一类矩阵迹的不等式

周其生，金乐乐

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)



一类矩阵迹的不等式

周其生，金乐乐

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)

摘要：本文利用Young不等式和Lieb-Thirring不等式，给出一类矩阵迹的新的不等式，且推广了一些文献的结果。

关键词：矩阵；迹；不等式

矩阵的迹是矩阵的一个重要数值特征，由于矩阵迹的运算在数值计算、逼近论以及统计估计、随机控制、滤波和经济计量学等理论中应用广泛，因此，对于它的讨论引起众多数学工作者的重视。由于矩阵的乘法无实数乘法所具有的交换性，这使得许多关于实数的不等式不能直接推广到矩阵论中，一些看似平常的代数不等式，推广为按Löwner偏序的矩阵不等式一般可能不成立。由于矩阵迹运算克服了矩阵乘法交换性的困难，又使得实数不等式的推广成为可能，鉴于矩阵乘积的迹一般不等于矩阵迹的乘积，故而又成为推广的障碍，因此，研究矩阵不等式不仅具有应用价值，而且也极具挑战性。本文将利用矩阵迹的Young不等式和Lieb-Thirring不等式，以及关于迹的性质，将一些熟知的实数不等式推广到矩阵论中，得到关于矩阵迹的不等式。

杨晋和稽国平、汤正谊等人分别在文[1]和[2]中给出如下一些实数不等式。

2.设a,b,c为正数，则

本文将以上实数不等式推广为矩阵迹的相应不等式，并做了更深入的讨论。为此，先给出两个重要引理。

特别，当A，B为同阶半正定Hermite矩阵时，有

等号成立当且仅当B=Ap-1。

引理2[4](Lieb-Thirring不等式)设A,B为同阶半正定Hermite矩阵，n为任意正整数，则

tr(AB)n≤tr(AnBn)

等号成立当且仅当n=1或AB=BA。

关于矩阵迹的性质可参阅文献[5-6]。下面给出本文的主要工作。

定理1设A,B为半正定Hermite矩阵，n为任意正整数，则有

ntr(An-1B)≤(n-1)trAn+trBn

(1)

等号成立当且仅当B=A。

定理1是Jacobsthal不等式的推广，当n=2时就是AG不等式。将它变形，即

定理2设A，B为半正定Hermite矩阵，B可逆，n为任意正整数，则有

tr(AnB-(n-1))≥ntrA-(n-1)trB

(2)

等号成立当且仅当n=1或者A=B。

因此，(2)式成立。

推论1设A,B,C是半正定Hermite矩阵，且任两个的和为可逆阵，则有

tr[A2(B+C)-1+B2(C+A)-1+C2(A+B)-1]≥

(3)

tr[A2(A+B)-1+B2(B+C)-1+C2(C+A)-1]≥

(4)

当且仅当A=B=C时等号成立。

证明由定理2并以2A，2B，2C分别代替A，B，C得

tr[(2A)2(B+C)-1]≥4trA-tr(B+C)

tr[(2B)2(A+C)-1]≥4trB-tr(A+C)

tr[(2C)2(A+B)-1]≥4trC-tr(A+B)

三不等式相加得

4tr[A2(B+C)-1+B2(C+A)-1+C2(A+B)-1]≥

2tr(A+B+C)

所以(3)式成立。再由定理2知，(3)式等号成立当且仅当2A=B+C，2B=A+C，2C=A+B，即A=B=C。同理可证(4)式及等号成立条件。

注1(3)式不能改成如下形式的推广：

tr[A2(B+C)-1+B2(A+C)-1+C2(A+B)-1]≥

进一步，有下面更一般结果。

定理3设A1,A2,…,An(n>1)为同阶半正定Hermite矩阵，任意n-1个之和可逆，则

(5)

(6)

等号成立当且仅当A1=A2=…=An。

证明为得到不等式左边矩阵商和式的迹的最佳下界，在上面已证不等式tr(A2B-1)≥2trA-trB中以αΑ代A(α为正数)得

α2tr[A2B-1]≥2αtrA-trB

(7)

在(7)式中分别以A1,…,An代A，以A2+…+An，…,A1+…+An-1代B得

……

将上面各不等式相加得

(5)式等号成立当且仅当αA1=A2+…+An,…,αAn=A1+…+An-1，当且仅当α=n-1,A1=A2=…=An。同理可证(6)式及等号成立的条件。

定理4设A1,A2,…,An(n>1)为同阶半正定Hermite矩阵，任意n-1个之和可逆，则

(8)

(9)

证明由定理2并以αA1(α为正数)代替A，再以A2+…+An代替B得

同理可得另外n-1个不等式，将这n个不等式相加得

为了继续推广上面的结果，先给出类似于定理2的一个结论。

定理5设A,B为同阶半正定Hermite阵，B可逆，则对任意自然数k，n(k

tr(AnB-k)≥2tr(An-1B-k+1)-tr(An-2B-k+2)

(10)

从而有(10)式成立。

定理6设A1,A2,…,An(n>1)为同阶半正定Hermite矩阵，任意n-1个之和可逆，则

(11)

(12)

下面进一步研究k次幂的商和式的迹,有如下结果，

定理7设A1,A2,…,An(n>1)为同阶半正定Hermite矩阵，任意n-1个之和可逆，k≥2为正整数，则

(13)

(14)

证明仿照定理6的证明可得

再由Young不等式得

j=2,3,…,n

代入上式得

相仿地可得其余n-1个不等式。把这n个不等式相加，化简得

显然当α=n-1时，得到最佳结果(13)式。同样可证(14)式。

定理8设A1,A2,…,An(n>1)为同阶半正定Hermite矩阵，任意n-1个之和可逆，则对任意自然数n，有

(15)

(16)

证明记S=A1+A2+…+An，由定理4并仿照定理6的证明，可得

将各式相加得

由定理7可得

代入上式得

取最佳常数α=n-1时，即知此时(15)式成立。同理可得(16)式。

注2通过以上讨论，猜想，对同阶半正定Hermite矩阵A1,A2,…,An(n>1)，任意n-1个之和可逆，则对任意自然数k,n(k

当k=1,2,n-1时，分别是定理7(令k=n)，定理8和定理4的结果。

参考文献:

[1]杨晋.一个不等式变形的应用[J].中学数学月刊，1999，12：44-46.

[2]稽国平，汤正谊.两个优美而有用的不等式[J].中学数学月刊，2000，6：24-27.

[3]T.Ando.Matrix young inequlities[J].Oper.Theory Adv.Appl.,1995,75:33-38.

[4]R.Bhatia.Matrix analysis[M].New York:Spring-Verlag,1997:289-317.

[5]X.Zhan.Matrix inequalities[M].Berlin:Springer-Verlag,2002:35-38.

[6]王松桂，吴密霞，贾忠贞,等.矩阵不等式[M].北京：科学出版社，2006.

Inequality on Trace of a Class of Matrix

ZHOU Qi-sheng, JIN Le-le

(School of Mathematics and Computation Science,Anqing Teachers College,Anqing 246133,China)

Abstract:In this paper, inequality on trace of a class of matrix are provided, by using Young inequality and Lieb-Thirring inequality, and the result of some of the literature is generalized.

Key words:matrix, trace, inequality

文章编号：1007-4260(2015)03-0001-04

中图分类号：O178，O151.21

文献标识码：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.001

作者简介：周其生，男，安徽金寨人，安庆师范学院数学与计算科学学院教授，主要研究方向为算子理论。

基金项目：安徽省教育厅自然科学项目(2013Z186)。

收稿日期：2014-11-25

网络出版时间：2015-8-25 15:40网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.001.html