多维空间中点的密度与近似连续函数

贺志明，姚春临，刘 军

（江汉大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430056）

多维空间中点的密度与近似连续函数

贺志明，姚春临，刘 军

（江汉大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430056）

给出可测集中点的密度的简单性质；推广一元近似连续函数到多元情形，得到可测函数与近似连续函数之间的关系。

可测集；密度；可测函数；近似连续函数；n维空间

0 引言

从集合点的邻近性质可以刻画可测集和可测函数。Lebesgue给出了可测集中点的密度的定义，可以看作是通常空间中点的密度概念的推广，文献［1］中给出了一维点集密度和一些性质。文献［2］给出了与密度相关的一元近似连续函数概念。文献［3-4］提及可测函数的本性，实际上可测函数的本质是近似连续函数；文献［5］讨论了函数可微性与可测性，并就多元函数也可广泛讨论广义可微性的问题上进一步刻画了近似连续函数。

本文将一元近似连续函数推广到多维空间，给出多元近似连续函数的概念，得到可测函数与近似连续函数之间的关系，更进一步刻画了Lebesgue可测函数。

1 密度

定义设E⊂Rn为可测集，x0∈E，称为E在x0的上密度和下密度，分别记为d+(E,x0)和d+(E,x0)，其中U是x0邻域U(x0,δ)，m为勒贝格测度。当d+(E,x0)=d+(E,x0)时，称之为E在x0的密度，并记为d(E,x0)，当d(E,x0)=1时称x0为E的全密点；当d(E,x0)=0时，称x0为E的稀薄点。

文献［6］中给出密度的各种形式和一系列结果，这里只举出文中需要用到的一些结果并重新给出不同的证明。密度具有下列性质：

定理1（Ⅰ）x0为E的全密点，当且仅当x0为Ec的稀薄点；

（Ⅱ）若x0为E和F的全密点（稀薄点），则x0也是E⋃F和E⋂F的全密点（稀薄点）。

定理A［1］（Lebesgue）若E为可测集，则E中点几乎处处是E的全密点。

一般在可测集中也存在密度严格介于0和1之间的点［7-8］，称之为例外点。

2 近似连续函数

（References）

［1］杨岚.Lebesgue密度定理［D］.武汉：华中科技大学，2012.

［2］PETRUSKA G，LACZKOVICH M.A theorem on approximately continuous functions［J］.Acta Mathematica Hungarica，1973，24（3/4）：383-387.

［3］戚民驹.鲁金定理与可测函数的本性定理［J］.上海电机学院学报，2009，12（3）：240-242.

［4］戚民驹.n-维可测函数的本性定理［J］.安徽大学学报：自然科学版，2009，33（3）：13-15.

［5］张永锋.连续可微变换与可测集及可测函数［J］.咸阳师范学院学报，2012，27（6）：1-3.

［6］MACHERAS N D，STRAUSS W.Various products for Lebesgue densities［J］.Positivity，2010，14（4）：815-829.

［7］KVRKA O.Optimal quality of exceptional points for the Lebesque density theorem［J］.Acta Mathematica Hungarica，2012，134（3）：209-268.

［8］SZENES A.Exceptional points for Lebesgue′s density theorem on the real line［J］.Advances in Mathematics，2011，226（1）：764-778.

［9］严加安.测度论讲义［M］.北京：科学出版社，2004.

（责任编辑：胡燕梅）

Density of Points of Multi-Dimensional Space and Approximate Continuous Function

HE Zhiming，YAO Chunlin，LIU Jun
（Schoole of Mathematics and Computer Science，Jianghan University，Wuhan 430056，Hubei，China）

The simple properties of the density of the points in measurable sets are given.The author gen⁃eralizes one element approximately continuous function to multivariate case，and the relations between the measurable functions and the approximate continuous functions are obtained.

measurable set；density；measurable function；approximate continuous function；ndimen⁃sional space

O174.12

：A

：1673-0143（2015）06-0501-04

10.16389/j.cnki.cn42-1737/n.2015.06.004

2015-10-25

贺志明（1963—），男，副教授，研究方向：应用数学。