四步八阶迭代法解非线性方程组

朱小飞， 檀结庆， 张 旭

（合肥工业大学 数学学院，安徽 合肥 230009）

非线性方程和非线性方程组的数值解法［1－3］是计算数学的一个重要的研究内容，它在解决很多实际问题中起到了重要作用。Newton迭代方法是最经典的迭代方法，具有二阶收敛性。Halley迭代法和Chebyshev迭代法是三阶收敛的，文献［4－5］利用Adomian分解法分别给出了三阶收敛和四阶收敛的迭代方法，文献［6－7］根据求积公式分别提出了具有四阶收敛和五阶收敛的迭代方法。

1 迭代方法

考虑非线性方程组F（x）＝0，其中函数F（x）：D⊂Rn在凸集D⊂Rn上p阶可微，且ξ是非线性方程组的一个实数根，对函数F（x）进行Taylor展开［8］得：

当p＝1时，可得：

利用左矩形积分公式可得：

将（3）式带入（2）式，并令F（x）＝0得：

进而得到如下迭代格式：

（5）式为经典的Newton迭代格式。对于（2）式中的积分部分，若利用不同的数值积分公式则可以得到不同的迭代方法。文献［9］提出了2点Newton－Cotes公式，即闭－开求积公式和开－闭求积公式：

文献［10］利用（6）式的2种积分公式来近似（2）式中的积分部分，得到：

相应地得到了2种改进的两步求解非线性方程组的迭代方法，即

文献［11］给出了1种改进的求解非线性方程组的迭代方法，即

文献［12］给出了1种改进的求解非线性方程组的两步Newton迭代方法，即

其中，y（m）＝x（m）－F′（x（m））－1F（x（m））为著名的二阶收敛的Newton迭代方法。

文献［7］根据以上公式得到了相应的3种求解非线性方程组的迭代方法，并证明其是一阶收敛的，即

本文在上述三步五阶迭代方法的基础上再加一步，得到了相应的3种新的求解非线性方程组的迭代方法，并证明其是五阶收敛的。（1）新方法一。

（2）新方法二。

（3）新方法三。

（8）～（17）式中m＝0，1，2，…。

2 收敛分析

定理1 设F（x）：D⊂Rn→Rn在凸集D 上p阶可微，且非线性方程组F（x）＝0在凸集D上存在根η，则上面提出的3种迭代方法（15）～（17）式都是八阶收敛的，且满足误差等式：

其中

证明 先证明方法一，即（15）式具有八阶收敛。分别将F（x（m））、F′（x（m））、F′（y（m））在点η处运用Taylor公式展开得：

由（18）式和（15）式的预测一可得：

由（21）式可得：

其中，

由（22）式可得：

其中，

因为［7］

所以［7］

其中，R5＝L5／2＋C42；R6＝L6／2＋P6／2；R7＝L7／2＋P7／2；R8＝L8／2＋P8／2。

所以有：

其中，

T6＝2C2R6＋34C3C42； T7＝2C2R7＋32C22C3L4； T8＝2C2R8＋34C3L24＋3C22C3C5。

由（24）式可得：

综上可得：

即证得新方法一（15）式具有八阶收敛，同样可证得新方法二、新方法三都具有八阶收敛。

3 数值实例

分别用牛顿迭代公式（Newton）、文献［7］提出的算法（方法一和方法三）以及本文提出的3种新方法（取其中的新方法一和新方法三）求解几个非线性方程组，并比较这些不同的方法在每次迭代后得到的近似解。所有的结果都是在Matlab R2010b环境下实现的。

例1 解非线性方程组：

取初始值为［2.5，5］T，数值计算结果见表1所列。

例2 解非线性方程组：

取初始值为［0.5，2，3］T，数值计算结果见表2所列。

表1 例1不同方法迭代3次后的计算结果

表2 例2不同方法迭代3次后的计算结果

以上数值实例表明，本文提出的3种求解非线性方程组的方法都是可行的，且所需的迭代次数较少，收敛速度较快。

效率指数如图1所示，由图1可以得到，当迭代次数n＜3.5时，本文的方法效果相对较好。

4 结束语

本文给出了3种新的解非线性方程组的方法，并证明其具有八阶收敛性；数值实例表明这3种方法都是可行的，且本文方法迭代的次数较少，收敛速度较快，本文方法效率指数也相对较好。

图1 效率指数图

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