矩阵在数学计算中的应用

于荣格，江瑞

（沧州师范学院数学系，河北 沧州 061001）

行列式和矩阵在高等代数中占据着非常重要的地位，笔者给出矩阵在高等代数的三类不同计算中的应用。

1 计算由几个向量所生成的子空间的维数

例1：

在P4中求由向量 生成的子空间维数，

其中：

解

矩阵A的秩为3，所以由向量 生成的子空间维数为3。

2 利用矩阵的秩来判定一个方程组是否有解

由[1]中的第四章，我们有下面的定理

引理 1［1］:

（线性方程组可解的判别法）线性方程组

有解的充分且必要条件是：

它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。

根据此定理我们可以判断一个方程组是否有解。

例2：

秩：

所以，由引理1知方程组有解。

3 通过对二次型的矩阵进行合同变换将二次型化成标准形

定义 1［2］：

数域P上n×n矩阵A,B称为合同的，如果有数域P上n×n矩阵C，使

用初等变换把二次型的矩阵化为对角矩阵，为了保证所得的矩阵与原矩阵合同，我们要成对地进行初等变换，即作一次初等行变换后必须作一次相同的列变换。

设二次型 。对2n×n矩阵进行初等变换，将A化成对角形，并且保证了合同关系。

如果

例3：

解：

二次型 的矩阵为

用合同变换将A化为对角形

［1］ 张 禾瑞，郝 新.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，1983.

［2］ 北 京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2003.