PCK视角下的数学概念教学

吴建芳

【关键词】PCK视角 小学数学

概念教学

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）01A-

0016-02

美国著名学者舒尔曼提出了学科教学知识（PCK），它是指对将所教的学科内容和教育学原理有机融合而成的对具体课题、问题或论点如何组织、表达和调整以适应学习者的不同兴趣和能力以及对教学的理解。PCK要求教师能读懂学生的生活经验和学习经验、学生的知识基础、由经验带来的学习困难，从而针对一个具体内容和特定情境采取合适的教学方式、教学评价、恰当举例、师生交流等策略，来帮助学生消除错误，形成正确的理解，这与《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下文简称“新课标”）的总体教学目标不谋而合。

概念是整个数学知识的基础，它具有抽象的特点，而抽象联系着概括。这就是说，数学概念的学习要注重让学生经历概括的过程，以期让学生获得概念理解的同时培养概括能力，这就对教师的教与学生的学提出了较高的要求。笔者认为，可从PCK的视角来探寻教学的对策。下面就以《小数点的位置移动引起小数大小的变化》为例，从三个角度进行具体阐述。

一、丰富支撑概念的“前期经验”

新课标将“基本活动经验”列为课程总体目标之一，这一目标的调整表明，我们对数学知识的本质特征和内涵的理解发生了变化。数学知识不仅包括整个数学共同体所认同的“客观性知识”（科学形状的表征），还包括从属于学生自己的“主观性知识”（个体认知的表征），即带有鲜明的个体认知特征的数学基本活动经验。

数学基本活动经验是个人化的、阶段性的、经验性的、表象性的、非严格的、可错的、动态变化的。在学习数学概念之前，学生在逻辑上已经存在了一些与之相关的经验，我们暂且称为概念的“前期经验”。虽然前期经验可能是零乱、模糊、不清晰的，但却可以非常有效地支撑概念的建立。教学实践表明，学生在数学概念学习过程中产生的问题，有许多就是因为“前期经验”与现行学习的脱节而造成的。比如就《小数点的位置移动引起小数大小的变化》这一课而言，学生的前期经验是“小数的大小是不变的”（小数的性质），而要改变小数的大小，对小数的扩大与缩小产生的变化，学生可谓是“一片空白”。“整数是可以通过在末位增加0或去掉0的方式来进行扩大或缩小的”，他们面对“9毫米、90毫米、900毫米、9000毫米”的大小关系是基于对整数的大小关系的理解，对“0.009米、0.09米、0.9米、9米”这样的小数之间的大小关系又仅仅停留在米尺上，两者并没有发生深度的迁移，这就造成了学生学习的障碍所在。

为了丰富概念的“前期经验”，增加“前期经验”的累积厚度，笔者选择了“小数的意义”的几何直观模型、小数计数单位之间的进率作为体验小数的扩大与缩小的学习起点。

师：（如图1）每小块地砖的面积是0.01平方米，那么10块、100块地砖可以铺多少平方米？

生1：10块地砖的面积是0.1平方米，100块地砖的面积是1平方米。

生2：因为10个0.01是0.1，100个0.001是1。

（师揭示：0.01×10=0.1 0.01×100=1）

师：谁能用扩大或缩小来说说0.001、0.1和1之间的大小关系？

生1：0.01扩大到它的10倍是0.1，0.01扩大到它的100倍是1。

生2：1缩小到它的是0.1，1缩小到它的是0.01。

简洁的数学学习材料，让学生进行富有意义的小数扩大与缩小的变化，并且以几何直观图和小数计算单位之间的进率本质联系为依托，初步建立起图形、算式、语言的多元表征，为学生积累概念的“前期经验”提供了很大的空间，从而有效地支撑数学概念的建立，帮助学生克服学习的障碍。

二、多元表征概念的“数学本质”

由于数学对象并非物质世界中的真实存在，而只是抽象思维的产物，因此，从这一角度去分析概念的外部表征，特别是符号表征，事实上就充当了数学对象的“物质承载者”，这是概念的“外化”过程。与“外化”相对立的，概念又必然有一个“内化”或重新建构的过程，只有这样，我们才能真正地掌握数学概念的本质。

概念表征是概念在头脑中的呈现方式。同一概念，其表征的形式不同，其思维加工的方式也不尽相同。在实际教学中，数学概念表征形式不恰当或者形式太单一，都会引起学生对于概念的“数学本质”把握不准。比如《小数点的位置移动引起小数大小的变化》，只从“金箍棒长度”90、9、0.9、0.09……这样单一的表征形式来研究概念，肯定会造成学生的学习困难。从数学的角度看，因为有“一个数乘以（除以）10、100、1000……”这样的计算需要，所以才产生了这样的变化规律。小数的扩大（缩小）是需要，小数点的位置移动是结果。而且孙悟空的“金箍棒变长、变短”是神话，这与小数点位置的移动关系不具有数学上的逻辑性，概念的产生没有成为数学本身的需要，反而引起小数点的位置移动与小数大小的变化关系因果倒置。

对此，教师可以组织更能凸显概念“数学本质”的素材，来丰富概念的表征形式，帮助学生扫除学习障碍。小数的扩大或缩小是数学计算的需要，但是仅仅有1、0.1、0.01的体验是不够的，它更需要有一般意义的实际情境来支撑。要在实际情境中，让学生产生数学计算的实际需要，同时利用形、式、数以及学生的语言等多种形式来表征小数的扩大与缩小。

师：（如图2）某种正方体的小方块重1.025克，这样的10块、100块、1000块有多重？请先估一估大约有多重？

生1：10块大约是10克、100块大约是100克、1000块大约是1000克。

生2：通过观察、估算，我知道了1.025×10=10.25、1.025×100=102.5、1.025×1000=1025。

师：说一说你是怎么样理解1.025、10.25、102.5、1025大小关系的？

生：1.025扩大到它的10倍是10.25，1.025扩大到它的100倍是102.5，1.025扩大到它的1000倍是1025。同样的道理，1025缩小到它的、、分别是102.5、10.25、1.025。

这样通过列式估算、观察图形、解释得数“三位一体”的过程，体验小数的扩大与缩小，最后利用语言概括小数的扩大与缩小的变化。可见，概念的表征形式多元了，更能促进学生从多角度、全方位地把握概念的“数学本质”。

三、降低概念外延的“学习干扰”

小学数学中的部分概念是可以用下定义（属+种差）的方式来表述概念的本质属性、解释概念的内涵，但更多的概念是不能或不宜下定义的，只能以描述的方法加以说明，比如“小数点的位置移动引起小数大小的变化”便是其中之一。笔者认为，在教学定义性概念时应侧重于对概念内涵的理解，与之相对的是，在教学描述性概念时，应侧重于对概念外延的拓展，既要注意阶段性，又要有整体观念。

概念的外延是指概念所指的对象范围，是具体的、具有概念所反映的特有属性的那些事物。如果教学素材提供的数据比较特殊，不能凸显概念的一般属性，就有可能造成学生对概念外延把握的困难。比如《小数点的位置移动引起小数大小的变化》教材提供的数据（如图3），难点是小数点位置移动位数不够时，要在一个数的最左边添上0、去掉0或在最右边添上0、去掉0。0.009、0.09、0.9、9从小往大看既要对一个数最左边去掉0又要在最右边添上0，9、0.9、0.09、0.009从大往小看既要对一个数最左边添上0又要在最右边去掉0。而学生之前对小数点位置的移动毫无经验，增加了学生对小数点位置的观察难度，不能凸显小数点位置移动的一般性，从而影响了学生掌握规律。

对此，教师可以为学生提供比较容易观察的数据，突出概念外延的一般性，采用从“一般过渡到特殊”的方式来分散教学的难点。1.025、10.25、102.5、1025的小数点位置的变化，不需要添上0或去掉0，比0.009、0.09、0.9、9更能凸显一般性，更有利于学生对小数点位置的观察比较，从而促进学生对概念的意义建构。选择1.025、10.25、102.5、1025作为探究对象，再配上虚拟小数点（小方框），有利于学生关注到小数点位置的移动，帮助学生观察发现规律。

师：10.25、102.5、1025的小数点与1.025的小数点相比较位置发生了什么变化？

生：1.025的小数点向右移动一位就是10.25，1.025的小数点向右移动两位就是102.5，1.025的小数点向右移动三位就是1025。

师：以1025的小数点位置为标准呢？

生：1025的小数点向左移动一位就是102.5，1025的小数点向左移动两位就是10.25，1025的小数点向左移动三位就是1.025。

之后，组织学生交流1.025、10.25、102.5、1025随着小数的扩大与缩小，小数点的位置又是如何变化的？从而概括小数的扩大（缩小）与小数点位置变化的规律。最后，再从位数够用的逐步过渡到小数末尾添上0、整数部分的最左边添上0等特殊情况。

综上所述，PCK理论中关于“学生的学习经验和学习困难”和“帮助学生学会教学的策略”的内容，可以指导教师更为科学有效地实施概念教学。运用PCK的视角可以更准确地剖析学生的学习困难，寻找学生的学习障碍，找准学习的现实起点，科学地选择和设计学习材料，有效地组织数学思维活动。如果学生概念的“前期经验”不足，我们可以组织丰富概念“前期经验”的数学活动；如果概念的表征形式不能凸显“数学本质”，就可以整合一些凸显概念“数学本质”的学习材料，改变表征形式；如果学习材料所提供的信息使概念所反映的外延太特殊，可以按照“一般到特殊”的策略来排除学生的学习干扰，帮助学生理解概念的本质、形成数学的技能，从而培养良好的数学情感。

（责编 林 剑）