基于二维高斯样条函数的水下地磁被动定位

王志刚 顾雪峰

(1.91550部队 大连 116023)(2.海军工程大学兵器工程系 武汉 430033)(3.海军工程大学兵器科研部 武汉 430033)



基于二维高斯样条函数的水下地磁被动定位

王志刚1,2顾雪峰3

(1.91550部队 大连 116023)(2.海军工程大学兵器工程系 武汉 430033)(3.海军工程大学兵器科研部 武汉 430033)

目前利用水下地磁信息对惯导误差进行校正多以各类匹配算法为核心,对此论文提出一种基于二维高斯样条函数的水下地磁被动定位新模式。文章首先介绍了一种利用二维高斯样条函数逼近的连续局部地磁场模型,随后在该模型的基础上将实测地磁表示为连续的解析形式,最后以实测地磁作为包含目标位置信息的量测值,并结合扩展卡尔曼滤波算法对目标位置进行最优估计。这种方法无需使用常用的匹配算法,因而也就摆脱了匹配算法的诸多限制。以分辨率为2′×2′的某区域地磁异常数据为背景场进行仿真,最终的仿真结果表明:经高斯样条函数逼近的局部地磁场模型平均误差小于0.26nT,水下平均经、纬定位误差分别小于0.96和0.33海里。

被动定位; 高斯样条函数; 局部地磁场; 匹配算法

Class Number P207

1 引言

目前,对于水下潜器的被动定位是导航、定位领域研究的一个热点和难点问题。水下潜器的惯导系统(Inertial Navigation System,INS)误差随时间积累,因此必须要通过其它导航方式实时或定期修正INS。出于隐蔽性要求,水下潜器又很难利用卫星或无线电信息,此时利用水下地理特征信息的辅助导航定位技术就是很好的选择。常用的辅助导航定位系统有地形、重力、地磁辅助导航系统[1～4]等,目前这些辅助导航系统都是以各种匹配算法为核心来获得潜器的最佳匹配位置(真实位置)。传统的匹配算法主要分为单点迭代和序列迭代两类,分别以SITAN[5～6](Sandia Inertial Terrain-Aided Navigation)和ICCP[7～8](Interval Closest Contour Point)算法为典型代表。这些匹配算法分别在实时性和稳定性方面有其优点,但是为了保证良好的匹配效果,算法对潜器的运动规律和初始误差环境有很多严格的限制[9～11],因而也限制了其应用范围。针对这一问题,本文提出一种直接利用观测地磁进行水下被动定位的新模式,应用该方法的前提就是确定地磁异常与潜器位置(大地经、纬度坐标)的精确解析表达式,之后与航空领域的目标被动定位原理相似,由于观测地磁中包含了目标的位置坐标信息,直接通过非线性滤波算法,就可对潜器的航行位置进行最优估计。

2 二维高斯样条函数逼近

直接利用地磁数据进行定位,在很大程度上取决于观测地磁与目标所在位置关系的确定,也就是全球地磁场模型的确定。目前常用的各类全球地磁场模型[12]无论在阶次和精度方面都已经达到了很高的水平,它本质上属于球坐标系下的调和分析,因而应用过程中需要计算大量的Legendre系数,使得模型计算量巨大,而这对于定位的实时性是一大考验,另外现有的大部分全球地磁场模型非线性比较严重,也不太利于滤波估计时的线性化处理。

近年来,高斯样条函数在医学影像、数字地形构建、计算机图形学及地球物理等领域有较为广泛的应用,文献[13]讨论了高斯样条在协方差函数代数确定中的应用,文献[14]采用高斯函数作为样条基函数对区域重力进行二维整体逼近,文献[15]讨论了高斯样条函数逼近局部重力的相关影响因素。高斯样条函数运算简单且最终解析式是统一的,文章将其引入用于地磁建模,采用高斯样条函数逼近局部地磁场,由某区域的试算结果可以看出函数逼近的平均误差只有0.26nT。鉴于二维高斯样条函数的解析形式以及高精度,使得该模型非常适合在估计潜器位置时作为量测方程使用。

2.1 二维高斯样条函数逼近数学原理

=span{Gx((x-xi)/Δx)Gy((y-yj)/Δy)}

(1)

即有

×Gy((y-yi)/Δy)

(2)

不妨设

(3)

则上式可以简化为矩阵形式:

(4)

则根据插值条件{L(xi,yj)=zi,j|i=1,…,m;j=1,…,n},有如下线性方程:

(5)

易知X、Y均为非奇异矩阵,即式(5)有唯一解,解方程即得到系数矩阵C,将系数矩阵代入式(2)便得到该局部地磁异常基准图二维高斯样条函数逼近解析式。

由式(5)可以看出系数矩阵C由X、Y与Z唯一确定,而X、Y由矩阵的阶数和ax、ay决定。文献[14]曾对求逆计算误差与a和计算阶数的关系进行过详尽的探讨。经讨论可知:系数矩阵C的求解过程中如X、Y矩阵阶数过高且ax、ay过小或阶数过低且ax、ay过大时,X、Y矩阵的求逆存在较大误差。而当X、Y矩阵阶数小于5或ax、ay值小于5时,矩阵求逆运算误差较小。考虑到求逆计算误差以及实际应用中用到的格网区域远大于5×5,即可采用文献[15]给出的斐波那契数列方法对ax∈[1,5],ay∈[1,5]区间内进行寻优。

2.2 二维高斯样条函数逼近精度分析

取范围i为117°E-121°E,j为21°N-25°N,分辨率为2′×2′的地磁异常场数据作为已知地磁基准图。文章在该已知2′×2′地磁异常基准图的基础上,取4′×4′格网点处地磁异常数据作为基础数据点,进行二维高斯样条函数逼近,获得该范围局部地磁异常基准图解析表达式,并据此计算分辨率为2′×2′的地磁异常逼近值,然后与已知的2′×2′格网处地磁异常值进行比对分析。

图1 局部地磁异常基准图二维高斯逼近仿真实验

最终的仿真结果如图1所示,其中图1(a)为已知2′×2′地磁异常基准图,图1(b)为由4′×4′地磁异常基准图逼近的2′×2′地磁异常基准图,由此可以看出二维高斯样条函数逼近的局部地磁异常基准图解析式能较好地描述这一范围的地磁异常基准图。

图1(c)、图1(d)分别为逼近误差图及相应的误差统计图,表1为误差统计表,由以上图、表可以得出,试算区域4′×4′格网点处二维高斯逼近计算值绝对误差均值为0.26nT且98.21%计算点绝对误差小于1nT,逼近精度可以满足匹配导航要求。鉴于地磁二维高斯样条逼近函数的连续形式,与经、纬度坐标具有明确的解析关系以及自身的高精度,使得这一逼近函数十分适合用于地磁被动定位时所需的量测方程。

表1 计算值和真值比较(单位:nT)

3 水下被动定位模型的建立

水下被动定位较水面与航空领域的被动定位难度更大,究其原因就是在强调隐蔽性的前提下水下可利用的观测量更少,即便有可用的观测量其解析形式也十分复杂,因而当今潜器的水下定位、导航多是基于特定的地理信息数字图,通过采用各种的匹配算法和观测信息在数字图上估算出潜器的位置坐标,这类方法的核心就是匹配算法,但是匹配算法在应用时为了保证具有好的定位效果,对潜器的初始误差、运动模式具有诸多限制,且有的匹配算法还不能保证定位的实时性(如ICCP算法),能保证实时性的又容易出现误匹配(如Sitan算法)。水面和航空领域的被动定位相对简单,它只需要建立合适的目标运动状态方程再由具体的观测方程,就能将真实观测值中所包含的我们感兴趣的目标状态(如经、纬度坐标)通过非线性滤波技术[14～17]估算出来。

建立潜器状态方程如式(6):

x(k+1)=F(k)x(k)+Γ(k)v(k)

(6)

其中

对于水下潜器定位的观测值取为地磁仪观测地磁异常

z(φ,λ)=Δg(φ,λ)

(7)

其中

z(φ,λ)为水下定位时将要采用的量测值,式(7)就是本文最终建立的量测方程。

式(7)与经、纬度坐标是一种非线性关系,本文在对潜器位置误差进行最优估计时采用的是经典的扩展卡尔曼滤波[18～20](EKF),因而需要对式(7)进行泰勒展开的线性变换。

将式(7)分别对φ,λ求导可得

(8)

其中

对式(7)进行泰勒展开并舍去泰勒展开高阶项,直接给出线性化后的量测方程如下:

z(φ(k),λ(k)) ≈H(k)x(k)+W(k)

(9)其中H(k)为线性化后的量测矩阵,W(k)为观测噪声。

由状态方程(6)及线性化后的量测方程(9)通过非线性滤波算法就可对目标的水下位置进行最优估计。

4 仿真分析

以2.2节给出的区域范围i为117°E-121°E,j为21°N-25°N,分辨率为2′×2′的地磁异常数据作为已知地磁基准图进行仿真分析。水下潜器初始位置为(21.5°,121.7°),北向和东向航速分别为9nmile/h和-5nmile/h,加速度都为1nmile/h2,整个仿真阶段取为150个采样点,采样间隔为3min,总航行时间为450min;地磁仪测量数据的仿真采用地磁异常数据加入测量噪声的方法,考虑到各种测量及地图误差,取一项白噪声作为滤波估计的误差噪声,这个综合值根据经验取为10nT2。采用50次的蒙特卡罗仿真,结果如图2～图5所示。

图2 地磁被动定位示意图

图3 定位放大示意图

图4 纬度误差示意图

图5 经度误差示意图

图2、图3为基于地磁观测值的水下被动定位示意图,由两图可以看出估计航迹在大部分的航行阶段都能较好地反映真实航迹,只是由于运动模式转换在航行转弯时有一定程度的波动,由以上分析我们可以得出结论:

表2 定位误差统计表(单位:海里)

1) 以观测地磁作为量测值是可以用来提取潜器位置坐标的,由图2、图3图的被动定位示意图可以看出,估计航迹在大部分的航行阶段都能较好地反映真实航迹,这说明文章建立的量测方程是有效的,通过非线性滤波算法对量测值中的目标位置信息进行最优估计,可实现潜器的被动导航与定位。

2) 图5、图6、表2给出的是地磁被动定位误差及统计结果,在450min的航行阶段最大纬度误差不超过6.68海里,平均纬度误差只有0.96海里,最大经度误差4.07海里,平均经度误差0.33海里,从以上数据及误差示意图可以得出结论,虽然经、纬度误差存在一定程度上的波动,但总体的定位误差已经不随时间积累,这使得该定位模式在水下可长期使用。

5 结语

被动定位在军事领域具有极高的应用价值,本文将该原理引入潜器的水下被动定位,首先基于二维高斯样条函数逼近的地磁场模型建立所需的量测方程,随后通过非线性滤波技术对水下潜器的位置坐标进行实时估计。该定位方法使用简单,无需使用传统的匹配算法,因而避免了匹配算法对潜器的初始环境以及惯导误差等的种种限制,最终的仿真结果证明,直接由实测地磁数据对水下潜器进行定位是可行的,且定位误差不随时间积累,另外随着海洋地磁测量精度的不断提高,最终的定位精度也必将得到进一步的提高。

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Underwater Geomagnetic Passive Location Based on the 2-D Gauss Spline Function

WANG Zhigang1,2GU Xuefeng3

(1. No. 91550 Troop of PLA, Dalian 116023) (2. Department of Weapon, Naval University of Engineering, Wuhan 430033) (3. Department of Science, Naval University of Engineering, Wuhan 430033)

As varies of matching algorithms have been used as the major methods for correcting the errors of INS on underwater geographic information, a new pattern of geomagnetic passive location which is based on 2-D Gauss spline function is given in this paper. Firstly, the algorithm to reconstruct the local grid geomagnetic base-map with the 2-D Gauss spline function is introduced, then by which the measured geomagnetic is expressed as continual analytical equation. Finally, the classical extended Kalman filter is introduced to estimate the target’s position with measured geomagnetic as measurement containing the information of target’s position. This method can be applied without using any matching algorithms, as a result it is free from the influence of the restriction by using these matching algorithms. Simulation is done on 0.2′×0.2′ geomagnetic anomaly database, and the simulation result proves that the mean error of analytic equation of local geomagnetic anomalies is less than 0.26nT, and the mean location errors in longitude and latitude are 0.96 and 0.33 sea mile respectively.

passive location, Gauss spline function, local geomagnetic field, matching algorithm

2015年1月13日,

2015年2月20日 基金项目:国家自然科学基金项目(编号:41201478,41374018);中国博士后科学基金项目(编号:2013M542533)资助。作者简介:王志刚,男,工程师,研究方向:水下匹配辅助导航与非线性滤波技术。顾雪锋,男,工程师,研究方向:非线性滤波技术与重力,地磁场匹配辅助导航。

P207

10.3969/j.issn1672-9730.2015.07.020