材料力学课程教学中的几个极值问题

戴京涛++夏毅锐++孙海霞

摘 要：极值问题是材料力学课程教学中经常遇到的问题。本文对材料力学课程教学中的几个极值问题进行了分析和研究。研究表明，空心圆轴抗扭截面系数是其外径的单调函数，外径越大，其抗扭截面系数就越大；对于某些截面来说，截去部分材料反而会使整个结构的抗弯能力增强；工程上常见的只承受集中载荷的双向弯曲梁的最大的弯矩只会出现在集中力作用的截面。教学实践表明，利用学生已经掌握的数学物理知识推导力学理论和公式，并将这些理论和公式结合工程实际进行分析，能够有效地激发和提高学生的学习兴趣，取得良好的教学效果。

关键词：材料力学 课程教学 极值

中图分类号：TB301 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）12（c）-0233-02

《材料力学》作为一门重要的专业基础课，在机械、机电等专业的课程体系中占有重要地位。但由于这门课概念、定理、公式较多，理论抽象，学生学起来较为吃力。因此，培养学生的学习兴趣，让学生轻松学好力学，是力学教学的当务之急。极值问题是材料力学课程教学中经常遇到的问题，围绕极值问题的推导与分析，充分展现问题中的力学之美，能够有效激发和提高学生的学习兴趣。下面就材料力学中的几个极值问题进行讨论。

1 面积一定的空心圆截面抗扭截面系数最大值问题

任意截面极惯性矩的定义式[1]为：。显然，对于面积固定的空心圆轴来说，外径D越大，其极惯性就越大。空心圆截面的抗扭截面系数表达式为：。从这一定义式看，对于面积固定的空心圆截面来说，虽然Ip会随着外径D的增大而增大，但从整个表达式看，其抗扭截面系数不一定增大，关键问题是看Ip增加得快还是D增加的快。对于空心轴，，式中：，为内外径之比。问题转化为在面积一定的条件下，也就是：（C>0，常数）条件下，求函数的极值问题。易解得：上式求导得：。

也就是说Wt是关于D的单调增函数，所以Wt随着外径D增大而增大。当然，在截面面积一定的情况下，随着外径的增大，圆筒壁厚会越来越小，当小到一定程度后，空心圆轴的破坏将不再是强度问题，而是薄壁圆筒受扭失稳问题。

2 圆截面的最大抗弯截面系数

如图1（a）所示，半径为r的圆形横截面，切掉画阴影线的部分后，抗弯截面系数会如何变化？这样做对梁的抗弯刚度又会有哪些影响呢？

由图1（b）可以看出，切掉阴影线部分后剩余的面积，是由4个相同的直角三角形面积和4个相同的扇形面积之和，一个直角三角形面积对水平直径的惯性矩为：

一个扇形面积对水平直径的惯性矩为：

因为圆截面在中性轴附近聚集了较多的材料，而离中性轴远处的材料却较少。当切掉适当的小弓形面积后，使之离中性轴远处的材料密集度增大，这样抗弯截面系数必增大。

被切去阴影部分后，剩余面积对水平直径的惯性矩：

抗弯截面系数Wx：

显然，抗弯截面系数是α的函数。Wx取得极值时，Wx对α的一阶导数为零，则有：

=0

解以上方程得两个解（由于上述方程为超越方程，所以只能进行数值求解）：（无意义，舍去）或，抗弯截面系数Wx达到最大值：，此时。而未切前：，。

从以上比较可知切后抗弯截面系数增大，而抗弯刚度降低，因而使梁的抗断裂能力提高，抗弯曲变形能力降低。

通过以上问题发现：对某些截面来说，截去部分材料反而会使整个结构的抗弯能力增强。

在工程实际中，对于截面上、下端较小的截面，诸如圆形、三角形等截面，都可在截面的上、下端适当地截去一小部分，以增大截面的弯曲截面系数，提高梁的弯曲强度。但弯曲截面系数增大的比例有多大，是否有实际意义，还应根据不同形状的截面区别对待。对圆形截面，截面系数只增大了0.6%，工程意义不大[2，3]。

3 仅作用集中力情况下双向弯曲梁的最大弯矩截面的确定

双向弯曲中，水平和铅垂面内同时发生弯曲变形，并在轴上产生弯矩My和Mz。对于传动轴来说，如果要对其强度进行校核，首先需要找到其危险截面，即要确定出最大弯矩所在的截面。

如图2所示，对于AB段，My和Mz曲线均为过原点的直线，则：

，

显然合弯矩M是x的一次函数，M为直线。同理可证DB段弯矩图也是直线。这种情况下，梁的最大弯矩值只能出现在直线的两端。

CD段My和Mz一个为单调增加函数，另一个为单调减少函数，如图所示。显然，仅仅通过合弯矩函数的表达式无法直接判断出最大弯矩值发生在CD段的哪个位置。

第一种推导方法：

，

合弯矩：

由上式可见：，所以该段合弯矩图为凹曲线。因此，该段最大弯矩发生在闭区间[C，D]的两端点处，亦即危险截面为集中力所在的截面。

第二种推导方法：

显然，合弯矩图为双曲线。由上式可得：

上式中的常数项：

则有：

这说明合弯矩的双曲线的焦点位于竖直方向，且曲线开口向上。所以，该段最大弯矩发生在闭区间[C，D]的两端点处，亦即危险截面为集中力所在的截面。

经过多年的教学实践发现，利用学生已经掌握的数学物理知识推导力学理论和公式，并将这些理论和公式结合工程实际进行分析，能够有效地激发和提高学生的学习兴趣，取得良好的教学效果。材料力学是一门艺术，它给学生以知识、以思考、以享受、以探讨奥妙的兴趣。因而，值得每一位力学教师认真研究，反复推敲，并巧妙应用于教学实践，让学生好学、学好材料力学。

参考文献

[1] 刘鸿文.材料力学[M].北京：3版.高等教育出版社，1992.

[2] 孙训方，方孝淑，关来泰.材料力学[M].5版北京：高等教育出版社，2009.

[3] 范钦珊.材料力学[M].2版.北京：高等教育出版社，2005.endprint