数列试题的精彩交汇

近几年高考与各省市模拟考试中一些富有时代气息的数列交汇性问题，有同一模块知识点的“小交汇”，如等差数列与等比数列相交汇在同一题中呈现，也有以数列为主体，横向联系其他知识模块、跨度较大的“大交汇”，如数列与函数、数列与三角函数、数列与方程、数列与不等式、数列与概率、数列与解析几何、数列与程序框图、数列与应用问题等知识相交汇的问题.此类问题大胆创新、构思新颖，难度中等，此时会涉及求数列的通项公式、数列的前n项和、数列的最值等问题.主要考查我们的理解能力和处理交汇性问题的能力.

1数列与函数的交汇

例1（2014·广元市模拟）已知数列{an}是递增的等差数列，a4，a6是函数f（x）=x2-7x+12的两个零点.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列{an2n}的前n项和Sn.

分析（1）先求出函数f（x）=x2-7x+12的两个零点，由数列{an}是递增的等差数列，可求出a4，a6的值，再利用等差数列的性质，求出首项与公差，从而写出数列{an}的通项公式；（2）利用错位相减法求数列{an2n}的前n项和.

解析（1）因为函数f（x）=x2-7x+12的两个零点分别为3，4，由题意得a4=3，a6=4.所以数列{an}的通项公式为an=12n+1.

（2）由（1），知an2n=n+22n+1，则Sn=322+423+…+n+12n+n+22n+1，所以12Sn=323+424+…+n+12n+1+n+22n+2，所以两式相减得Sn=2-n+42n+1.

方法点津求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确转化；对于函数的有关性质，主要利用函数的单调性或有界性来求解数列中的最值.但由于数列的通项是一类特殊的函数，所以借助函数的性质研究数列问题，一定要注意数列中的自变量只能取正整数这一特点.

此类交汇性问题的易错点有三处：一是不注意“题眼”而造成增解，如本题“数列{an}是递增的等差数列”中的“递增”两字未注意，导致求出的a4，a6的解有两种情形，从而产生增解；二是不注意“符号”而失分，如本题，用错位相减法求数列的前n项和，两和式相减时，一定要注意作差后最后一项的符号，我们常在此处出错，一定要小心；三是忽视“项数”而失分，对两式相减后的式子，常需用等比数列的前n项和公式求和，如本题中，12Sn=34+（123+124…+12n+1）-n+22n+2，用等比数列的前n项和公式求123+124…+12n+1时，应注意其项数是“n-1”，不要误以为项数是“n-2”或“n+1”.

变式1（2014·资阳市模拟）

已知函数y=log12nx（n∈N*）.

（1）当n=1，2，3，…时，把已知函数的图像和直线y=1的交点横坐标依次记为a1，a2，a3，…，an，….求证：a1+a2+a3+…+an<1；

（2）对于每一个n值，设An，Bn为已知函数图像上与x轴距离为1的两点，求证n取任意一个正整数时，以AnBn为直径的圆都与一条定直线相切，求出这条定直线的方程和切点坐标.

解析（1）原函数可化为y=-1nlog2x，得an=（12）n.所以a1+a2+a3+…+an=1-（12）n<1.

（2）因为An，Bn为已知函数图像上与x轴距离为1的两点，所以得An（2n，-1），Bn（2-n，1），所以|AnBn|=2n+12n.所以这条定直线为x=0，又圆心C（2n+2-n2，0）在x轴上，所以切点为（0，0）.

2数列与三角函数的交汇

例2（2014·攀枝花市模拟）已知函数f（n）=n2sinnπ2，且an=f（n）+f（n+1），求数列{an}的前2014项的和S2014.

分析分析sinnπ2的取值规律是1，0，-1，0，1，0，-1，0，…，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=a1+a3=12-32，同理可得后面连续四项的取值规律，这样可以求得a1+a3++…+a2013，同理可以求得a2+a4+…+a2014.

解析a1+a3+a5+…+a2013=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014），

a2+a4+a6+…+a2014=f（2）+f（3）+…+f（2014）+f（2015），

所以S2014=a1+a2+a3+a4+…+a2014=-4032.

方法点津分组求和是把数列之和分为几组，每组中的各项是可以利用公式（或其他方法）求和的，求出各组之和即得整体之和，这类试题一般有如下几种情况：（1）数列是周期数列，先求出每个周期内的各项之和，然后把整体之和按照周期进行划分，再得出整体之和；（2）奇偶项分别有相同的特征的数列（如奇数项组成等差数列、偶数项组成等比数列），按照奇数项和偶数项分组求和；（3）通项中含有（-1）n的数列，按照奇数项、偶数项分组，或者按照项为奇数、偶数分类求和.

变式2（2014·广汉市质检）已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，角B所对的边b=3，且函数f（x）=23sin2x+2sinxcosx-3在x=A处取得最大值.求△ABC的面积.

解析因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B=π3，A+C=2π3.

因为f（x）=23sin2x+2sinxcosx-3=2sin（2x-π3），

又函数f（x）在x=A处取得最大值，所以2sin（2A-π3）=2，

所以A=5π12，则C=π4.得c=2.又因为sin5π12=2+64，所以S△ABC=12bcsinA=3+34.

3数列与不等式的交汇

例3（2014·南充市模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn=4.

（1）求证：数列{an}是等比数列；

（2）是否存在正整数k，使Sk+1-2Sk-2>2成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

解析（1）由题意，知an+Sn=4，an+1+Sn+1=4，两式相减，得an+1=12an.

所以数列{an}是首项为a1=2，公比为12的等比数列.

（2）由（1）得an=2·（12）n-1，则Sn=4-22-n.

假设存在正整数k，使Sk+1-2Sk-2>2成立，即4-21-k-24-22-k-2>2，整理得1<2k-1<32，

因为k∈N*，这与2k-1∈（1，32）相矛盾，故不存在这样的正整数k.使已知不等式成立.

方法点津对于数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答此类问题的一般策略是：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得满足条件的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.

变式3（2014·广安市模拟）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an（an+2）4（n∈N*）.

分析由题意可得事件S8=2表示反复投掷硬币，其中出现正面的次数是5次，事件“S2≠0，S8=2”表示前两次全正或全负.

解析事件S8=2表示反复投掷硬币，其中出现正面的次数是5次，其概率为P=732，事件“S2≠0，S8=2”表示前两次全正或全负，则概率为P=13128，故选答案B.

方法点津此题以数列{an}及其前n项和考查了独立性重复试验事件的概率，解决本题的关键是正确理解事件Sn所表示的意义.

变式5（2014·佛山市模拟）A，B，C三人进行乒乓球比赛，优胜者按以下规则决出：（Ⅰ）三人中两人进行比赛，胜出者与剩下的一人进行比赛，直到出现两连胜者，则此两连胜者被判定为优胜者，比赛结束；（Ⅱ）在每次比赛中，无平局，必须决出胜负.

已知A胜B的概率是23，C胜A的概率是12，C胜B的概率是13，第一场比赛在A与C中进行，

（1）分别求出第二场、第三场、第四场比赛后C为优胜者的概率；

（2）记第3n-1场比赛后C为优胜者的概率为pn，第3n场比赛后C为优胜者的概率为qn，第3n+1场比赛后C为优胜者的概率为rn，n∈N*，试求pn，qn，rn.

解析（1）由题意知第二场比赛后C为优胜者的情况为（C胜A）→（C胜B）→C，故其概率为16；

由题意可知第三场比赛后C不可能为优胜者，故其概率为O；

由题意可知第四场比赛后C为优胜者的情况为（C负A）→（B胜A）→（C胜B）→（C胜A）→C，故其概率为136.

（2）第一场A与C的比赛结果分两种情况：

①A与C的比赛中C胜出，C如果要成为优胜者，接下来的比赛按如下进行：

（C胜A）→（C负B）→（B负A）→（A负C）循环n-1次→（C胜B）→C，（n∈N*，共3n-1场），

对n∈N*，以上比赛进行的概率为16·（29）n-1，此时C在第3n-1场比赛后成为优胜者；

②A与C的比赛中A胜出，C如果要成为优胜者，接下来的比赛按如下进行：

（C负A）→（A负B）→（B负C）→（C负A）→（A负B）循环n-1次→（B负C）→（C胜A）→C，（n∈N*，共3n+1场），

对n∈N*，以上进行的概率为12·（118）n，此时C在第3n+1场比赛后成为优胜者.

综上所述，C在第3n-1场或者第3n+1场比赛后能成为优胜者，在第3n场比赛后不能成为优胜者，所以pn=16·（29）n-1，qn=0，rn=12·（118）n，n∈N*.

6数列与解析几何的交汇

例6（2014·西昌市模拟）已知数列{an}中，a1=2，且点Pn（an，an+1）（n∈N*）在直线x-2y+1=0上，求数列{an}的通项公式.

分析由题意可得an和an+1的递推关系，再由此递推关系得到数列{an}的通项公式.

解析因为点Pn（an，an+1）（n∈N*）在直线x-2y+1=0上，所以an+1=12an+12.

设存在实数λ（λ≠0）使得an+1+λ=12（an+λ）成立，整理比较得λ=-1.

则an+1-1=12（an-1），所以数列{an-1}是以1为首项，12为公比的等比数列.故an=（12）n-1+1.

方法点津数列与圆锥曲线的交汇是近年高考命题的热点，引起交汇的主要是“点列”，“点”是解析几何的基本元素，而“列”是数列的基本特征.把两者结合起来，就会使数列有机会与解析几何问题形成交汇.解决“点列”问题的关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系或通项之间的关系，然后借助数列知识进行解决.

当然“点列”不仅仅是数列的相邻的两项可以作为点的坐标，和自然数有关的式子均可以作为“点列”，如（n，Sn），（n，an），（an，Sn），（an，an+1）等均可以作为“点列”，它们均可以为研究通项公式提供递推关系.但求解与曲线的切线相关的问题时，注意充分利用导数的几何意义.

变式6（2014·绵阳市模拟）在平面直角坐标系上有一点列P1（a1，b1），P2（a2，b2）.P3（a3，b3），…，Pn（an，bn），…，对每一个自然数n，点Pn（an，bn）在函数y=x2的图像上，且点Pn（an，bn），点A（n，0），点B（n+1，0）构成一个以点Pn（an，bn）为顶点的等腰三角形.

（1）求对每一个自然数n，以点Pn的纵坐标构成的数列{bn}的通项公式；

（2）令Cn=12bn-an+n，求C1+C2+C3+…+Cn的值.

解析（1）因为点Pn（an，bn）为等腰三角形的顶点，所以由|PnA|=|PnB|，可得an=n+12.

因为点Pn（an，bn）在函数y=x2的图像上，所以bn=n2+n+14.

（2）因为Cn=12bn-an+n=12n2+2n=12（1n-1n+1），所以C1+C2+C3+…+Cn=12（1-12+12-13+…+1n-1n+1）=n2n+2.

7数列与应用问题的交汇

例7（2014·成都市模拟）某旅游景点2013年利润为205万元，因市场竞争，若不开发新的项目，预测从2014年起每年利润比上一年减少10万元.2014年初，该景点一次性投入150万元开发新项目，预测在未扣除开发所投入资金的情况下，第n年（n为正整数，2014年为第1年）的利润为200（1+13n）万元.

（1）设从2014年起的前n年，该景点不开发新项目的累计利润为An万元，开发新项目的累计利润为Bn万元（需扣除开发所投入资金），求An，Bn的表达式；

（2）依上述预测，该景点从第几年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润？

分析（1）依题意可得An是等差数列的前n项和，Bn可由等差、等比数列的性质求解；（2）利用数列的单调性来解答.

解析（1）依题意，An是首项为195，公差为-10的等差数列的前n项和，

所以An=n（195+205-10n）2=200n-5n2.

因为数列{200（1+13n）}的前n项和为200n+100[1-（13）n]，所以Bn=200n-50-1003n.

（2）由（1）得Bn-An=5n2-50-1003n，易知{Bn-An}是递增数列.观察并计算知B3-A3<0，B4-A4=30-10081>0，

所以从第4年开始，开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计利润.

方法点津（1）此类问题的解题思路：仔细阅读所给材料，认真理解题意，将已知条件翻译成数学语言并转化为数学问题，分清是等差数列还是等比数列，是求通项问题还是求项数问题，或是求和问题等，并建立相应数学模型求解.（2）一般涉及递增率，要用等比数列，涉及依次增加或者减少，要用等差数列，有的问题是通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要向这些方面思考.

常见数列应用题模型的求解方法

（1）产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值y=N（1+p）n.

（2）银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y=a（1+r）n.

（3）银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y=a（1+nr）.

（4）分期付款模型：a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b=r（1+r）na（1+r）n-1.

变式7（2014·内江市模拟）小李2014年底花100万元买了一套住房，其中首付30万元，70万元采用贷款.贷款的月利率为0.5%，按复利计算，从贷款后的次月开始还贷，且每月等额还贷，10年还清.试求每月应还贷约为多少元？（参考数据：（1+0.005）120≈1.8）

解析设每月应还贷x元，共付款12×10=120（次），则有

x[1+（1+0.005）+（1+0.005）2+…+（1+0.005）119]=700000×（1+0.005）120，所以x≈7875.

所以每月应还贷约为7875元.

上述是其他的知识点与数列知识进行综合运用.命制出这样的知识点交叉的数学试题，不仅考查我们的数列相关知识的掌握情况，同时也考查了与之综合运用的其他数学知识，还能够考查一些在解决问题过程中灵活运用的数学思想方法.数学学习中的所谓“融会贯通”就是指将数学中不同的知识进行相互融合的能力，也是培养我们数学能力的一种重要手段.

作者简介毛仕理，男，1963年生，四川省特级教师，主持并参与国家，省、市级6个课题研究，其中两项教学成果获省市政府奖，出版教学专著五部，在《数学通报》、《中学数学杂志》等三十多学术期刊发表论文.