由奇函数定义扩展出的一系列性质及其应用

函数作为高中数学的核心知识，始终贯穿于整个高中数学的教学过程中，而对于函数性质的应用，更是历年高考中的常规考点.在函数的诸多性质中，不得不提到的一类特殊函数就是奇函数.由于奇函数有着独特的简洁而又优美的性质，在解题中，通过奇函数的图像特征，巧用奇函数的定义与性质，往往会发挥出意想不到的效果，就像一把开启智慧的钥匙，瞬间打开思维的大门.

我们首先一起回顾一下奇函数的定义：

定义一般地，如果对于函数y=f（x）的定义域A内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么称函数y=f（x）是奇函数.

由奇函数的定义可知，奇函数的图像都是关于原点对称的，故函数的最大值点关于原点的对称点就是该函数的最小值点，即函数的最大值和最小值互为相反数，由此可得：

性质1已知函数y=f（x）是定义在A上的奇函数，则函数的最大值f（x）max与函数的最小值f（x）min之间满足f（x）max+f（x）min=0.

例1已知函数f（x）=xcosx+sinxcosx+2+2（其中x∈[-8π，8π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m=.

分析学生拿到这道题的思路，首先是希望通过解析式，判断出函数在[-8π，8π]上的单调性，然后再根据单调性求出函数的最大值和最小值.但在实际操作时会发现，函数的表达式过于复杂，通过简单的求导是没有办法很快地判断出函数的单调性的.在这种情况下，我们就可以考虑用奇函数的性质来解决.根据题设条件中的定义区间[-8π，8π]是一个关于原点对称的区间，可以联想到函数奇偶性，通过证明可以很快得到，表达式中除去常数项所得的g（x）=xcosx+sinxcosx+2是一个奇函数，根据性质2可知，函数g（x）的最大值和最小值之和必为0，从而就可快速地求出原函数的最值之和.

解令g（x）=xcosx+sinxcosx+2，则f（x）=g（x）+2.因为g（-x）=（-x）cos（-x）+sin（-x）cos（-x）+2=-xcosx-sinxcosx+2=-xcosx+sinxcosx+2=-g（x），所以函数g（x）是[-8π，8π]上的奇函数，由奇函数的性质可知g（x）max+g（x）min=0，故M+m=f（x）max+f（x）min=[g（x）max+2]+[g（x）min+2]=g（x）max+g（x）min+4=4.

评注按照常规做法先判断函数单调性后再分别求出M、m是很困难的，而考虑到奇函数在对称区间上的最大值与最小值互为相反数这一性质，就可以巧妙地解决这个问题.

性质1主要是针对定义区间上的两个特殊点——最大值点和最小值点关于原点对称这一特征所得的结论，如果把这一性质推广一下，把这一对特殊点推广到奇函数上任意一对关于原点的对称点时，我们又可以发现，只要自变量关于原点对称，它们所对应的函数值也互为相反数.从而有：

性质2已知函数y=f（x）是定义在A上的奇函数，且a、b∈A，若a+b=0，则f（a）+f（b）=0.

证明已知a+b=0，即a=-b，因为函数y=f（x）是奇函数，所以f（a）=f（-b）=-f（b），即f（a）+f（b）=0.

例2已知f（x）=4x-12x+1-2x，若f（a）=2-1，则f（-a）=.

分析这类题目的常规思路是将已知的函数值f（a）直接代入函数解析式，求出其中未知量a，再进一步求解.但问题是，在求解未知量a的值的过程中，涉及的计算往往会很复杂，甚至在有的题中未知量不止一个，所给条件根本不足以解出未知量.这种情况下，常规思路就行不通了，此刻就需要发挥奇函数的作用了.通过观察题设条件，注意到题中出现了f（a）与f（-a）两个特殊的值，从而联想到函数的奇偶性，再观察、化简原函数f（x）=4x-12x+1-2x，则可以发现函数y=f（x）本身是一个奇函数，而且a与-a又是两个互为相反数，由此就可以应用奇函数的性质2来解决这个问题.

解将原函数化简可得f（x）=4x-12x+1-2x=12（2x-2-x）-2x，

因为f（-x）=12（2-x-2x）+2x=-f（x），所以函数y=f（x）是R上的奇函数.

由奇函数的性质可知f（a）+f（-a）=0，故f（-a）=1-2.

评注本题充分运用了奇函数的性质，不需要经过任何繁琐的计算，就可以简单而又快捷的求出了答案，并有效地避免了常规做法中所遇到的求解未知数a的问题，由此可见，合理的运用奇函数的性质来解题，最大的优点是避免了复杂的计算，简化了解题过程.

从性质2可知，在奇函数的定义区间中，任意两个互为相反数的自变量所对应的函数值之和必为0，那反之是否成立？根据函数的定义可知，对于定义域内的任意一个自变量x都有唯一的y与之对应，但同一个y却可以有多个x与之对应，所以对于定义在A上的奇函数y=f（x）而言，由a+b=0可以推出f（a）+f（b）=0，反之f（a）+f（b）=0不能得到a+b=0.但是如果能加上一定的条件，使函数的自变量与函数值之间能够一一对应，那反面就可以成立了.由此我们考虑了一类特殊奇函数——单调奇函数，可得：

性质3已知函数y=f（x）是定义在A上的单调奇函数，且a、b∈A，若a+b=0，则f（a）+f（b）=0；反之，若f（a）+f（b）=0，亦有a+b=0.

正面在性质2中已经证明，现在对反面进行简单证明.

证明由f（a）+f（b）=0得f（a）=-f（b），因为函数y=f（x）是奇函数，所以f（a）=-f（b）=f（-b），又因为函数y=f（x）在定义区间上是单调的，函数值与自变量之间是一一对应的，所以a=-b，即a+b=0.

例3已知α、β∈[-π4，π4]，a∈R，且α3+sinα-2a=0，4β3+sinβcosβ+a=0，则cos（α+2β）=.

分析这道题很容易从表面迷惑学生，认为它是一道考查三角运算的问题，但真正下手去做时，却发现除了可以利用二倍角公式将sinβcosβ化简为12sin2β之外，接下来三角的知识就毫无用武之地了.事实上，这个问题考查三角只是表面，真正隐藏在题目背后的却是函数的问题，从何而知？当我们用三角公式将4β3+sinβcosβ+a=0转化为4β3+12sin2β+a=0后，再进一步化简可得：（2β）3+sin2β+2a=0，这时，把两个等式α3+sinα-2a=0与（2β）3+sin2β+2a=0放在一起观察特征，可以发现有个共同的函数隐含在里面，即f（x）=x3+sinx，很容易知道这是一个奇函数，而且在区间[-π2，π2]上单调递增.再将原来的两个等式表示为f（α）-2a=0和f（2β）+2a=0，即f（α）=2a、f（2β）=-2a，就可以发现这两个函数值恰好互为相反数，从而就可以利用单调奇函数的性质来解决这个问题.

解将已知等式4β3+sinβcosβ+a=0变形为（2β）3+sin2β+2a=0，令f（x）=x3+sinx，则α3+sinα-2a=0与（2β）3+sin2β+2a=0可化为f（α）-2a=0和f（2β）+2a=0，即f（α）=2a、f（2β）=-2a.因为f（-x）=（-x）3+sin（-x）=-（x3+sinx）=-f（x），所以函数y=f（x）是[-π2，π2]上的奇函数.又因为f′（x）=3x2+cosx，当x∈[-π2，π2]时，f′（x）≥0恒成立，所以函数y=f（x）在[-π2，π2]上单调递增.由f（α）=2a、f（2β）=-2a可知f（α）+f（2β）=0，根据单调奇函数的性质可知α+2β=0，所以cos（α+2β）=1.

性质3主要反映了单调奇函数中任意一对关于原点对称的对应点之间所满足的一个等量关系.如果我们把研究对象从关于原点对称的对应点转变成非对称点时，那情况又会发生何种变化？为了更好的说明情况，不妨假设奇函数y=f（x）是定义域上的单调递增函数，点（a，f（a））、（b，f（b））是函数上任意两点，且a+b≠0，则产生两种情况，一种是a+b>0，另一种是a+b<0.结合单调递增的奇函数的图像可以发现，当a+b>0时，f（a）+f（b）>0；当a+b<0时，f（a）+f（b）<0；反之亦成立，即：

性质4已知函数y=f（x）是定义在A上的奇函数，且在A上单调递增，其中a、b∈A，当a+b>0时，有f（a）+f（b）>0，反之，当f（a）+f（b）>0时，a+b>0也成立；当a+b<0时，有f（a）+f（b）<0，反之，当f（a）+f（b）<0时，a+b<0也成立.

证明根据已知a+b>0，得a>-b，由函数在A上单调递增，可知f（a）>f（-b），又因为函数是奇函数，f（-b）=-f（b），所以f（a）>-f（b），即f（a）+f（b）>0.

另一方面，由f（a）+f（b）>0得f（a）>-f（b），因为f（-b）=-f（b），所以f（a）>f（-b），因为函数是单调增函数，所以a>-b，即a+b>0.

同理可证：当a+b<0时，有f（a）+f（b）<0，反之，当f（a）+f（b）<0时，a+b<0也成立.

性质4研究的对象是单调递增的奇函数，该性质在单调递减的奇函数中也是成立的，即：

性质4的延伸已知函数y=f（x）是定义在A上的奇函数，且在A上单调递减，其中a、b∈A，当a+b>0时，有f（a）+f（b）<0，反之，当f（a）+f（b）<0时，a+b>0也成立；当a+b<0时，有f（a）+f（b）>0，反之，当f（a）+f（b）>0时，a+b<0也成立.

例4解不等式x3+3x+8（x+2）3+6x+2<0.

分析这个不等式用常规方法去解，是没办法解决的，因为如果将不等式进行通分，就涉及到解6次的不等式，很显然这已经完全超出了高中知识的范畴.但是通过观察，很容易发现一个规律，不等式中的8（x+2）3+6x+2，可以转化成与前面x3+3x相仿的形式，即（2x+2）3+3（2x+2），这就是这个问题的突破口，这里同样涉及到了一个单调奇函数f（x）=x3+3x，通过性质3就可以把复杂的不等式进行简化，从而解出不等式.

解令f（x）=x3+3x，则f（-x）=（-x）3+3（-x）=-（x3+3x）=-f（x），且f′（x）=3x2+3≥0恒成立，所以函数y=f（x）是奇函数且在R上单调递增.将原不等式化简为x3+3x+（2x+2）3+3（2x+2）<0，即f（x）+f（2x+2）<0，因为函数y=f（x）是奇函数且在R上单调递增，所以根据性质得x+2x+2<0，即x2+2x+2x+2<0，所以原不等式的解集为{xx<-2}.

评注高次不等式是解不等式中的难点，在这个问题中，我们合理地运用了单调奇函数的性质，把高次不等式转化成了可以进行求解的分式不等式，从而快速地解决了问题，在这个问题中，充分体现出利用奇函数的性质解题的优点.

上面的几个性质研究对象是奇函数，现在如果对奇函数做一个平面移动，打破原函数的奇偶性，但不改变图像的对称性，又能得到什么？我们把性质3中的单调奇函数的图像进行整体平移，将原来的对称中心由（0，0）平移到直角坐标系中任意一点（m，n），得到新的单调函数y=g（x）.在性质3中，我们研究的是单调奇函数y=f（x）上两个关于原点（0，0）对称的点（a，f（a））、（b，f（b））之间的关系.现在相应的在单调函数y=g（x）上也取两个关于对称中心（m，n）对称的点（a，g（a））、（b，g（b）），则a、b之间满足条件a+b=2m，g（a）、g（b）之间满足条件g（a）+g（b）=2n，则可以推出下面结论：

性质5已知函数y=g（x）是定义在A上的单调函数，且关于点（m，n）对称，取a、b∈A，若a+b=2m，则g（a）+g（b）=2n；反之，若g（a）+g（b）=2n，亦有a+b=2m.

证明因为函数y=g（x）关于点（m，n）对称，所以x∈A，都有g（x）+g（2m-x）=2n成立，令x=a，则g（a）+g（2m-a）=2n.因为a+b=2m，即2m-a=b，所以g（a）+g（b）=2n成立.

反之，因为函数y=g（x）关于点（m，n）对称，所以必然有g（a）+g（2m-a）=2n，又因为g（a）+g（b）=2n，所以g（2m-a）=g（b），因为函数y=g（x）是定义在A上的单调函数，所以函数值与自变量之间是一一对应的，故2m-a=b，即a+b=2m成立.

例5已知函数f（x）=x-2x-1+2，是否存在实数a，使得f（3a-x）+f（x-a）=6，对定义域内任意x都成立.

分析这个问题如果直接代入求解，很显然是行不通的.这时需要对解析式做个变换，转化为f（x）=（x-1）-2（x-1）+3，就可以发现，这个函数是将一个单调奇函数g（x）=x-2x向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到，所以函数y=f（x）关于点（1，3）对称，再根据性质就可得出结果.

解将函数转化为f（x）=（x-1）-2（x-1）+3，令g（x）=x-2x，因为g（-x）=（-x）-2（-x）=-（x-2x）=-g（x），且g′（x）=1+2x2≥0恒成立，所以函数g（x）是单调奇函数.通过图像平移的知识可以知道，函数y=f（x）是由函数y=g（x）向右平移1个单位，再向上平移3个单位而得，所以函数y=f（x）是一个单调函数，且关于点（1，3）对称.根据性质，当f（3a-x）+f（x-a）=6=2×3成立时，有（3a-x）+（x-a）=2，即a=1.

奇函数的性质有很多，本文呈现的只是其中很有限的一部分.通过这一部分，能够很好地看出，熟练掌握奇函数的性质，根据不同的问题，灵活的选用性质来解题，往往能够开阔我们的解题思路，优化我们的解题过程.让学生通过认真审题，学会从题中挖掘奇函数的特征，探究问题的实质，寻找恰当的解题思路，更快、更好地去解决问题.本文只是对奇函数的性质进行简单的探索，抛砖引玉，希望给读者一些启发.

作者简介杜飞飞，女，1981年10月生，江苏海门人.主要研究初等数学教学.