关于一类高阶微分方程的复振荡结果

胡梦薇，黄志刚，孙桂荣

（1.苏州科技学院数理学院，江苏苏州215009；2.许昌电气职业学院，河南许昌461000）

关于一类高阶微分方程的复振荡结果

胡梦薇，黄志刚，孙桂荣

（1.苏州科技学院数理学院，江苏苏州215009；2.许昌电气职业学院，河南许昌461000）

运用微分方程复振荡理论，研究了系数是整函数的高阶微分方程解的零点分布问题，在对方程的某个系数做小的扰动的情况下，得到了方程的超越解的零点收敛指数都为无穷.

复微分方程；整函数；增长级；零点收敛指数

0前言及主要结果

我们假定读者熟悉Nevanlinna理论的基本概念和基本结果［1,2］.例如T（r,f），N（r,f）和m（r,f）的定义.此外，对于复平面上的亚纯函数f，定义ρ（f）和λ（f）分别表示f的增长级和零点收敛指数如下.

考虑齐次线性微分方程

这里，k≥2且A0,A1,···,Ak-2是整函数.Hille在文献［3］中证明了方程（0.1）的所有解都是整函数.近年来，许多学者研究了方程（0.1）的系数Aj的增长级与方程的解f的零点收敛指λ（f）之间的关系，特别是在文献［4-6］中得到，如果k=2，超越整函数A0的增长级ρ（A0）≤，则式（0.1）不可能有两个线性无关解f1,f2，使得max｛λ（f1）,λ（f2）｝＜∞.相应k＞2时的结果，文献［7］中已经证明了.另一方面，即使让方程的系数增长级很小，方程（0.1）也可能存在无零点的解.如f=eB，B是整函数，那么当k=2时，只须使得-A==B′′+（B′）2，f满足是（0.1）的解且f无零点；同样，k＞2时也有类似的结果.

在文献［8］中，Abdullah Alotaibi和J.K Langley得到了这样的结果：如果对方程（0.1）的系数A0做一点小的扰动，即把A0用A0+h来代替，这里函数h的增长级小于A0，那么方程解的零点收敛指数都为无穷.注意到文献［7］中只考虑对系数A0做变化的情况，如果继续考虑对方程（0.1）的任意一个系数做一点小的扰动，会有什么样的结果呢？本文研究了这个问题，得到了下面的结果.

定理0.1设k≥2，A0,A1,···,Ak-2是整函数，其中As（s/=0）是超越的并且有ρ（Aj）＜ρ（As）＜（j/=s）.现在假定f是方程（0.1）的超越解，并且λ（f）＜ρ（As）.令h（/≡0）,Bj（0≤j≤k-2,j/=s）是整函数并且ρ（Bj）＜ρ（Bs），那么，对于

方程

不存在超越解g，使得λ（g）＜∞.

1引理

引理1.1［9］假设f（z）是超越亚纯函数，且H=｛（k1,j1）,（k2,j2）,···,（kq,jq）｝是不同整数对的有限集合，满足ki＞ji≥0（i=1,2,···q），ε＞0是已给定的常数，那么

（i）存在一线测度为零的集合E⊂［-（π/2）,3π/2），如果φ∈［-（π/2）,3π/2）E，那么存在常数R0=R0（φ）＞1，使得对所有满足argz=φ和|z|≥R0的z以及对所有（k,j）∈H，有

（ii）存在一集合E⊂（1,∞）有有限对数测度，使得对所有满足|z|/∈E∪［0,1］的z，及对所有（k,j）∈H，有

（iii）存在一集合E⊂［0,∞）有有限对数测度，使得对所有满足|z|/∈E的z和对所有（k,j）∈H，有

引理1.2［10］设k≥1，A0,A1,···,Ak-1是有限级整函数.令ρ=max｛ρ（A0）,···, ρ（Ak-1）｝.

如果方程wk+Ak-1w（k-1）+···+A0w=0有某解f/≡0满足λ（f）＜∞，则

（a）f可表示为f=veh，其中v,h是有限级整函数，且ρ（h）≤ρ；

（b）f′/f是有限级的.

引理1.3［1］假设f是解析函数，令F=f′/f.那么对于整数k，有

这里的Pk-2（F）是F的常系数微分多项式，当k≤2时，它恒为零；当k＞2时，它的次数为k-2.

引理1.4设A0,A1,···,Ak-2（k≥2）是有限级整函数，其中As（s/=0）是超越的，且对于j/=s有ρ（Aj）＜ρ（As）＜.假定f是方程（0.1）的非零解，且λ（f）＜∞.那么存在一个正对数密度集合E0∈［1,∞），使得对充分大的r∈E0，以及对所有的z：|z|=r，有

证明由微分方程复振荡理论的结果可知方程（0.1）存在无穷级解f，且λ（f）＜∞.由引理1.2，f可表示为f=weh，其中w,h是有限级整函数，因为ρ（f）=∞，所以h必是超越整函数.现在存在一个R集Ω使得对充分大的不在Ω的z，对m=1,2,···,k,有

我们用Ω1表示将R集Ω中的每个圆盘的半径增大一倍所得到的R值集，在这样的区域上估计解f.如果ρ（As）＞0，可取σ,τ使得对于j/=s，有

由条件ρ（Aj）＜ρ（As）＜可知，存在正对数密度集E1，使对任意的r∈E1，当z满足|z|=r= E0=E1E时，这里E=?r：z=reiθ∈Ω1?，有

并且如果有ρ（As）=0，定义σ=0，则对于j/=s，也总是有

现在我们在|z|=r上估计h′.由（1.4），存在N＞0，使得如果点z在|z|=r满足|h′（z）|≥|z|N，则易验证有

其中p=1,···,k.将f=weh代入（0.1）且两边除以f，由式（1.5）、（1.6），在|z|=r上满足|h′（z）|≥|z|N的点z有

上式两边同除以As（h′）s，然后整理得

对于每个充分大的n，我们知道圆|z|=r与Ω1不相交.对于圆|z|=r上的任何点z′，由式（1.2）和Ω1的结构知，存在一个固定的正整数λ，使得圆盘Dn=B?z′,r?与R-集Ω不相交，并在此圆盘上有式（1.4），（1.5）成立.

如果存在无穷多个n，比如说nk，使得在Dn上满足|h′（z）|≥|z|N的点z有|h′（z）|≤ exp，则由式（1.4），当nk足够大时，式（1.7）的左边趋于零，所以此时式（1.7）不成立，因此当n足够大时，在Dn上满足|h′（z）|≥|z|N的点z，必有|h′（z）|＞exp（r）成立.从而由式（1.7），在Dn上满足|h′（z）|≥|z|N的点z，一致地有

以及

应用式（1.8），若在Dn上定义A的一个单值分支，在Dn上，由（1.9）式得

于是，在Dn上，有

把h代入f=weh得

.那么

则在Dn中有f=WeG，由于当n足够大时rn→∞,（1.2）在Dn中成立.另外，当n→∞时，对于任意的0＜ε＜由条件可得

由于在Dn中，f=weh=WeG，因此f′/f=w′/w+h′=W′/W+G′，由此得W′/W= w′/w+h′（z）-crAs（z）1k-s.据此，由式（1.2）和（1.11），存在M5＞0，当n足够大时，在Dn中有下面的估计式

又因为W（m）?W可表示为W′/W的常系数微分多项式，以及由Cauchy积分导数公式

和式（1.16），有估计式

可知存在正的常数M6，当n足够大时，有估计式

其中q=1,···,k.应用引理1.3于f′/f=W′/W+G′，根据式（1.2），（1.13）-（1.15）及式（1.17），当n足够大时，在Dn内，我们有

其中p=2,3,···,k，特别由式（1.13），得

将f=WeG代入（0.1），两边同除以f，并根据式（1.2），（1.5），（1.13）-（1.15），（1.17）-（1.19），再在两边同时除以（G′）k-1，当n足够大时，在Dn内得

进一步得

即

把式（1.20）代入式（1.12）便得式（1.1）.再由有限覆盖定理可以把Dn延拓到整个|z|=r即S（0,r）中，引理得证.

结合cos πρ定理以及级与零点收敛指数定义，容易得到

引理1.5［10］假设A（z）是超越整函数且其增长级ρ（A）=ρ＜.整函数f满足λ（f）＜ρ（A），则存在集合E2⊂［1,∞），，那么对于任意的σ＜ρ，成立

2定理的证明

假定方程（0.1）有超越解f满足定理0.1的条件，且存在式（0.3）的超越解g使得λ（g）＜∞.由引理1.2，可设

这里P,Q,U,V都是有限级整函数.令

取σ1,σ2，使得

由引理1.5，存在集合E1⊂［1,∞），且logdensE1＞0，使得

同样，对于|z|=r∈E1，由式（1.2），（2.3）和（2.4），有

根据引理1.1，存在测度有限的集合E⊆［1,∞），以及正整数M0，有

由式（2.6），（2.8）-（2.10），对|z|=r∈E0，有

根据引理1.4，这里的c,d可能与r有关，但与z无关.

下面的引理对证明定理0.1很重要.

引理2.1对于上面的式（2.7）、（2.11）中的c,d，对r∈E0，有c=d.

证明假设d=wc，其中wk=1.（2.7）式两边同时乘以w，然后与（2.11）式联合，得

在|z|=rn上，对上式两边积分，当rn→∞,且rn∈E0时，根据辐角原理有

为了证明定理0.1，应用引理2.1及式（2.7）和（2.11），当rn→∞,rn∈E0时，有

因此，

由式（2.2）和（2.6），得

因为U,V是整函数，令Q0=U′-V′,那么易知Q0是多项式，那么式（2.2）变为

对式（0.3）变形并且结合式（2.2），然后应用引理1.3得

然后，对式（0.1）做同样的处理，有

把F=G+M代入式（2.16），然后与式（2.15）相减得到

对上式变形得

这里的P2s-2（G,M），Pk+s-2（G,M）都是关于G,M的微分多项式，并且关于G的最高次分别不超过2s-2,k+s-2.

我们断言M/≡0.若M≡0，则由式（2.15）和（2.16）联立得h≡0，这与h/≡0矛盾.因此，由式（2.17）得

由式（2.18）得

这里的C0是正数.因为G,M是有限级的，然后结合式（2.2）-（2.4），（2.6），（2.11），（2.13），（2.18），（2.19）以及引理1.5，对充分大的r∈E0，得到

［1］HAYMAN W.Meromorphic Functions［M］.Oxford：Clarendon Press，1964.

［2］LAINE I.Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations［M］.New York：Walter de Gruyter，1993.

［3］HILLE E.Ordinary Differential Equations in the Complex Domain［M］.Mineola，NY：Dover Publication，1997.

［4］ROSSI J.Second order differential equations with transcendental coefficients［J］.Proc Amer Math Soc，1986，97：61-66.

［5］SHEN L C.Solution to a problem of S.Bank regarding the exponent of convergence of the solution of a differential equation f′′+Af=0［J］.Kexue Tongbao，1985，30：1581-1585.

［6］BANK S，LAINE I.On the oscillation theory of f′′+Af=0 where A is entire［J］.Trans Amer Math Soc，1982，273：351-363

［7］LANGLEY J.On entire solutions of linear differential equations with one domain coefficient［J］.Analysis，1995，15：187-204.

［8］ALOTAIBI A，Langley J.On solutions of linear differential equations with entire coefficients［J］.J Math Anal Appl，2010，367：451-460.

［9］GUNDERSEN G.Estimates for the logarithmic derivative of a meromorphic function，plus similar［J］.J London Math Soc，1988，37（2）：88-104.

［10］高仕安，陈宗煊，陈特为.线性微分方程的复振荡理论［M］.武汉：华中理工大学出版社，1998.

（责任编辑王善平）

An oscillation result for some higher order linear differential equations

HU Meng-wei，HUANG Zhi-gang，SUN Gui-rong
（1.Department of Mathematics，University of Science and Technology of Suzhou，Suzhou Jiangsu215009，China；2.Xuchang Eelectrical Vocational College，Xuchang Henan461000，China）

The distribution of zeros of solutions of higher order linear differential equations with entire coefficients was investigated by using complex oscillation theory of linear differential equations.It was proved that the exponent of convergence of zeros of every transcendental solution of the equations is infinite if given a small perturbation to one of the coefficients.

complex differential equations；entire function；growth of order；exponent of convergence of zeros

O174.5

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2015.01.009

1000-5641（2015）01-0075-09

2013-12

国家自然科学基金（11001057）；江苏省自然科学基金（BK2010234）；江苏省青蓝工程，苏州科技学院研究生科研创新工程项目（SKCX12S 043）

胡梦薇，女，硕士，研究方向为复分析.E-mail：mengweihu1121@163.com.