浅谈证明不等式的方法

钟劲松

1构图法的历史

构图法，即构造几何图形，利用几何图形的性质来帮助说明不等式.构图法出现已经有很长的历史，可以追溯到十二世纪的古代中国，希腊和印度.一些数学家认为构图法不是一种严格的证明，构图法对于实际证明毫无价值，证明有且只有一种方式——推理，构图证明是不能够接受的.但还有一部分数学家认为，数学不仅是逻辑的，还是图形的，作为数学教育工作者，必须把培养学生的想象能力作为重要的能力之一.数学教育家波利亚指出画图帮助理解题意，被认为是经典的教育学建议.爱因斯坦和庞加莱都认为，我们应该利用好我们的直觉；美国数学家加德纳指出，许多情形下，一个平淡的证明加上一个几何类似图形，使得证明更加简单和漂亮，定理的准确性立见.所有的这些，都说明了构图法对帮助证明的重要性.

2几个不等式的构图说明

高中数学选修模块45《不等式选讲》中的不等式主要有：基本不等式，绝对值不等式，平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，贝努利不等式.中学阶段很多不等式的证明可以利用构图法来理解，下面列举几个不等式的构图.

2.1不等式a+b2≥ab（a，b为正数）的构图

不等式表明：两个正数的算术平均数a+b2不小于它们的几何平均数ab，即a+b2≥ab（a，b为正数），教材中一般构造如下的几何图形来加强理解.

图1图2如图1所示，在正方形ABCD中，有S△ABC+S△AFM-S矩形ABEF≥0，即a2+b2≥a·b，所以a+b2≥ab.基本不等式的另一种构图，如图2所示，把半径不等的两圆水平放置，且都与直线AB相切，两圆外切，有OF=a+b2，OE=a-b2.在直角三角形OEF中，利用勾股定理可知EF=ab，因为OF>EF，所以a+b2≥ab.图1～2都说明了不等式a+b2≥ab的几何意义，并且能直观地感知当且仅当“a=b”时“=”成立.

2.2不等式2aba+b

如图3所示，M为圆A外一点，MA与圆A分别相交于P、Q两点，MG，MR分别为圆A的切线和割线，PM=a，QM=b，a>b>0，则有HM

2.3不等式xr-1>r（x-1）的构图

当n为正整数，x>-1时，（1+x）n≥1+nx成立，称为贝努利不等式（Bernoulli inequality），其证明方法通常有数学归纳法和利用二项式定理进行放缩.但形如xr-1>r（x-1）的不等式，不能采用类似于证明贝努利不等式的方法进行证明，可采用构图法帮助证明.构造如图4所示的图形，在同一坐标系中分别作出函数y=xr-1和y=r（x-1）的图象，函数y=xr-1为经过（1，0）点的凸函数，函数y=r（x-1）的图象是斜率为r，经过点（1，0）的直线，且直线y=r（x-1）与y=xr-1的图象相切，切点为（1，0）.因此，当r>1，x>0，x≠1时，不等式xr-1>r（x-1）恒成立.

2.4不等式ab

构图来帮助证明分布在数学中的各个方面，如代数，几何，三角，微积分和动态几何，不等式，数列，排列、组合等等.数学上许多的定理和概念，都可以用优美、简洁的图形来表示.老师们应该在平时教学中多注意总结，设计更多的图来帮助学生直观地理解数学知识，学好数学，让数学变得更为直观.