基于随机占优约束的投资组合优化模型研究

贵州理工学院经济管理学院 唐惠

贵州大学管理学院 钟庆平

一、引言

随着金融环境的蓬勃发展及金融商品的多元化，经济的迅猛发展使人们逐渐意识到投资和理财的重要性。投资者可以通过选择由不同风险性资产所构成的投资组合，以达到最大化投资收益同时分散风险的目的。起源于20 世纪60 年代的随机占优(Stochastic Dominance)理论，其将假设条件放宽到最大限度，例如不需要要求收益率的分布是正态分布等，而只需知道有关收益率分布较完善的信息，且在用该方法求解最优投资组合时所需的收益率等数据都是可以从相关的金融数据网站很容易和方便的收集到的。

Dentcheva & Ruszczynski(2003，2004)首先引入了具有随机占优约束的最优化问题，Dentcheva & Ruszczynski(2006)以及Roman, Darby-Dowman&Mitra(2006)提出了基于SSD 的投资组合优化模型。其有以下几点优点：这种方法相对于均值风险模型和效用函数模型有一个重大的优势，该模型需要的所有数据都是极容易得到的；在均值风险模型中风险测度及风险的权重的选择都拥有一定主观的特征，这就很难说服其他的投资者应用同样的测度；最优期望效用（模型）需要效用函数的精确形式，而决策者们的效用函数是很难被探出的，要一群决策者达成统一的意见就更复杂了；在基于SSD的投资组合优化模型中，将一个被广泛认可的确定的随机结果（例如，市场指数）做为被占优的对象，我们可以很好的避免以上这些困难。

然而已有的基于SSD的投资组合优化模型的文献并未考虑市场摩擦，在实际的交易市场中，总是存在着如交易费用，整数手限制等摩擦，不考虑这些市场摩擦因素必将使得投资组合理论与现实情况产生一定的脱节，因此建立含有市场摩擦因素的投资组合模型更加符合现实的需要。例如，Arrow&Wagner(1990)发现，在最优投资组合的计算中，若忽略交易费用可能会导致无效的投资组合；Edwen等(2006)指出交易费用是投资市场的重要因素之一，交易成本的大小关系到观察到的价格错位需要多大才会导致投资者改变现在的投资策略，同样也影响着一个投资组合是不是最优的问题。可见将市场摩擦因素考虑到已有的基于二阶随机占优约束的投资组合模型中，对其进行改进，是必要且有实践意义的。

二、基于二阶随机占优约束的投资组合最优化模型

(一)模型介绍

Dentcheva&Ruszczynski(2006)的基于二阶随机占优的投资组合最优化模型如下：

其中，f:X →R 是一个凹的连续函数；

投资有限资产1,2,...M. 的投资比例；

R1,R2,...RM表 示 资 产 1,2,...M. 的 随 机 收 益 率 ，R(x)=R1x1+R2x2+...+RMxM是投资组合的总收益率；

Y 是基准收益率(如市场指数——上证180 等)，Y=R(Zˉ)，Zˉ是基准的投资组合,我们的目的是要找到一个投资组合，该投资组合二阶占优于Y。Dentcheva&Ruszczynski 选用了股票市场指数，因为市场指数反应了股票市场的总体行情，用其作为比较的基准能够被大多数的投资者信服。除此之外还有指数的收益率便于收集的优点。

Dentcheva&Ruszczynski 从模型(2.1)开始，加入条件风险价值等做了一系列的转化和证明，得出了一个关于投资组合x 的大规模线性规划问题(证明过程见Dentcheva & Ruszczynski(2006))。Luedtke(2008)将该难以进行求解的大规模线性规划模型转化为如下可求解的以x,v和π（其中v和π 为辅助变量）为变量的大规模线性规划模型（2.2）。(证明过程见Luedtke(2008))

图1 动态跟踪数据下考虑市场摩擦前后模型与指数的月收益率比较折线图

其中，πij是条件概率，

π 和v 是为了求解x 而加入的辅助变量，现在模型（2.1）转化为（2.2），一个以x,π,v 为未知变量的大规模的线性规划问题。

(二)模型改进

许多投资组合的理论都是在完备市场的前提假设下得到的，在这些假设下，投资者不用额外支付与交易有关的交易成本，从而能自由的交易。而在现实的金融市场，由于市场规则、国家政策等各种原因，存在着各种各样的限制条件，即市场摩擦。股票市场的摩擦是多种多样的，如交易费用,只能买入整数手数量的股票等等。故将交易费用和最小交易单位限制的市场摩擦因素引入Dentcheva&Ruszczynski(2006)模型中，对其进行改进。使其更加的贴近我们实际的市场投资环境，以期能够帮助我们的投资者进行理性的投资，获得较高的投资收益。

1、市场摩擦

(1)交易费用。在实际金融市场中，为了维护交易场所的正常运行等方面的需要，交易过程中，买卖双方通常就某项具体交易需要被要求向交易场所缴纳一定费用，这部分费用的多少会使买卖双方交易前先衡量是否值得进行此交易。交易费用是投资者在委托买卖证券时应支付的各种税收和费用的总和，通常包括佣金、过户费、印花税、其他费用。交易费用中，佣金和印花税的比例最大，且由于本文是从买入方的角色考虑，就不再考虑印花税，所以在本文以下提到的交易费用主要是指佣金。上海证券交易所目前对A 股交易要求按“不超过成交金额的3‰，起点5元”的标准由投资者向证券公司交佣金。

则本文的交易费用表示如下：

如上可知C(X)是一个分段函数，在用计算机对大量的约束和变量进行计算时，该分段函数的加入无疑会加大编程的难度，所以本文将对所有股票的交易费用进行上限取值，虽然这样的处理会使计算出来的投资收益较实际水平偏低，但其拥有如下不可忽视的如下三点优点：第一是大大的减少了计算的难度；第二是若在这样的处理下，得出的投资组合的收益率仍然占优于指数的收益率；第三是这样的处理并不会使实际的交易费用增加，即投资者购买以这样的处理方式得出的投资组合，将在实际的投资市场中得到比我们的模型算出的收益更好的投资回报，可想这样的投资组合势必是更符合投资者的需求的。

（K 为投资的股票的最大基数或种数，一般取30）

(2)交易的最小单位限制（即整数手限制）。按照证券交易场所的交易规则，股票买入最低必须以100 股（1 手）为单位，卖出的数量可以不足一手。考虑整数手限制后，可能由于某股票的单价过高，导致买入一手所需的资金较大。整数手限制的摩擦约束下使得投资者无法不考虑该规则，随心所欲的分配自己的投资资金，从而使得自己的投资收益率降低。

若bl是第l 只股票的市场价格，W 为投资总额，xl表示投资于第l只股票的投资额占总投资额的比例，则整数手限制可以表示如下：

改进后的模型如下：

(三)实证分析

在唐惠（2013）中已对模型（2.2）对中国股票市场的适用性进行了实证分析，这里就不在重复，以下是对改进后的模型（2.5）进行实证分析。

本文数据来源于锐思数据库（www.resset.cn）。从上海证券交易所随机抽取30只，股票代码分别为（按股票代码数值的大小进行排序）：

600000,600009,600010,600015,600016,600019,600028,600030,600036,600048,600050,600085,600104,600111,600118,600123,600125,600132,600158,600177,600266,600309,600519,600600,600614,600642,600736,600795,600809,600887

选用该30 只股票从2008 年1 月到2012 年12 月，共60 个月的月收益率数据作为我们的实证研究数据。

选择上证180指数从2008年1月到2012年12月，共60个月的月收益率作为基准收益率Y ,主要是由于上证180指数不仅在编制方法的科学性、成分选择的代表性和成分的公开性上有所突破，其入选的个股均是一些规模大、流动性好、行业代表性强的股票。同时也恢复和提升了成分指数的市场代表性，从而能更全面地反映股价的走势，有效的保证了我们所得到的占优于该指数的投资组合是被绝大多数的风险厌恶的投资者认可的。

模型（2.5）是一个混合整数规划问题，此时共有240个约束，3750个变量，。其中θl∈Z(l=1,2... ...30)表示买入第l 只股票股票的手数。选用LINGO9.0 软件进行计算，并将投资总额W 取为10万元，bl取2012年12月31日第l 只股票的收盘价。计算结果为在投资组合：

X=(x14,x15,x18,x19,x25,x28)=(0.14288,0.32266,0.44344,0.02988,0.05502,0.00612)或投资手数θ=(θ14,θ15,θ18,θ19,θ25,θ28)=(2,13,8,4,6,2)下，目标函数f(x)达到最大值，Max f(x)=0.0523041，即若投资者投资10 万元于该投资组合，考虑交易费用和整数手限制后，其将获得5230.41元的收益。

使用同样的30只股票和指数及其在2008年1月到2012年12月的月收益率表现，对使用随机占优的方法在考虑市场摩擦前后模型所得投资组合及指数的收益率比较如下：

表1 考虑市场摩擦前后模型及指数的收益率

三、动态跟踪

由上表可清晰的看出考虑市场摩擦后基于二阶随机占优的投资组合模型的占优程度并不明显，且假设投资者整个一年都不对其所持有的投资组合进行，仿佛不符合我们股票市场大多数投资者的投资习惯。所以在接下的实证分析中，我们会对数据以月进行动态跟踪。

我们会对数据以月进行动态跟踪，同样是以股票前60个月的月收益率表示为一个决策依据（从2008年1月到2012年12月开始），后动态的逐月跟踪到2013年12月。即如2013年1月底，投资者想对其持有的投资组合进行一定的调整时，其可以采用有购买意向的股票的2008年2月至2013年1月的月收益率数据带入基于随机占优约束的投资组合模型（2.5），运用LINGO9.0计算出意向股票群的购买比例，依次类推到2013年12月底，其可以采用有购买意向的股票的2009年1月至2013年12月的月收益率数据计算出意向股票群的购买比例。

为了使论文前后同一模型的不同数据处理方法的结果有可比性，接下来同样采用上述中随机抽取的30 只股票的月收益率数据进行计算。

模型（2.5）中，bl为数据块中最后一个月最后一天的收盘价，如2013年1月底，用到的动态跟踪的数据块为2008年2月至2013年1月，bl就为2013年12月31日30只股票的收盘价，W 不是一般性的取10万元，投资者可以根据自己所持有资金的实际情况进行改动，这并不会使模型（2.5）的运行产生困难，不过由于每只股票的单价不同，很可能会由于投资资金的不同，加上整数手的摩擦因素下，导致算出的不同投资资金的投资比例及个股的手数不同。（如图1）

四、结束语

本文用我国的股票市场的实际交易数据对已有的Dentcheva &Ruszczynski(2006)的模型进行了检验，得出该模型是适用于我国股票投资市场的结论。在此之上，结合我国股票交易市场相关的实际规定，投资者在进行股票投资时需要缴纳交易费用，且有买入必须是整数手的限制，将这些实际的规则加入模型后对其进行了改进，并用实际的交易数据对改进的模型做了检测，得出其是有助于帮助我们的投资者获得更高的投资收益的结论。并将改进前后所得出的投资组合进行了比较，发现不考虑交易费用和整数手限制的投资组合是与实际的投资市场脱节的，是不合理的投资组合，可见在投资组合模型中考虑市场摩擦约束的重要性。从而也说明了本文对Dentcheva&Ruszczynski(2006)的投资组合模型进行改进是必要和有意义的。

虽然本文对Dentcheva&Ruszczynski(2006)的模型进行了改进并对其设计了计算，且用实际数据得出了考虑市场摩擦约束必要性等结论。然而仍有不足之处，是值得以后继续研究的地方：第一，本文对随机占优理论的应用只到二阶随机占优，可以继续将该模型发展到三阶，建立三阶随机占优(TSD)约束下的投资组合优化模型，以反映具有递减绝对风险厌恶特征的投资者的投资行为。第二，在处理基数限制时，本文只是简单的对其进行了小数点后五位四舍五入的处理，虽然这样是将投资的种类进行了限制，但这并未从根本上处理了该摩擦因数，可以从此处入手，对模型进行再一次改进，使其更贴近实际的投资市场，从而更好的指导投资者进行理性投资。

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