积分变换教学中的深入浅出式方法研究

吕诚

(安徽建筑大学数理系，安徽合肥230022)

积分变换教学中的深入浅出式方法研究

吕诚

(安徽建筑大学数理系，安徽合肥230022)

复变函数与积分变换这门课程中最困难的地方当属积分变换，如何改变大多数学生只会机械模仿公式进行计算，无法深刻理解并灵活变通，是该课程教学改革的当务之急。如能采用深入浅出式教学方式，结合前期高等数学基础，可以让学生适当掌握积分变换的原理，并熟悉其解方程的思路。在此将具体探讨怎样深入浅出地进行积分变换的课堂教学，提高教学效果。

积分变换;傅里叶级数;傅里叶变换;傅里叶积分公式

复变函数与积分变换这门课程主要分两部分，其中复变函数部分是在高等数学基础上从实数域推广到复数域，虽然难度上提高很多，但都有理论可供参考，理解上相对容易一些;但积分变换部分几乎是全新的理论和方法，即便高等数学中也有关于求解微分方程，其方法主要是分离变量和变量替换，与积分变换的方法是不沾边的。［1，2］无论是理解还是运用积分变换，对初学者都极为困难。同时，积分变换又在计算机、自动化等专业的后继课程中非常重要，如信号与系统、电磁学和通讯控制等方面中大量理论和计算都需要用到积分变换。［3］这样形成一个无法回避的矛盾之中，一方面学生学得很辛苦却没什么效果，这一点从各个高校复变函数与积分变换的高补考率就可看出;另一方面专业课大量使用积分变换，迫使学生即便一知半解仍要模仿公式进行计算，从而陷入厌学的恶性循环之中。［4］

众多关于复变函数与积分变换的教学改革中，都提及提高兴趣、锻炼实际的运用能力，但往往收效甚微。究其原因，大多数学者均着眼于在现有的有限课时内，怎样最大化提高学生的动手能力，即解题能力，却忽略了怎样夯实学生对理论的理解，而只有在理解的基础上，学生才可以融会贯通，驾轻就熟。当然现实的问题是由于高校多年来的课程改革，其主线是减负的同时提高学生应用能力，特别是为了增大实际应用类课程的课时而迫使理论基础课降低课时。这导致了数学类课程的课时都有一定程度的不足，复变函数与积分变换这一课程也不例外。在这种情况下，大多数学老师只能被动地降低定理和理论证明方面的课时分配，让学生加深对理论的理解自然无从谈起。

文中将另辟捷径，既不用增加课时用于理论分析，也不用添加过多晦涩难懂的定理证明，让学生尽可能地加深对积分变换原理的理解，从而更好地掌握并应用积分变换的方法。以下结合作者多年的教学经验，从多个方面探讨如何循序渐进地帮助学生接受这一重要理论，也希望能与广大学者一起探寻更好的教学方法。

1 为什么要引入积分变换

有些同学初学积分变换时都有这样的疑问，为什么要学习积分变换，积分变换是做什么的，如果是为了了解微分方程，那何必花这么大的心思，高数就已经学了微分方程的解法。在此一定要言明其中差别，高数中只是介绍了很少的一些微分方程解法，诸如一阶微分方程、可降解的微分方程和二阶常系数线性微分方程等的解法，其求解方法主要是分离变量和变量替换等方法。而自然科学中大量的函数存在于微分方程中，很多微分方程规律性并不像高数中线性微分方程那么工整，很多是非常复杂的公式，比如既含微分运算又含积分运算的微分积分方程，它们的求解是非常困难的。因而引入积分变换，建立统一的方式将某种类型的微分方程转化为代数方程，并由代数方程的解再用积分逆变换求得原微分方程的解。

在此可举两例来加深理解:代数运算中用指数运算和对数运算这样一对互逆的运算将乘除计算转换为加减运算，可极大地简化计算次数;高数中将二阶常系数齐次线性微分方程转换为特征方程，进而只需求解一元二次方程的根即可得到原方程的特解。通过上述简单讲解可让学生明白引入积分变换目的是避开微分运算，并设法将微分运算转换为代数运算，从而方便求出微分方程的解。

2 怎样引入傅里叶积分公式

若要引入积分变换并简化微分方程的求解过程，至少需要具备两个条件，即可比照指数运算和对数运算。如何简化乘除运算，当求a和b的乘积ab时，可以通过取对数将乘除转换为加减lnab=lna+lnb=c，再用指数运算将结果还原为原乘除运算的结果ab=ec.其中上述运算中关键两点在于:其一，指数运算与对数运算是互逆运算，由对数运算将ab转换为lnab之后，又可以通过指数运算将其还原ab=elnab;其二，ab通过取对数得到lnab后，的确可以转换为更为简单的加减运算lna+lnb.由此可以断言，引入积分变化如能达到简化求解微分方程的目的，以傅氏变换为例，也同样需满足以下两点:其一，存在傅氏变换F和傅氏逆变换F－1，使得ff(t)=F－1{F［f(t)］}，即必须有互逆的变换，将f(t)转换为新的函数fF(ω)=F［f(t)］后，还可由ff(t)=F－1［F(ω)］还原;其二，取傅氏变换后的确可以将导数等运算简化，即转为代数运算，如和

于是为解决第一个要求，自然提出由傅里叶级数推广建立傅里叶积分公式。在此若直接给出傅里叶积分公式，即便随后花时间辅以证明，也会让学生感觉有些太过突然。其实可按以下方法循序渐进、深入浅出地引入傅里叶积分公式。

第一步:讲述学生普遍熟悉的正弦函数和余弦函数，即单独一个正弦或余弦波:f1(t)=Asin(ωt+φ0)，f2(t)=Asin (ωt+φ0).第二步:简单回顾高数中傅里叶级数，于是所有的周期函数都可以由正弦波和余弦波叠加而得。比如非正弦波的周期函数诸如交流电或周期性矩形脉冲函数等，都可以用可数个正弦波叠加而得。以T为周期的函数fT(t)可表示为其中sinnωtdt，由欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ将其转为复指数形式:于是通过先积分运算再级数运算可以还原周期函数

第二步:由于我们需要考虑的函数大多不是周期函数，需将上述方法推广。对非周期函数f(t)，将其限制在区间并再延拓到整个数轴上，得周期函数fT(t)。显然当时，fT(t)=f(t).将T变大，f(t)与fT(t)重合的范围越大。当T→+∞时，fT(t)=f(t)，可以提醒学生将f(t)视作周期函数，且在整个数轴上仅有一个周期。令ωn=nω，则ωn以相差的整数倍均匀分布在整个数轴上。于是为了让学生更为直观地理解上式，同时避免复杂的理论证明，可做形式上说明，而不是严谨证明。取则于是对于区间(－∞，+∞)，考察积分将(－∞，+∞)等分(只是形式上表述，当然不是严谨的说法)，代表区间为［ωn－1，ωn］，并取区间右端点作为ξn，即ξn=ωn.由于积分若存在，不论区间的任何分割以及ξn的任意取法，极限都存在且相等。即而随着T→+∞，fT(t)→f(t)，离散型的ωn变为连续型的ω，即F(ω)=于是对于一般的非周期函数，得到我们所需要的傅里叶积分公式:

3 为什么傅里叶变换可以简化微分方程

一般在讲解傅里叶变换的性质时，众多学者都会强调微分性质和积分性质，这是解决微分方程的关键。

定理(微分性质)［1］:如f(t)在(+∞，－∞)上连续或只有有限个可去间断点，且当|t|→+∞时，f(t)→0，则

实际课堂教学中如果采用卷积等方法严格证明上述定理需要大量课时，且教学效果并不好;若不讲解证明，完全要求学生死背公式，效果更差。我们认为只需让学生感受到微分性质的具体作用和重要性，就可以达到预期效果，在此依然可以采用深入浅出式的教学。具体如下:以一阶导数为例，直接利用分部积分公式得这里由分部积分将导数降阶，且由当|t|→+∞时，f(t)→0，得事实上由无穷限广义积分收敛的要求，知存在p＞1使显然有即f(t)如果满足傅氏积分定理的条件f(t)在(－∞，+∞)上绝对可积，则必有=0.于是经n次分部积分后得到f(t)与(iω)n的乘积，由此可见傅氏变换的确满足之前讨论的第二个条件:将微分运算或积分运算转化为代数运算。

4 结束语

综合上述讨论，可以发现深入浅出式教学并没有增加授课的课时，也没有增加学生的负担。但在理解和计算的关键节点上，不会为了给学生减负而一味回避理论基础的教学，强调运用已有的知识深入浅出地学习所遇到的问题，以起到事半功倍的效果。

［1］盖云英，包革军.复变函数与积分变换［M］.北京:科学出版社，2001.

［2］苏变萍，陈东立.复变函数与积分变换［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［3］吕诚，孙秀华.浅谈复变函数与积分变换的课堂教学［J］.赤峰学院学报，2014，30(20):250－251.

［4］李秋生，王丽.工科复变函数与积分变换课堂教学改革初探［J］.宜春学院学报，2008，30(2):71－72.

A Simple Approach to the Teaching of Complex Function and Integral Transform

Lv Cheng
(Department of Mathematics and Physics，Anhui Jianzhu University，Hefei，Anhui 230022，China)

The complex function and integral transform are one of the most difficult parts to understand for college students for which most students can calculate by imitating formula mechanically without understanding the priority of the course.If the teacher have explained the profound theories in simple language，students would have mastered the principle of integral transform and would be familiar with the thinking of solving equations.The paper discusses how to improve the teaching effect of the integral transform.

integral transform;Fourier series;Fourier transform;integral theorem of Fourier

G642.0

A

1672－6758(2015)10－0027－3

(责任编辑:郑英玲)

吕诚，硕士，讲师，安徽建筑大学。研究方向:应用数学。

安徽省教育厅自然科学项目"伪压缩类和非扩张类算子不动点逼近算法设计及其在均衡优化和变分问题上的应用研究"(编号: KJ2011z057)。

Class No.:G642.0Document Mark:A