三种非线性弹性地基梁的变形和内力研究

陈小亮，黄开志，王小荣

（重庆科技学院 数理学院，重庆 401331）

三种非线性弹性地基梁的变形和内力研究

陈小亮，黄开志，王小荣

（重庆科技学院 数理学院，重庆 401331）

研究地基反力与地基梁挠度成非线性关系对长、中、短3种类型地基梁的变形和内力的影响。基于实验数据，分别将地基反力与梁的挠度拟合成线性关系和三次多项式关系；然后采用有限差分法和牛顿迭代法编程，解出非线性弹性地基梁和经典线弹性地基梁的挠度、转角、剪力和弯矩随地基梁长度变化的曲线。算例计算表明：对于短梁，非线性弹性地基梁和经典线弹性Winkler地基梁的变形和内力一致；对于中、长梁，二者的相对误差可达到10%～20%，因此在实际工程中应尽量考虑地基反力与沉降的非线性关系；中等长度非线性弹性地基梁和线弹性地基梁变形和内力的相对误差随梁长度变化而变化，而对于长的地基梁二者的相对误差不随梁长度改变而变化。

非线性弹性地基梁；有限差分法；挠度；转角；剪力；弯矩

0 引言

地基梁在土建、水力、桥梁、生物力学等工程领域有广泛的应用，地基梁的力学分析多采用Winkler地基梁模型，即假定地基和地基梁之间的作用力与梁的挠度成正比例关系。李晓双等［1］采用最小势能原理推导了Winkler弹性地基梁的无网格伽辽金离散系统方程。PENG等［2］探讨了黏弹性地基上有限长Euler-Bernoulli梁横向振动的固有频率和简谐均布荷载作用下的动力响应；蒋秀根等［3］采用Winkler弹性地基梁理论确定了弹性地基梁的挠度方程解析通解，得到了解析型弹性地基欧拉梁单元及铁摩辛柯梁单元刚度矩阵；赵伟东等［4］采用打靶法研究了热、机械载荷联合作用对端部夹紧弹性地基梁的中心挠度的影响；冯又全等［5］采用加权余量法推导了计算线性分布基床系数弹性地基梁时的2节点五次位移函数和相应的单刚矩阵，从而实现只需划分很少的单元数，节点位移即可达到较高的计算精度；孙炳书等［6］系统总结介绍了几种弹性地基梁的模型及其优缺点。笔者从实测的P-S曲线（基地压力与沉降的关系）出发，将P-S曲线拟合成三次多项式函数，研究了短、中、长3种类型的非线性弹性地基梁变形和内力的特征。

1 非线性地基梁模型

非线性地基梁微元模型如图1所示，根据微元体平衡方程有：

根据梁的小变形弯曲理论有：

图1 地基梁微元Fig.1 Differential element of beams

式（1）中R为地基对梁的分布反力，式（3）中w为梁的挠度（向下为正）。若梁段内没有分布外力（即式（1）中q=0），则由式（1）～（3）可得：

2 非线性地基反力的实验数据拟合

利用文献［7］的实验数据，如图2所示，利用Origin软件可作出非线性地基反力R随梁挠度w变化的三次多项式拟合关系：

其中k1=6.513 53×106N/m2，k2=6.573 91×109N/m3，k3=2.073 43×1012N/m4。根据Origin软件，三次多项式拟合和经典Winkler地基梁正比例关系拟合的相关系数分别为0.999 18和0.899 18，可见三次多项式的拟合效果较好。

3 有限差分法和算例

如图3所示，考虑一端固定的地基梁在自由端受集中力F=105N作用，梁抗弯刚度EI=2×109N·m2,地基梁的特征长度［8］（其中k取图2中线性拟合的比例系数，即k=2.358 67×107N m2），梁的长度L分别取1/10～10倍的特征长度L*（数值计算的步长取1/10L*），分别对应考虑短、中、长3种不同类型的地基梁。

图2 地基反力-挠度拟合Fig.2 Fitting of reaction force and deflection of foundation

图3 一端固定的地基梁Fig.3 One side fixed beam

将梁分成n等份，将非线性地基反力R随梁挠度w变化的三次多项式拟合关系式（5）代入式（4）中可得微分方程（4）的中心差分格式为

利用牛顿迭代法［9］和MATLAB编程［10］数值求解上面的非线性代数方程组，可以得到非线性和线性弹性地基梁的挠度、转角、剪力和弯矩，分别如图4、图5、图6、图7所示。其中对线性弹性地基梁，上面的非线性代数方程组系数a1、a2、a3中k1取图2中线性拟合的比例系数，k2、k3均为0。

从图4可以看出：对于短梁（地基梁相对长度L/L*＜0.5），经典线弹性Winkler地基梁和非线性地基梁最大挠度基本一致，最大相对误差为1%；对于中长地基梁（L/L*＞0.5），非线性地基梁最大挠度均比线弹性地基梁的大；中等长度（0.5＜L/L*＜5）非线性地基梁与线弹性地基梁最大挠度的相对误差随梁长度增大呈现出先增大后减小的趋势，最大相对误差为11%；长的（L/L*＞5）非线性地基梁与线弹性地基梁最大挠度的相对误差基本不随梁长度变化而变化，相对误差为7%。

从图5可以看出：对于短梁（L/L*＜0.5）和长梁（L/L*＞5），线弹性Winkler地基梁和非线性地基梁最大转角基本一致，最大相对误差为1.2%；对于中等长度（0.5＜L/L*＜5）非线性地基梁与线弹性地基梁，转角的相对误差随梁长度变化而呈现先增大后减小、又再增大然后减小的波动，最大相对误差为9.6%。

如图6所示，本算例中：短、中、长线弹性Winkler地基梁和非线性地基梁的最大剪力都在梁的右端部，大小都等于梁右端部的集中力，故线弹性Winkler地基梁和非线性地基梁的最大剪力都不随梁的长度改变而变化。

从图7可以看出：对于短梁（L/L*＜0.5），经典线弹性Winkler地基梁和非线性地基梁最大弯矩基本一致，最大相对误差为1.6%；对于中等长度（0.5＜L/L*＜5）非线性地基梁与线弹性地基梁，最大弯矩的相对误差随梁长度增大呈现出先增大后减小、然后又增大的趋势，最大相对误差为18.3%；长的（L/L*＞5）非线性地基梁与线弹性地基梁最大弯矩的相对误差基本不随梁长度变化而变化，相对误差为17.7%。

图4 地基梁的最大挠度与其相对长度的关系Fig.4 Relationship of maximal deflection and relative length of beams

图5 地基梁的最大转角与其相对长度的关系Fig.5 Relationship of Maximal slope and relative length of beams

图6 地基梁内的最大剪力与其相对长度的关系Fig.6 Relationship of maximal shearing force and relative length of beams

图7 地基梁内的最大弯矩与其相对长度的关系Fig.7 Relationship of maximal bending moment and relative length of beams

4 结论

（1）对于长度小于1/2特征长度的短地基梁，经典线弹性Winkler地基梁和非线性地基梁的变形和内力都基本一致，二者最大相对误差在1%左右，此时可以将实际地基梁按Winkler地基梁来处理。

（2）对于长度在1/2～5倍特征长度的中等长度地基梁，经典线弹性Winkler地基梁和非线性地基梁的变形和内力不一致，且二者的相对误差随梁的长度变化而变化。

（3）对于长度大于5倍特征长度的长地基梁，经典线弹性Winkler地基梁和非线性地基梁的变形和内力不一致，且二者的相对误差不随梁的长度变化而改变。

（4）对于中长地基梁，经典线弹性Winkler地基梁和非线性地基梁的变形和内力最大相对误差可达10%～20%，因此在实际工程中应尽量考虑地基反力与沉降的非线性关系。

（References）

［1］李晓双，赵慧明，杨敏.弹性地基梁问题的无网格伽辽金分析［J］.河南科技大学学报：自然科学版，2012，33（3）：36-38.

［2］PENG L，WANG Y.Differential quadrature method for vibration analysis of beams on viscoelastic foundations［J］.Journal of Shanghai Normal University：Natural Sciences Edition，2015，44（2）：132-137.

［3］李潇，王宏志，蒋秀根，等.解析型Winkler弹性地基梁单元构造［J］.工程力学，2015，32（3）：66-72.

［4］赵伟东，杨亚平，王雪，等.弹性地基梁在热—机械载荷作用下的非线性响应［J］.青海大学学报：自然科学版，2014，32（2）：41-44.

［5］冯又全，杨敏，陈俊岭.线性分布基床系数弹性地基梁有限单元法改进［J］.岩土力学，2014，35（10）：3027-3034.

［6］孙炳书，刘明文.关于弹性地基梁模型与计算方法［J］.工业建筑，2014，44（增刊）：818-820.

［7］FRYDRYSEK K，MICHENKOVA S，NIKODYM M.Straight beams rested on nonlinear elastic foundations-Part 1（theory，ex⁃periments，numerical approach［J］.Applied Mechanics and Materials，2014，684：11-20.

［8］龙驭球.弹性地基梁的计算［M］.北京：高等教育出版社，1981.

［9］李庆扬，王能超，易大义.数值分析［M］.北京：清华大学出版社，2008.

［10］MICHENKOVA S，FRYDRYSEK K，NIKODYM M.Straight beams rested on nonlinear elastic foundations-Part 2（numerical solutions，results and evaluation［J］.Applied Mechanics and Materials，2014，684：21-29.

（责任编辑：陈 旷）

Deformation and Internal Force Analysis of Three Kinds of Beams on Non-Linear Elastic Foundation

CHEN Xiaoliang，HUANG Kaizhi，WANG Xiaorong
（School of Mathematics and Physics，Chongqing University of Science and Technology，Chongqing 401331，China）

To study the influence of non-linear relationship of foundation reaction force and beam deflection on deformation and internal force of long，medium and short these three kinds of foundation beam.Based on experimental data，the reaction force of foundation and the beam deflection were fitted as linear relationship and cubic polynomial，and then did program with finite difference method and Newton iteration method，to solve the curve of beams′length and deflection，slope，shearing force，bending moment of non-linear elastic foundation beams and classical linear elastic foundation beams.The numerical case showed the deformation and internal force of short non-linear and linear elastic Winkler beams are the same；the relative errors could reach 10%-20%for medium and long beams，so the nonlinear relationship of foundation reaction force and settlement should be considered in real engineering；the relative error of the deformation and internal force of medium non-linear and linear elastic beams changed with the length of beams，but to long beams，the relative error did not changed with the length.

non-linear elastic foundation beams；finite difference method；deflection；slope；shearing force；bending moment

TU471

：A

：1673-0143（2015）06-0571-06

10.16389/j.cnki.cn42-1737/n.2015.06.016

2015-09-30

重庆科技学院研究生教育教学改革研究项目（YJG2014Y008）

陈小亮（1980—），男，副教授，博士，研究方向：计算固体力学。