山西 运城 044000)

基于微课程的数学分析拓展资源建设探讨

杨建雅，张凤琴

(运城学院 应用数学系，山西 运城 044000)

主要分析了微课程的发展与现状，得出微课程作为新型教育资源，学习方式和教学模式虽然受到了人们的重视，但关于它的研究大多只是阐释理念与应用前景，缺乏对微课程模式实践进行深入的研究与总结。结合教学实践分析了数学分析课程难点以及形成学生学习难点的原因，提出了数学分析微课设计与制作的内容与方法。

微课程；数学分析；积分上限的函数

1. 微课程的发展与现状分析

早在1993 年，美国北爱荷华大学(University of Northern Iowa)的有机化学教授LeRoy A.McGrew认为当时的有机化学教材艰深难懂，为了在一些非正式的场合给大众普及化学常识，提出了60 秒有机化学课程 ( 60-Second Course)，并认为他的60 秒课程可以应用到其他领域用以普及自己的专业知识。1995年，英国纳皮尔大学(Napier University)的Terence Kee教授为了锻炼学生对特定主题掌握核心概念的能力，提出了一分钟演讲(The One Minute Lecture, 简称OML)概念。这些课程在当时虽没有称之为微课，但却是微课的雏型。直到2008年，美国新墨西哥州胡安学院(San Juan College)的高级教学设计师、学院在线服务经理戴维·彭罗斯(David Penrose)正式提出了微课这一概念，他指出微课并不是指为了微型教学而开发的微内容，而是指运用建构主义方法形成的、以在线学习或移动学习为目的的实际教学内容。

我国微课程的相关研究是从2011年开始的，2011年发表的与微课程相关的文章有关中客的《微课程》和广东省佛山市教育局胡铁生的《微课：区域教育信息资源发展新趋势》[1]等，前者阐述了国内外“微课程”概念的源，并指出微课程不可能适用所有的课程，适用哪些课程哪些教学内容需要我们通过实践检验；后者论述了微课的概念、组成、特点及分类，并结合佛山市微课资源库建设实践，总结了区域微课资源库开发的步骤及途径，展望了微课在教育教学中的应用前景。此后微课程逐渐引起众多学者的关注，如梁乐明的《微课程设计模式研究——基于国内外微课程的对比分析》[2]，文中引用了胡铁生关于“微课”的定义：“微课”是指按照新课程标准及教学实践要求，以教学视频为主要载体，反映教师在课堂教学过程中针对某个知识点或教学环节而开展教与学活动的各种教学资源的有机组合。并指出相比Penrose提出的微课程，胡铁生从教育信息资源的角度深化了微课程的概念。再如余毅的《基于微课程模式的资源共享课建设探讨》[3]，该文针对微课程如何设计和制作才能更好地服务于资源共享课建设进行了探讨和总结，并针对微课程建设提出一些建议。由上所述可以看出：微课程作为新型教育资源、学习方式和教学模式虽然受到了人们的高度重视，但是目前关于微课程的研究大多仍在阐释其理念与应用前景，缺乏对实践中的微课程模式进行深入的研究与总结。本文结合数学分析教学实践，对微课的内容选择、微课的设计与制作等方面进行研究。

2. 数学分析微课的内容选择

微课按其用户和用途的不同，可分为教学型微课和学习型微课。其中，教学型微课的用户是教师，用途是教师专业研修；学习型微课的用户是学生，用途是学生自主学习。以下主要研究针对学生自主学习的学习型微课，所选内容主要是学生学习有困难的知识点。

2.1 数学分析课程难点

数学分析课程是我院数学类各专业的最重要的一门基础课程，课程组一直非常重视数学分析课堂教学改革，得到了一定的研究成果。如：《数学分析课程教学改革的探索》[4]、《小组合作学习在数学分析课程中的应用研究》[5]、《数学分析课堂教学模式研究》[6]和《数学分析课堂教学改革的实践与思考》[7]等，并在教学实践中取得了明显效果，但在运用微课程教学方面很少进行研究。通过学习、查阅相关微课程的文献资料，分析微课程的特点与微课程教学的基本要求。结合我院学生实际和数学分析课程的特点，我们认为应该将数学分析课程的难点、和易错点等引入到微课程教学中。

数学分析课的难点是极限理论中的相关证明、闭区间连续函数性质及其证明、实数理论、定积分可积条件、函数级数的一致收敛性、富里埃级数、含参变量的积分、多重积分计算等。具体来讲主要有以下几种类型:极限、连续和一致连续的定量定义的理解与证明问题，定积分的定义和可积性条件的理解与证明问题，函数级数的一致收敛性的定义和性质的理解与证明问题，富里埃级数的收敛性定理的理解与计算函数的富里埃展开式的问题，参变量的积分定义的理解和敛散性的判别问题，多重积分计算问题以及多种交叉综合问题等。

2.2 形成学生学习难点的原因

数学分析课程的概念抽象严密、推理论证逻辑性强、思想方法转换多样。形成学生学习难点的原因比较复杂，但归纳起来，形成学生学习难点的原因主要有以下几种：首先是所学习的内容的本质属性比较隐蔽，对学生来讲缺乏感性认识。因而难以开展抽象思维活动，不能较快或较好地掌握学习内容，形成了学习难点。如函数的一致连续性概念、函数列和函数项级数的一致收敛性概念等。其次是所学内容新旧知识纵横交错，比较复杂，学生在学习新知识时对已知概念、原理掌握不准确、不清晰，在新旧知识的衔接上呈现较大的差距，从而陷入了认知的困境，形成了学习难点。如证明函数在某区间内无界，证明函数的极限不是某定数，证明函数在某区间上非一致连续和有关定积分基本定理的证明问题等。第三是已学过的知识对新知识的负迁移作用压倒了正迁移作用。在已知向新知的转化中，注意力集中到了对过去概念、原理的回忆上，而没有把这些概念、原理运用于新的学习之中，形成了学习难点。如凸函数定义的理解与证明、变上限的定积分的求导及曲线积分、曲面积分问题等。第四是学习内容综合性强、变化复杂，使学生一时难以接受和理解，形成了学习难点。

3. 数学分析微课的设计与制作

由于学习型微课程最终是面向学生的，所以在微课的设计和制作上要从学生的角度去考虑，突出“学习”的过程，体现以“学生为本，面向学生，为了学生学习”的教学思想。为了精炼、直观形象、生动有趣的展现课程内容，更好地诠释知识，引导学生，把握精髓，深入探究，在微课的设计上我们主要运用了以下几种方法：第一是运用直观的方法加强学生的感知。第二是创设情境，联系实际，引导学生的思维由具体到抽象，由特殊到一般。第三是补充材料，化解难点法。第四是对于易混淆的内容，运用对比方法区分各自的特点。第五是分散难点，对于难度较大的问题，把问题按难易程度分解成若干个与之相关的小问题，小坡度式地层层递进。为了学生视觉听觉上舒服，通俗易懂，在微课的制作上我们有主题明确的微课名称、有信息提供的片头、有逻辑的正文内容、有引导性的片尾等。以下是我们关于积分上限的函数求导一讲的微课设计：

首先分析难点形成的原因，对积分上限的函数求导，学生不易掌握，是因为学生对积分上限的函数与被积函数的关系理解不清楚，教材呈现给学生的是积分上限的函数的导数等于被积函数在积分上限处的对应的表达式，积分上限的函数是被积函数当自变量是上限变量时的原函数.如果对积分上限的函数求导，那么根据导数运算与积分运算的互逆关系，应该还原为被积函数。如此反复使学生的思维在数学概念之间打转，形成学生学习难点。尤其是积分上限的函数中，积分上限是函数的情形，在求导时，要把该积分上限的函数看成复合函数，由于中间变量的位置的特殊性，学生对这种复合关系理解不清楚，进一步形成学生学习难点。

根据以上分析，我们确立了这一课的教学思想：借助于数学符号，让上述各种关系体现在数学符号之间的转换，使各函数之间的关系更具体，更直观，达到学生对概念及公式更好的理解和应用的目的.在这一教学思想的指导下，将这一讲的内容进行分类，从最基本的积分上限的函数的求导数开始，到被积表达式中含有上限变量的积分上限的函数的求导，再到积分上限是的函数的积分上限的函数的求导，最后学习计算积分上、下限都是的函数的函数的导数和含有积分上限的函数的式子的极限；由易到难，层层梯进，分解难点，围绕主题。教学过程如下：

3.1 基本类型

把积分上限的函数的自变量与积分变量区分开来，积分上限的函数的自变量是上限变量，对积分上限的函数求导是对上限变量求导，与积分变量没有关系。弄清上限变量后，再根据积分上限的函数的求导公式计算就可以了。举例如下：

3.2 被积表达式中含有上限变量

对于这种情况，我们应该先想办法把积分变量从被积表达式中分离出来，然后再进行求导。

3.3 积分上限是x的函数

积分上限的函数还有一种重要的类型，那就是积分上限是x的函数，以下我们举例说明如何求这一类积分上限的函数的导数。

下面举例说明以上公式的应用

3.4 拓展延伸

利用计算积分上限的函数的导数的方法，还可以计算积分下限的函数的导数和函数的极限等。以下举例说明。

3.5 作业

计算下列函数的导数

总之，我们主要研究的是针对学生自主学习的学习型微课，所选内容主要是学生学习有困难的知识点，我们的教学特色主要体现在：由浅入深，分层次有坡度地设计教学过程，分解难点，围绕主题。满足学生对知识点的个性化学习的需求；加深学生对教学内容的理解；培养学生用联系的观点思考分析问题，形成正确的思维方法；激发学生的学习兴趣；训练学生的发散性思维和创新思维等。

[1] 胡铁生.微课：区域教育信息资源发展新趋势[J].电化教育研究,2011(10).

[2] 梁乐明,曹俏俏,张宝辉.微课程设计模式研究——基于国内外微课程的对比分析[J].开放教育研究，2013(1).

[3] 余毅.基于微课程模式的资源共享课建设探讨[J].中国教育信息化，2014(5).

[4] 杨建雅.数学分析课程教学改革的探索[J].运城学院学报，2008(2).

[5] 杨建雅.“小组合作学习”在数学分析课程中的应用研究[J].运城学院学报，2010(5).

[6] 张凤琴,杨建雅.《数学分析》课堂教学模式研究[J].教育理论与实践，2010(36).

[7] 杨建雅，张凤琴等.数学分析课堂教学改革的实践与思考[J].运城学院学报，2012(2).

【责任编辑 马太来】

Discussing on the Expansion Resources Construction of Mathematical Analysis Based on the Micro Course

YANG Jian-ya, ZHANG Feng-qin

(DepartmentofAppliedMathematics，YunchengUniversity，Yuncheng044000,China)

This paper analyses the development and current situation of the micro course. The micro course draws people’s great attentions as the new education resource, the model of learning and teaching. While the most researches still stay in the interpretation of the thought and the application prospect, which lack the deep research and conclusion in practical teaching model. According to teaching practice, this paper analyzing the difficulties of mathematical analysis course and the reasons of affecting students’ learning, and proposing the making content and the designing method about the micro course of mathematical analysis.

Micro course; Mathematical analysis; Function of integral upper limit

2015-10-11

山西省高等学校精品资源共享课程项目； 运城学院教育教学研究项目(XK-2014034)

杨建雅(1962-)，女，山西临猗人，运城学院应用数学系教授，研究方向为数学教育与生物数学。

O171

A

1008-8008(2015)06-0001-04