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“乘法分配律”数学模型的建构

2015-03-11陈金飞

教学与管理(小学版) 2015年2期
关键词:乘法分配律分配律瓷砖

陈金飞

数学模型,一般是指用数学语言、符号和图形等形式来刻画、描述、反映特定的问题或具体事物之间关系的数学结构。乘法分配律的教学,很多的教师从其外形特征出发,出示4~6个符合乘法分配律特征的等式,引导学生观察等式,通过找出它们的相同点,用不完全归纳法抽象出等式模型:(a+b)×c = a×c +b×c。这样的教学过程,只注重外形记忆,轻视本质理解,因而学生容易受交换律、结合律的影响,产生思维定势,出现类似a×(b+c)=a×b+c的错误,学生知其然,而不知其所以然。只有从乘法分配律的本质出发,引导学生对数学学习的过程进行分析与解构,并自主建构数学模型,才能丰富和深化对乘法分配律的认知,有效实现从直观到抽象的过渡与演变,在充分感悟的过程中,真正实现对“分配”本质的深刻理解。

一、 探究现实问题,初步感知数学模型

出示主题图:

图1

师:从图上你看到了什么?能提出哪些数学问题?

生1:我看到了工人师傅在墙上贴瓷砖,左面墙上已经贴了9行瓷砖,每行4块。右面墙上也贴了9行瓷砖,每行6块。

生2:左面墙上一共有多少块瓷砖?右面墙上一共有多少块瓷砖?

生3:两面墙拼起来一共有多少块瓷砖?两面墙相差多少块瓷砖?

师:面对一个情境,大家能从不同的角度提出问题,真能干。我们先来研究:两面墙上一共贴了多少块瓷砖?该怎么解决呢?请独立思考,再汇报交流。

学生汇报。

生1:4×9+6×9=90(块)。4×9求的是左面墙上瓷砖的块数,6×9求的是右面墙上瓷砖的块数,加起来,就求到了瓷砖的总块数。

生2:(4+6)×9=90(块)。4+6求的是把两面墙拼在一起一行有多少块,再乘9求到9行一共有多少块。

师:仔细观察这两个算式,你有什么发现?

生:我发现两种方法得到的瓷砖块数相等。

师:所以,我们可以用等号把它们连起来。

板书:(4+6)×9=4×9+6×9

数学源于生活。从生活中的实际例子,让学生初步感悟数学模型源于生活,并且是他们“独到的发现”,更有利于激发学生探究的兴趣。图形的出示,既是探究、建立数学模型的显性依据,同时,对于研究、建立“乘法分配律”模型也更有直观的说服力。

二、 提供充足时空,深入理解数学模型

师:两个不同的算式,结果却相等,你知道其中的奥秘吗?结合图形说说你的想法。

课件展示图形动态变化,学生根据图形作出解释。(如图2)

图2

生1:竖着看,一列有9块瓷砖,共4+6=10列,表示10个9相加。4×9+6×9是4个9加6个9,也是10个9相加,所以结果相等。

生2:如果横着观察,一行有1个4和1个6相配,9行是9个4和6的和,(4+6)×9是9个(4+6),4×9+6×9是9个4加9个6,也是9个(4+6),结果相等。

师:看来不管是竖着观察,还是横着观察,用乘法的意义都能解释为什么这两个式子存在相等关系。想一想,还有其他的分拆方法吗?换一种拆分的方法,是否也存在等式?自己动手分一分,写出相应的等式,在小组里交流。

生1:我们是竖分的,又得到了四种分法,等式分别是:(1+9)×9=1×9+9×9;(2+8)×9=2×9+8×9;(3+7)×9=3×9+7×9;(5+5)×9=5×9+5×9。

生2:我们是横分的,得到四种不同分法,等式分别是:(1+8)×10=1×10+8×10;(2+7)×10=2×10+7×10;(3+6)×10=3×10+6×10;(4+5)×10=4×10+5×10。

充分展开学生的思维过程,把模型的建构建立在丰富的经验积累与数学理解之上,就为学生真正把握模型内涵、数学本质奠定了坚实的基础。深入的探究、多层面的举例,为学生探索规律、建构模型提供了思维路径。

三、 抽象形成规律,建构完善数学模型

师:观察这些等式,你有什么发现?

生1:这些算式既可以合起来算,也可以分开算,无论是合起来算,还是分开算,得数都一样。

生2:两个数的和同一个数相乘,可以用这两个加数分别与这个数相乘,再把两个积相加,结果不变。

生3:可以用字母表示:(a+b) ×c = a×c +b×c

师:你太厉害了,把这些等式的共同特征都用字母表达出来了。这个规律是偶然的巧合还是必然的规律?

生1:我们可以借助刚才的长方形图来解释,两个小长方形的长分别是a、b,宽是c,那么大长方形的面积可以用(a+b) ×c表示,也可以用a×c +b×c来表示,所以(a+b) ×c = a×c +b×c。(如图3)

师:同学们真了不起,大家通过努力,发现了数学上一个重要的运算定律——乘法分配律。

由具体实例抽象、上升为字母公式,由松散的个例上升为严谨的数学结论,经过不完全归纳,学生在教师的引导下有效地建构出解决问题的数学模型——乘法分配律,看似轻而易举,实则前面的铺垫探究功不可没。

四、 拓展知识结构,内化提升数学模型

建构“乘法分配律”数学模型的意义不仅仅是掌握其外在的、显性的公式,更重要的在于如何把这种数学模型深深地建构在学生的数学结构中,当需要时,即可将这个模型用来解决实际问题。因此,实际教学中,有必要引导学生在基本模型的基础上,对规律进行合理的联想和必要的拓展与深化,引导学生继续思考:乘法对减法有分配律吗?多个数的和乘同一个数还存在乘法分配律吗?让原来的模型再次生长,丰富和深化学生对乘法分配律内涵的认识。

师:像(a+b)×c=a×c+b×c这样的等式我们可以看作是一个数学模型。如果要求“两面墙上的瓷砖相差多少块?”能依照刚才的学习过程,也来建立一个数学模型吗?

生1:可以列出两个式子6×9-4×9和(6-4)×9,这两个两个式子的结果也相等。如果再举两个例子,也可以发现这样相等的规律,所以可以用字母表示:(a-b)×c=a×c-b×c。

生2:对于这个数学模型,我也可以用乘法的意义来解释,(a-b)个c等于a个c减b个c。

师:如果让图3继续生长(如图4),能否用字母来表示:你新的猜想?

生:(a+b+c) ×d = a×d +b×d+c×d

从乘法分配律的基本等式模型拓展至(a-b)×c=a×c-b×c、(a+b+c) ×d = a×d +b×d+c×d的等式模型,是学生数学思维的一次飞跃。由此,在掌握基本模型的基础上,可以进一步拓展成(a+b+c+d+…) ×e = a×e+b×e+c×e+d×e+…×e,至此,将数学模型的探究过程上升完善至一个数学思维系统的建构。

【责任编辑:陈国庆】

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