在数学教学中培养学生的创造性思维

叶美娟

（湛江财贸中等专业学校，广东 湛江 524094）

创造性思维是指在前人已取得的成果的基础上，不依常规，寻求变异，想出新方法，建立新理论，从多方面寻求问题解决方法的开放式思维方式。在数学教学中，对学生进行创造性思维的培养，是发展学生数学思维的更高要求，是实施素质教育的核心任务。

一 诱发学生的抽象思维

抽象思维是透过事物的现象，深入事物的里层，把同类事物的共同本质抽取出来加以考察的思维方式。抽象思维是在分析和比较的基础上进行的，只有通过分析、比较，弄清了诸事物的共同本质之后，才有可能把它们的本质属性抽取出来。

在数学教学中，我们常常发现，如果教师直接对学生给出那些抽象的概念、定理、公式，教学效果总是不太理想，这时只有先引导学生的思维从形象思维出发，逐步诱发上升到抽象思维，才能使学生更有效地掌握知识。下面通过实例说明这一点：

例1：在教学《轴对称和轴对称图形》时，教师首先在一张纸上画出一条直线L 和一个三角形△ABC，然后沿直线L 对折，用一根针戳穿A、B、C 三点，在直线L 的另一侧留下三个对应的小孔，标为A′、B′、C′，连接三个小孔，得到△A′B′C′，问学生△ABC 和△A′B′C′有什么关系呢?导出轴对称定义后，提出作轴对称图形的方法，是不是每次都对折呢?并让学生自己在纸上动手试一试。

本例通过直观教学和实践活动，不但激发了学生的学习兴趣，而且给了学生具体形象的感知，使学生能通过观察、分析、比较、推理等抽象思维过程，较容易地抓住轴对称的本质，提出点A 与A′、B 与B′、C 与C′是关于直线L的轴对称点。

因此，通过直观因素来解决抽象问题，用形象思维来诱发抽象思维。不但激发了学生的学习兴趣，而且提高了学生的观察和概括能力，促进了学生创造性思维的培养。另方面，由于数学问题的发现或提出问题过程，一般是从具体问题出发，经过类比、联想或观察、实验、归纳等途径形成命题或加以确认的。为此，在基础知识技能的教学中，应展示数学思维过程，引导学生观察、类比，最终形成抽象概括，培养创造性思维。

例2：在讲完“一元二次方程的解法一一直接开平方法”后，教学“用配方法解一元二次方程”时，我先复习旧课，用直接开平方法解下列方程：

(1)16 X2－49=0

(2)(X+3)2=2

让学生做完后，提出新问题：解方程x2+6X+7=0

在让学生发现如何解答上题的问题中，学生将复习题(2)的方程的左边展开并整理后得出的方程与方程X2+6X+7=0比较，发现方程(x+3)2=2 与方程X2+6X+7=0 实质上是同一个方程，只是形式不同，可以展示把方程X2+6X+7=0 变成(x+3)2=2 的思维过程。

同时让学生练习：

X2+6X+口=(X+口)2

X2—5X+口=(X－口)2

X2+4／3X+口=(X+口)2

X2—5／2X+口=(X 一口)2

引导学生观察、类比，启发归纳得出X2+KX+(K／2)2=(X+K／2)2并总结得出配方法则。于是解方程X2+6X+7=0：

把方程常数项移到右边得：X2+6X=﹣7

在方程的两边各加上一次项系数一半的平方得：X2+6X+32=﹣7+32

于是得：(X+3)2=2…

这样，学生就不难抽象概括出用配方法解一元二次方程的方法：先把常数项移到方程的右边，再把左边配成完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法求出它的解，从而培养了学生的创造性思维能力。

二 培养学生的发散思维

数学是一门逻辑性强、科学性强、有着高度抽象性的学科，而创造性思维的源泉是发散思维。发散思维是指从同一来源材料探求不同答案的思维过程。它具有流畅性、变通性和创造性的特征。在创造性思维过程中，发散思维是创造思维的核心，而加强发散思维能力的训练是培养学生创造思维的重要环节。根据现代心理学的观点，一个人创造能力的大小，一般来说与他的发散思维能力是成正比例的。

在数学教学中，通常是教师因材施教，按照单向思维方式从题目的条件和结论出发，联想到已知的公理、定理、公式和性质。只从单方面思考问题、解决问题，虽然这种方式是解决问题的基本方法，但是长期按照这种方式去思考问题，就会使学生形成“思维定势”，严重地制约了学生创造性思维的培养。因此，教师应尽量多地设计一题多思、一题多解、一题多变，启发学生的发散思维，使学生思路畅达，创造性思维更加活跃。

正因为数学题目具有可变性，所以思考的途径不同，解决的方法自然也不同。在例题教学中，引导学生广开思路，探求多种解法，在发散思维的同时，比较各种解法的优劣，找出最佳的、新颖的或巧妙的解法，可以激发学生的创造性思维。

例3：已知a+b=1，a>0，b>0，求1／a+1／b 的最小值。

根据本题的结构特征，可以从三角、数列、不等式、方程、函数、几何以及常数更换等各种背景下进行一题多思，从而一题多解，而且通过比较，寻求最佳解法。例如1／a+l／b=(1／a+l／b)×(a+b)≥4(常数更换)可能是解决此类问题的最佳方法。

例4：在二次函数这一节教学中，设计探究题：已知二次函数的图象顶点是(1，﹣3)且经过P(2，0)，求这个函数解析式。学生从不同的角度考虑，经过探索有四种不同的解法：

①设为一般式，用顶点坐标公式和F 点坐标得到三元方程组；

②设为顶点式；

③根据二次函数的图象抛物线的对称性可知，由对称轴x=l 得P 点的对称点p(0，0)，这样有三个已知点，设为一般式；

④P(2，0)，P′(0，0)是抛物线与x 轴的两个交点，故可设为交点式y=a(x－0)(x－2)。

与此同时，在解题过程中，不要满足于把题目解答出来便完事大吉，而应向更深层次探求它们的内在规律。我们可以变化题目的条件、结论或条件结论同时作些变化，配成题组，从而加深对题目之间规律的认识。看下面的例子：

例5：AB 为过定椭圆左焦点F 的弦，求AB 中点G 的轨迹方程。

该题可以引导学生利用多种方法求解，解后比较其利弊，进行一题多变。进而可以提出问题：我们已经学过了二次曲线的有关知识，大家能否运用有关知识，将上述题目进行改编？

学生通过讨论，得出了以下一些问题：

①将题中的“椭圆”分别改为“双曲线”、“抛物线”，求相应的轨迹；

②将题中的“左焦点”改为“一定点”，“椭圆”分别改为“双曲线”、“抛物线”，求相应的轨迹；

③将题中的结论改为“求弦AB 的一个定比分点的轨迹”；

④将题中的“椭圆”分别改为“双曲线”、“抛物线”，结论改为“求弦AB 的一个定比分点的轨迹”；

⑤将“定点的弦”改为“定向的弦(即平行)或具有定长的弦，求弦的中点的轨迹”。此外，还可以引导学生提问以上各问题用什么方法求解，其最佳方法是什么?

由此可见，从多角度、多层次地引导学生处理问题，培养学生的发散思维，不仅增强了学生总结、归纳、概括、分析问题的意识和能力，而且培养了学生思维的灵活性、变通性、创造性。

杨振宁先生说过，加强发散思维的训练，是培养学生创造性思维的重点工程。新时期学生的自我意识较强，他们常有自己的新看法、新思想，在数学方面，常表现为思维的发散性。在教学中，我常采取各种手段，如启发诱导、实践活动、多媒体演示等引导他们发展思维、开拓思路，从不同的角度去分析、解决问题，有利于创新思维的训练。

三 善用学生的逆向思维

正向思维是从题设的已知条件出发，按条件的先后顺序和常规的思路去研究某一数学问题。而逆向思维正好相反，就是倒过来想问题，也就是先由问题的结论出发，进而推到问题条件的思维过程。

在数学教学中，学生对于概念、定理、公式、法则等，往往习惯于从正面看、正面想、正面用，极易形成思维定势。因此，在解决新问题时，学生往往受这种思维定势的消极影响，感到束手无策，寸步难行。所以，在重视正向思维的同时，要善用学生的逆向思维，“反其道而行之”，破除正向思维定势的束缚。

如何善用学生的逆向思维呢?一是重视概念、定理、公式、法则的反方向教学；二是强调一些基本方法的逆用：从局部考虑不易，是否能整体处理；一般情况下不好办，考虑特殊情况；前进有困难，退一步如何；“执果索因”与“由因到果”两方面寻找解决途径；直接证明不行，则考虑用间接证法等等。

例6：若函数y=f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2 倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移π／2 个单位，沿y 轴向下平移1 个单位后所得图象与y=1／2sinx 的图象相同，求f(x)的表达式。

本题若按常规思维，从正面求解，应设f(x)的解析式，显然较繁。不妨引导学生逆向解题，一是可以培养逆向思维能力，二是解题过程简单明了。具体过程如下：

y=l／2sinx→y=l／2sinx+1→y=1／2sin(x－π／2)+1→y=l／2sin(2x－π／2)+1

可见，运用逆向思维，从反面考虑问题，弥补了单向思维的不足，使学生突破传统的思维定势，从而大大启动了学生的创造性思维。

四 注重学生的直觉思维

直觉思维是解题过程中，对结果或解题途径往往先作大致的估计(估量)或猜测。“学起于思，思源于疑”，在教学中，教师应大胆鼓励学生质疑、猜想，有意识地注重学生的直觉思维，逐步学会猜测、想象等非逻辑思维，以开发学生的创造性思维。

例7：在《二项式定理》的教学中，不必由教师直接给出结论，可以设计学生自主活动，尝试发现，大胆猜测的过程，让学生观察(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4和(a+b)5的展开式，从而探索(a+b)n展开式的规律，然后给予严格的逻辑证明。如果直接给出公式结论，虽然也能使学生理解，达到记忆的目的，但两种处理方法，看似一样，实际效果却大相径庭。因为在这个过程中，不仅调动了学生的逻辑思维，而且调动了学生的直觉思维，引导学生经历了由直觉发现到逻辑证明的对问题的解决过程，极大地诱发了创造性思维。

事实证明，很多著名的数学定理就是经过先猜想后证明得出来的。在教学中，学生的猜想、直觉可以是错误的或者是可笑的，但只要其思想有一点可以借鉴的地方，就要鼓励和支持学生勇于创新的精神，并把它引导启发到正确的数学思想方法上来，切不可挖苦、嘲笑学生的错误，扼杀学生进行创造性思维的积极性。

五 构建学生的整体思维

整体思维是整体原理在教学中的反映。在数学解题时，要引导学生的思维不一定集中在问题的个别部分，有时要将问题看作是一个整体，并且通过研究问题的整体形式、整体结构或作种种整体处理后，构建整体思维，以达到顺利而又简捷地解决问题的目的。

例8：求cos80οcos60οcos40οcos20ο的值。

根据本题结构，可联想到倍角公式2sinαcosα=sin2α，于是把整个乘积看成是一个整体，可由“连锁反应”即通过分子、分母都乘以8sin20ο多次运用倍角公式来解，显得更为简洁。

例9：在三棱锥P—ABC 中，三组对棱分别相等，且PA=13，PB=14，PC=15，求其体积。

本题如果按常规方法是求底面积和高，底面积易求，但求高较困难。如果引导学生考虑已知条件：三组对棱分别相等，可联想到长方体相对面不平行的对角线也具有这种特征，从而可以构建一个长方体，即把三棱锥补成一个长方体，这样题目便简便多了。

可见，数学题目灵活多变，解题时只局限于问题局部.往往是“只见树叶，不见森林”达不到良好的效果，而及时地构建整体思维。反而使题目迎刃而解，达到事半功倍的效果。

最后，由于创造性思维是在一般思维的基础上发展起来的，因此，在数学教学中，必须充分重视形象思维和抽象思维，发散思维和集中思维，正向思维和逆向思维以及直觉思维和整体思维的培养。要通过具体解决数学问题的钻研，让学生领会数学的思维方法。在数学教学中，每讲一单元，一个章节的内容，都要引导学生对所学知识的融会贯通，举一反三，从而提高学生学习数学的创造性思维能力。

总之，思维是发现问题和解决问题的基础，而思维的灵魂在于它的创造性，学习数学不只是掌握现成的公式、定理，更重要的是掌握科学的思维方法。本人通过实践的数学教学，深深认识到思维方法对发现问题和解决问题的重要性。因此，在实践教学中，培养学生的创造性思维，对于实施素质教育及提高学生自身素质，进而把学生培养成社会需要的高素质人才，去迎接未来激烈竞争的世界及新科技革命的挑战，都无疑是十分重要的。

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