数学教学设计的新视角

数学教学设计的评价标准的维度非常多，但其中依据学生的认知方式是其最为重要的标准之一。只有依据学生认知方式的教学设计才可能是有效的，才能实现数学课程目标，因而，教师要充分理解具体的学生发生具体的数学知识的心理活动环节，以此依据适应学生的认知方式展开数学教学设计。

认知方式 数学教学 教学设计

数学教学设计是一项结构系统性的整体工程，它的构成要素体现于互相关联的三个侧面：理解所要传授的具体数学知识所呈现的环节及其联结中介的组成序列（简称“教材分析”）；把握学生生成数学知识环节及其联结中介的心理活动环节及其过渡性中介（简称“学情分析”）；通过创造性工作找到关联这两方面组成环节之间的切合点（可以沟通的元素），实现两者之间的贯通（简称“关联分析”）（如框架图1所示[1]）。本文主要探讨适应学生认知方式的数学教学设计的实现途径。

图1 数学教学设计环节框架图

一、发生数学知识认知方式的涵义

学习心理学将认知方式与认知风格等价。施良方先生写道，认知风格这一术语，一般用来描述学生加工信息（包括接受、储存、转化、提取和使用信息）时习惯采用的不同方式[2]。《现代汉语词典》（商务印书馆，第五版）将“方式”释义为“谈话做事所采取的方法和形式”，由此，我们可以将认知方式界定为，主体发生认识所采用的方法和形式。认知方式具有三项特征：1.它们是学生学习时发生心理活动环节的理智倾向性；2.它们所描述的是那些在时间上相对稳定的过程；3.学生在完成类似的任务时始终表现出这种稳定性。

不同的人的认知方式可能处于两个极端，但是，认知方式没有先进与落后之分。例如，有些人偏于求异思维的认知方式，另一些人偏于求同思维的认知方式，对此，我们不能说哪一种就好些，因为，某些问题的解决可能求异思维好些，另一些问题的解决可能求同思维要好些。大多数人在不同情况下，会从多种不同的认知方式中选择某种来解决他面对的有特定性质的问题。

在数学教学设计中，教师需要特别注意学生发生具体数学知识时的特定认知方式。教师只有把握学生的数学认知方式，才能由此模拟学生在特定认知方式发生作用时的心理活动途径来设计出合适的发生数学知识的教学流程，才能通过教学活动的实现优化原有的或构建新的认知方式，进而帮助学生生成更有活力的数学知识结构，从而有效地将发生具体知识时生成的数学活动基本经验与认知方式迁移到应对新的问题情境中去。

学生是学习的主体。教师只有准确地认识、把握与辨别学生运用某种认知方式发生特定数学知识的有效性程度是高、还是低的，萌生的数学观念是清晰正确、还是模糊错误的，取得的数学活动经验是成熟、还是素朴的等，在教学设计时才能扬长避短，针对学生发生数学知识的心理环节及其过渡性的中介，选择适宜的教学策略，设计有效的教学流程，促进学生正确理解所要学习的内容，生成具有活力的、动态的数学活动基本经验等。

学生的认知方式的标识包括：学生学习数学知识是容易的、还是困难的；学生在哪种层次（如是素朴的生活概念层次、还是规范的数学概念层次等）上发生并理解数学知识；发生数学知识的心理环节转、承、启、合的大致路径中哪些是接近正确的运行程式，哪些是典型错误的运行方式；是什么使学生学习具体数学知识产生了困难、或产生了错误理解等。教师据此进行教学设计才具有针对性，从而提高教学效率，对于学生容易理解的内容就可以少讲、甚至让学生自学，难于理解或容易造成误解的内容要进行更为精致的教学设计。

学生的认知方式不是先天的、惟一的，而是在实践中建构、发展与完善起来的，这为发挥知识不同层级教育价值提供了发生学上的依据，也是教学设计存在的关键依据。在具体数学知识的教学设计时，学生发生数学知识的途径决定着学生认知方式的优化或生成，从而决定了数学知识的不同等级层次的教育价值。如果数学知识的教育价值总是客观的、僵死不变的，那就没有必要研究学生认知方式，也没有必要进行教学设计。

因此，有的教学设计发生知识可能离学生合适的认知方式近些，有的可能远些，从而对优化学生认知方式的效果会大相径庭；有的教学设计针对学生的具体认知方式可能更为合理些因而更有价值些，它有利于促进学生形成更具活力、更具适应性的认知方式，也有利于萌生优秀的心理品质，反之，就会阻碍这些实现。在具体数学知识的教学设计中，教师应做好预判发生数学知识的基本条件：学生在发生知识之前，需要产生学习动机，形成学习心向；在知识发生过程中，需要提供动力，维持认知活动的延伸；在知识发生之后，需要引导学生通过反思感悟自己的认知方式有效性发生的条件，以利于认知方式迁移到新情境中去。

二、例示适应学生发生数学知识认知方式的教学设计

教师分析与选择学生发生数学知识的认知方式进行教学活动的取向在于：是否有利于学生正确理解数学知识而避免错误理解，是否有利于学生激活原有的数学知识的活力，是否有利于为学生发生新数学知识起到铺垫或导引作用，是否有利于学生将素朴的数学概念转化为规范的数学概念，是否有利于加强学生所学的新数学知识与原有的数学知识间的联系，是否有利于促进学生将刚刚学习所掌握的数学知识运用到新的问题情境中去，是否有利于学生在问题解决过程中的思维活动的展开与维持，等等。

例1已知：如图2，在△ABC中，∠ADC=∠BAC。求证：∠CAD=∠CBA。

教师甲一节课共讲了四道题，时间有富余。他对例1作了简要的分析，然后规范性地板书了证明，实录他的分析过程如下。

要证明∠CAD=∠CBA，因为∠ADC=∠CBA+∠BAD，∠BAC=∠CAD+∠BAD，由∠BAD为公共角，希望证明∠ADC=∠BAC，这正是已知。

教师乙一节课只讲了这道题，时间较紧迫。将其课堂教学设计的主要片段比较详细地实录如下（说明，下文的省略号表示学生思维环节中断之处）。

师：请用不同标识在图2中标示出所求结论与已知条件中各存在的一对相等角。

生1：在图3中，已知条件∠ADC=∠BAC中的∠BAC被AD分割开来，图形的覆盖影响了探索问题的思路。首先解决覆盖问题，使我们容易看清图形本质，……

师：这是一个好建议！大家动手试一试。

学生活动：首先把图3中的△ADC平移出来，得到了图3与图5，其次，根据已知条件∠ADC=∠BAC①和要证明的结论∠CAD=∠CBA②，把图4变换成图5的位置形态。学生成功地运用标识标示出图3中的两对相等角，即①，②两个等式。

师：大家做得非常好！请对比图4与图5，有新发现吗？

生2：比较图4和图5中的这两个三角形之间角的关系可得（教师精心设计板书）：

已知条件是∠ADC=∠BAC①，

所求结论是∠CAD=∠CBA②，

还有公共角∠ACD=∠BCA③。

这三个等式中，①和③成立，②是求证的结论，应该成立。……

生3：应用“三角形的内角和等于180°”，……

生4：①，②，③三个等式的左边的三个角是△DAC的三个内角，右边的三个角是△ABC的三个内角。于是，我们把这三个角的等式左、右两边分别相加就得到了这两个三角形各自的内角和，都等于180°，即

∠DAC+∠ADC+∠DCA=180°，

∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，……

生5：两个等式的右边相等（180°），知∠DAC+∠ADC+∠DCA=∠ABC+∠BAC+∠ACB④。将④的左、右两边分别对应地减去①与③的左、右两边，就可得到②成立[3]。

三、适应学生认知方式的教学设计结果分析

教师的教学设计要遵循不拂逆学生思考某一问题时心理活动展开的路径，即充分理解认识学生展开自己的认知方式，做到因势利导；即使在学生思维走势的分叉口，也不能轻易地告知学生思维延伸的标志物，而是启发学生自己去发现某种标志。这种启发的过程，不一定就是教师将自己的思考摆在学生面前，而是通过选择学生经由活动已经生成的材料，选择恰如其分的表征形式表征这些材料，学生感受这种表征形式，从中得到启发，促进自己思维的延伸。通过如此教学设计，使学生充分认识到自己内在能力的发挥，从而形成情感体验。

教师甲的教学设计基于平面几何证明的逻辑过程的认知方式，它的特点是洗尽铅华、褪去尘滓，简练到一尘不染。但是，按巴洛的观点，逻辑性是由对事物的内在秩序的猜测所组成的——但只有当确实有一种明确无误的内在秩序可作猜测时。我们打一个比方，逻辑的过程仿佛已经淘去砂粒而留下金子，而不把淘沙那种艰难的过程展示在琳琅满目的黄金展示台上。逻辑是论题的一种属性而非精神过程的属性，也即猜测不论在心算中还是在创造性思维中都是最本质的东西[4]。证明的表达已经将发现这一逻辑过程的种种心理猜想活动的曲折过程略而不计，我们读下去很可能感到某种令人信服的力量，但是，可能不知道我们自己是否也可以获得这种说服他人的力量。

因此，教师甲的这种教学设计，只是将自己组织题设条件信息的精致结果告诉了学生，至于这种结果是如何得来的，大多数学生可能不得而知。这种教学设计的缺陷就在于教师甲没有通过学情分析，充分认识与理解学生发生这一证明逻辑过程的认知方式。其实，除了少数学生，绝大多数学生不可能立即就想到∠ADC=∠CBA+∠BAD，∠BAC=∠CAD+∠BAD这两个等式，教师估计学生的认知方式的主要支点就是追问这两个等式是如何从心理上产生的。

事实上，教师甲几乎没有考虑学生发生数学知识的心理活动环节，遑论对知识脉络与学生心理线索联结过程的思考。他只是将自己的发现思路整理成了精致的逻辑过程，在课堂上将这一过程展示给了学生，学生可以读懂这一过程，但是，必须要有记忆的帮助代偿了这一寻找的过程。艾芙·居礼说，“第一句叫学生记忆意义不明的知识，或者第一件叫他盲从地接受而不让他理解其意义的事物，就是毁灭学生理解力与判断力的开始。”[5]如此，教师甲的这种设计不可能实现数学新课程所设计的目标，也很难发挥数学知识的教育价值。

教师乙的教学设计充分利用平面图形的直观性、可操作性，通过要求学生从标识“图3中的两对相等的角”出发，鼓励学生对题设条件信息进行有序观察、比较，启发学生对图形进行操作、变换与定位，帮助学生利用图形中已知明确的两项信息①、②组构成“支点式”信息。再由图形直观生成外围信息③，“支点式”信息①、②与外围信息③组构成了信息结构轮廓（教师乙用非常合适的表征突出了它），学生由此确定了知识框架。从教学过程中发现，这不是一件容易的事，是经过许多学生的接力思考与不懈努力，对信息不断地发掘与调整而得到。如此，学生对解决问题时如何确定这个知识框架体验深刻，必将生成深度数学经验[6]。

对教师乙设计的这一整套过程，我们听课者为之动容。这奠基于教师乙透彻理解学生发生知识的心理环节，特别是诱导学生萌生关联分散信息的心理动力的设计与执行，令人拍手叫绝！通过恰如其分的板书设计（传统媒体：黑板与粉笔），得到有利于学生思维发挥作用的表征形式的提示——板书等式①、②、③成规则形态的排列很有效值，它恰到好处地帮助学生生成了信息结构轮廓。这些看上去似乎是教师乙的不经意行为，其实正是他匠心独运之处，充分展示了他的教学设计能力，从而诱发学生萌生信息关联的内在动力，生发了完形心理内驱力（“格式塔”的经典理论[2]），引导学生运用“三角形内角和定理”完满地解决了问题。

教师乙严格还原学生发生知识的心理环节，依据学生的认知方式，在此基础上，将这道题的证明思路发现过程的主体部分放手交给学生，让学生自己去做，使他们探究问题的各种手段都得到充分地发挥，利用学生通过自己的操作、观察、比较、类比、联想、想象与思维等要素的展开认识活动。教师通过设计合适的表征形式表征学生生成对形成问题思路有价值的材料（教师经由选择），由此表征提示学生思维延伸的方向与走势，而不是将思维前进的可借助的条件材料直接奉献给学生。

教师甲没有充分尊重学生，利用学生的认知方式展开思维过程；教师乙充分依据学生的认知方式，在证明思路的发现中，步步按照学生思维展开路径的提示。从这个例子中，尽管没有某种意义上的标准，我们还是可以感受到，教师乙的设计优于教师甲的设计。

数学教学所要传授的知识相对固定（其最低限度已经写入课程标准）。但是，通过何种方式来传授这种已经设定了的知识，却随着教师的教学理念不同，预设的教学目标不同，持有的教学观念不同，获得的教学经验不同，理解特定数学知识性质不同，揣摩发生特定知识的学生认知方式不同，估计发生知识时学生现场心理活动意向不同，存在多种选择。不同的教学设计对发挥数学知识的教育价值、促进学生素质发展的结果迥然有别。在不同理念指导下的教学设计中，适应学生认知方式的教学设计是一种基础性的要求。

参考文献

[1] 张昆，曹一鸣.完善数学教师教学行为的实现途径[J].数学教育学报，2014（3）.

[2] 施良方.学习论·学习心理学的理论与原理[M].北京：人民教育出版社，1994.

[3] 张昆.整合数学教学设计的取向：基于知识发生的逻辑取向与心理取向研究[J].中国教育学刊，2011（6）.

[4] [美]威廉·卡尔文.大脑如何思维：智力演化的今昔[M].杨雄里，梁培基，译.上海：上海科学技术出版社，1996.

[5] [法]艾芙·居礼.居礼夫人传[M].左明彻，译.北京：商务印书馆，1980.

[6] 张昆.高考答卷惜时如金：问题与出路[J].数学通报，2011（1）.

【责任编辑 郭振玲】