1阶复结构形变中产生Bott-Chern上同调群和Aeppli上同调群维数跳跃的障碍公式的解析证明

林洁珠，叶轩明

（1.广州大学数学与信息科学学院，数学与交叉学科广东普通高校重点实验室，广州510006 2.中山大学数学与计算科学学院数学系，广州510275）

1阶复结构形变中产生Bott-Chern上同调群和Aeppli上同调群维数跳跃的障碍公式的解析证明

林洁珠1，叶轩明2

（1.广州大学数学与信息科学学院，数学与交叉学科广东普通高校重点实验室，广州510006 2.中山大学数学与计算科学学院数学系，广州510275）

设X为一个紧致复流形，考虑X的任一复结构形变族π：X→B，则X的Bott-Chern上同调群和Aeppli上同调群的维数在此变化过程中可能产生跳跃现象.在文献［1］中，Schweitzer将Bott-Chern上同调群和Aeppli上同调群表示成为某一个层链L·p,q的上同调群.在文献［2］中，作者通过研究X各阶形变中与L·p,q［1］拟同构的层链B·p,q的超上同调群等价类元素在延拓过程中的障碍来研究这一跳跃现象，得到了产生此障碍的公式.本文将给出1阶障碍公式的另一个用L·p,q上同调计算的解析证明.

Bott-Chern上同调群；Aeppli上同调群；复结构形变；障碍；Kodaira Spencer类

0引言

设X为一紧致复流形，π：X→B是以复流形X为中心纤维的复结构形变簇.记在t∈B点处的π的纤维为Xt=π-1（t）（关于复结构形变簇的介绍，读者可以参考文［3-4］）.记X的Bott-Chern上同调群和Aeppli上同调群分别为H（X）和H（X），他们的维数h（X）和h（X）是重要的复结构不变量.在文献［5］中，Angella讨论了Iwasawa流形在小的复结构形变中，h（X）和h（X）的变化情况，给出了一个在小复结构形变过程中，h（X）和h（X）产生跳跃的例子.

在文献［1］中，Schweitzer将Bott-Chern上同调群和Aeppli上同调群表示成为某一个层链L的上同调群；他还引进了另一个层链B，并证明了该层链与［1］是拟同构的.这意味着可以通过研究层链的超上同调的跳跃现象来研究（X）和（X）的跳跃，提供了研究Bott-Chern上同调群和Aeppli上同调群的重要工具.在文献［1］中，我们找出了在无穷小复结构形变中，（X）和（X）发生跳跃现象的“原因”.从障碍理论的角度去研究这个问题，确切地说，给定一个复流形X，现考虑它的一个以底空间B为参数空间的复结构形变族X，对于X任一的超上同调Hl（X,）的等价类［θ］.找出将这个元素延拓成为相对超上同调群Hl（X,）里的一个等价类的障碍，并称那些有非平凡障碍的元素为障碍元素.实际上，这些元素在研究无穷小复结构形变（X）和（X）发生跳跃的现象中将扮演重要角色.因为这类元素的存在，是无穷小复结构形变中（X）和（X）发生变化的充分条件（关于Hodge数和切层上同调群维数在复结构变化过程中的障碍理论可参考文献［6］、［7］）.

在文献［2］中，解释了障碍元素和超上同调群Hl（X,）维数（从而也就是（X）和（X））发生跳跃现象的关系如下.

定理0.1［2］设π：X→B是以紧复流形X为中心纤维的复结构形变族.现在考虑以t∈B为变量的函数dimHl（X（t）,B）.此函数将在t=0发生跳跃（减少）当且仅当存在Hl（X,）或者Hl-1（X,）中的等价类［θ］和一个自然数n≥1使得该元素的n阶障碍

同时，还得到计算障碍on（［θ］）的一个公式.

定理0.2［2］设π：X→B是π-1（0）=X的一个复结构形变族，其中X是一个紧复流形.令πn：Xn→Bn为X的n阶无穷小形变.对于上同调群Hl（X,B）的任一等价类［θ］，如果，能将其延拓到n-1阶，即将其延拓为上同调群Hl（Xn-1,；Xn-1/Bn-1）中的一个等价类［θn-1］，则将［θ］延拓到n阶的障碍是

其中κn是n阶Kodaira-Spencer类（关于n阶Kodaira-Spencer类的定义，可参考文献［8］）¯κn是→的n阶Kodaira-Spencer类.是在文献［2］中定义的在同调群间的映射.

定理0.3［2］设π：X→B是π-1（0）=X的一个复结构形变族，其中X是一个紧复流形.令πn：Xn→Bn为X的n阶无穷小形变.如果存在上同调群H（X）的一等价类［θ1］或者存在上同调群H（X）的一等价类［θ2］和一个自然数n≥1使得on（［θ1］）/= 0或者on（［θ2］）/=0，则h（X（t））会在0点发生跳跃.其中on（［θ1］）和on（［θ2］）由下面公式给出：

定理0.4［2］设π：X→B是π-1（0）=X的一个复结构形变族，其中X是一个紧复流形.令πn：Xn→Bn为X的n阶无穷小形变.如果存在上同调群（X）的一等价类［θ2］或者存在上同调群Hq+p-2（X,B）的一等价类［θ3］和一个自然数n≥1使得on（［θ2］）/=0或者on（［θ3］）/=0，则（X（t））会在0点发生跳跃.其中on（［θ2］）和on（［θ3］）由下面公式给出：

公式中各个算子的定义请参看文献［2］.

在本文中，将给出以上定理0.3和定理0.4中的障碍公式在n=1的时候的一个用层链的上同调群计算的证明.在n=1时，以上的障碍公式变为：对于任意给定的方

1.o1（θ1,V0）为Hq+p（X,）中的

2.o1（θ2,V0）为H（X）中的

3.o1（θ3,V0）为（X）中的

在下文中，将给出上面1-3的证明.在此之前，先介绍一下有关Bott-Chern上同调群和Aeppli上同调群的一些结果.

1关于Bott-Chern上同调群和Aeppli上同调群

下文中关于Bott-Chern上同调群和Aeppli上同调群的结果都可以在文献［1］中找到.令X为一紧致复流形.我们知道Dolbeault上同调群Hp,q¯∂（X）或更一般的Frölicher谱序列［9］中的（X）都是复流形的有限维不变量；另一方面在文献［10-11］定义的Bott-Chern上同调群和Aeppli上同调群给出了更多的X的复结构不变量，它们的定义分别为

和

由Hodge定理知道，所有的这些不变量都是有限维并且有这样的同构

和链算子

其中嵌入S·⊂L·是一个拟同构［1］.

文献［1］中还构造了另一个层链B·p,q是

由此得到下面在超上同调的同构

和

2关于o1（θ♯,V0），其中♯∈｛1,2,3｝

现考虑复结构形变簇π：X→B，其中π-1（0）=X，X为紧复流形.记令C为B上的复值实解析函数层，为X上的在π的纤维方向为全纯，B方向上是实解析的复值函数层.为X上的在π的纤维方向为反全纯，B方向上是实解析的复值函数层.令m为C，的极

对于任意的群Hl（X,）中的等价类［θ］，我们希望将［θ］延拓成为一个-闭的截面θt（其中，dt是Xt上的层链的第l阶微分算子）.现在，考虑以下的短正合列

这个短正合列诱导了下面的长正合列

和

所以，有

因此，如果取定方向V0之后，能对θ♯进行一阶延拓当且仅当在Hl+1（X,）中的δ∗（θ♯）（V0）是平凡的.称o1（θ♯,V0）=δ∗（θ♯）（V0）为一阶障碍，并且我们将给出其具体的计算公式.

和链算子

由前一节的讨论知道，为了计算o1（θ♯,V0），要考虑正合列（1），因为希望通过相对比较直观解析的方法来计算这个障碍.但是因为没有相应的零调层分解，所以考虑下面这个层链正合列

而不是正合列（1）.短正合列（2）诱导了下面的长正合列

以及连接映射

另一方面，因为有短正合列

诱导的映射

不难验证

因此，为了计算δ∗（［θ］），不能只考虑δ∗∞（［θ］），还需要考虑如何求映射φ.

现考虑如下映射

其中，φ′的具体定义如下，对于任意的Hl+1（X,M⊗B）中的等价类［ωt］.定义φ′（［ωt］）为TB→Hl+1（X,B））映射如下：令Ωt为的一个截面，满足其商映射φ的象为ωt.取定V0后，定义

其中，LV为X上的Lie导数，V为X的光滑切向量场，且满足π∗（V）（0）=V0.关于以上映射，有以下引理.

引理3.1上述映射φ′是的定义是合理的，且有

证明首先我们要计算φ′.设B在0点附近的局部坐标为ti，对于任意的Hl+1（X, M⊗）中的等价类［ωt］.

int（·）（·）表示切向量场和形式作内积，而

设V纤维方向上的分量为VX，因为φ（int（VX）dΩt）|X+φ（d（int（VX）（Ωt）））|X=0，所以得到

为了证明φ′的定义是合理的，我们需要证明：

（I）φ′（［ωt］）（V0）不依赖于等价类［ωt］的代表元ωt的选取；

（II）φ′（［ωt］）（V0）只依赖于向量场VX在0点的值；

（III）φ′（［ωt］）（V0）是闭的.

首先证明（II），给定V0，现考虑向量场V，满足V为X的切向量场，且π∗（V）（0）=V0.因为φ′（［ωt］）（V0）是取Lie导数，φ作用后再限制在X上，所以只依赖于V|X.且从上面计算可以看到，实际上φ′（［ωt］）（V0）只依赖于V0，而不依赖于V|X在X切向上的分量.

再看（I），现设ω′t为等价类［ωt］的另一个代表元.所以，存在的整体截面βt,i,，使得类似于前面的计算，

根据定义

对比前面的结果，得到φ′=φ.

有了以上的准备，现在可以具体求o1（θ♯,V0）（其中♯∈｛1,2,3｝）的障碍公式了.现考虑上同调群Hl（X,）中的一个等价类［θ♯］总是可以将θ♯延拓为中的一个截面.根据前面分析，需要求δ∗（θ♯）.所以要求φ′◦δ∞∗（θ♯）.根据定义即，要求一个整体截面，满足，φ（Ω）为θ（其中φ为X上微分形式层到相对微分形式层自然的商映射）.根据以下记V在TX上的投影为V1，在¯TX上的投影为V2，因为对于任意的（p,q）形式Ωp,q，有

则由映射φ′的定义，得到：

综上所述，得到了所有障碍公式的证明.

［1］SCHWEITZER M.Autour de la cohomologie de Bott-Chern［J/OL］.arXiv：0709 3528v1，2007［2014-03-06］.http：//arxiv.org/abs/0709.3528.

［2］LIN J Z，YE X M.The jumping phenomenon of the dimensions of Bott-Chern cohomology groups and Aeppli cohomology groups［J/OL］.arXiv：1403 0285v2，2014［2014-03-06］.http：//arxiv.org/abs/1403.0285.

［3］KODAIRA K.Complex manifolds and deformation of complex structures［M］.New York：Springer，1986.

［4］VOISIN C.Hodge theory and complex algebraic geometry I［M］.London：Cambridge University Press，2002.

［5］ANGELLA D.The cohomologies of the Iwasawa manifold and of its small deformations［J］.J Geom Anal，2013，23（3）：1355-1378.

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［8］VOISIN C.Sym´etrie miroir［M］.Paris：Soci´et´e Math´ematique de France，1996.

［9］FR¨OLICHER A.Relations between the cohomology groups of Dolbeault and topological invariants［J］，Proc Nat Acad Sci USA，1955：641-644.

［10］BOTT R，CHERN S-S.Hermitian vector bundles and the equidistribution of the zeroes of their holomorphic sections［J］，Acta Math，1965：71-112.

［11］AEPPLI A.On the cohomology structure of Stein manifolds［J］，Proc Conf Complex Analysis（Minneapolis，Minn.，1964），1965：58-70.

（责任编辑李艺）

An analytic proof for the formula of the first order obstruction making the dimensions of Bott-Chern cohomology groups and Aeppli cohomology groups jumping

Lin Jie-zhu1，Ye Xuan-ming2
（1.School of Mathematics And Information Science，Guangzhou University，Key Laboratory of Mathematics，and Interdisciplinary Sciences of Guangdong Higher Education Institutes，Guangzhou510006，China；2.School of Mathematics and Computational Science，Sun Yat-sen University，Guangzhou510275，China）

Let X be a compact complex manifold，and let π：X→B be a small deformation of X，the dimensions of the Bott-Chern cohomology groups or Aeppli cohomology groups may vary under this deformation.In［1］，M.Schweitzer constructed a complex of sheaves L·p,q，and represented Bott-Chern cohomology groups or Aeppli cohomology groups as the cohomology groups of L·p,q.In［2］，the author have studied this jumping phenomenon by studying the deformation obstructions of a hyper cohomology class of a complex of sheaves B·p,qwhich is quasi-isomorphic to L·p,q［1］.In particular，theyobtain an explicit formula for the obstructions.In this paper，the formula of the first order obstruction is proved in another way by using cohomology of.

Bott-Chern cohomology；Aeppli cohomology；deformation；obstruction；kodaira spencer class

O186

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2015.01.010

1000-5641（2015）01-0084-11

2014-03

国家青年基金（11201090，11201491）；博士点新教师类项目（20124410120001，201201711 20009）；高校基本科研业务费青年教师培育项目（34000-3161248）

林洁珠，女，副教授，研究方向为数学物理、复微分几何.E-mail：jlin@gzhu.edu.cn.

叶轩明，男，讲师，研究方向为复几何、复代数几何.E-mail：yexm3@mail.sysu.edu.cn.