基于非均匀线阵的压缩感知波达方向估计

刁 鸣，高 璐，高洪元，冯平辉

（1.哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，哈尔滨 150001；2.国家电网浙江省电力公司，杭州 310000）

基于非均匀线阵的压缩感知波达方向估计

刁 鸣1，高 璐1，高洪元1，冯平辉2

（1.哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，哈尔滨 150001；2.国家电网浙江省电力公司，杭州 310000）

为提高压缩感知波达方向估计的阵列利用率，提出一种基于非均匀线阵的正交匹配追踪（OMP）算法。根据来波方向的大致范围，分别利用等角度方式和等正弦方式将空间角度划分成若干份，使用非均匀线阵作为信号的接收阵列，并将经过角度划分的非均匀线阵阵列流形阵作为观测矩阵，采用观测矩阵对信号进行投影测量得到维数较低的观测值，从观测值中重构原信号，进而得到待估计信源的方位信息。仿真结果表明，与多重信号分类（MUSIC）算法相比，该算法所需快拍数小、抗噪能力强、阵列利用率高，与均匀线阵条件下的OMP算法和基于空间平滑的MUSIC算法相比，具有更高的测角分辨力和更强的解相干能力。

非均匀线阵；正交匹配追踪；压缩感知；波达方向估计；阵列利用率；测角分辨力

DO I：10.3969/j.issn.1000-3428.2015.10.016

1 概述

波达方向（Direction of Arrival，DOA）估计作为阵列信号处理的重要分支，正处于如日中天的发展之中。最早基于阵列的DOA估计算法为常规波束形成（Conventional Beam forming，CBF）法［1］，这种算

法的方位估计精度较低，无法分辨一个波束宽度内不同的空间信号。以多重信号分类（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法［2］为代表的子空间分解类算法利用阵列接收数据的信号子空间与噪声子空间相互正交的特点构造空间谱函数，实现了超分辨DOA估计。然而这类算法需要借助空间平滑（Spatial Smoothing，SS）［3］等算法才能实现相干信源的DOA估计，这种解相干算法严重地损失了阵列孔径，极大地降低了算法的估计精度，且需要较长时间的持续采样，即所需快拍数较大。以极大似然（Maximum Likelihood，ML）算法［4］为代表的子空间拟合类算法能够直接对相干信源进行DOA估计，且不会损失阵列孔径，然而这类算法的本质是寻找非线性函数最优解的过程，需要进行多维搜索，运算量巨大、耗时长。

上述传统DOA估计算法大多是在均匀线阵的条件下研究的，要想扩展阵列孔径，提高算法的空间测角分辨力，只能增加阵元数，这会造成工程成本急剧增大。非均匀线阵（Non-uniform Linear Array，NLA）能够在不增加阵元数的条件下充分地扩展阵列孔径，然而非均匀线阵会导致上述解相干算法失效。

近几年出现的压缩感知［5-7］（Compressing Sensing，CS）理论提出了一种新颖的信号采样思想。该理论指出对于某个变换域内的稀疏信号均可用低于Nyquist采样频率对信号进行采样，并利用重构算法实现信号的精确重构［8-10］。实际上，在 DOA估计的整个观测空间中仅存在少量感兴趣信号，即目标在空间上是稀疏分布的，因此，可将压缩感知理论应用于DOA估计中。

压缩感知DOA估计算法大致可以分为3类：以基追踪算法为代表的凸优化算法，以链式追踪算法为代表的组合优化算法以及以正交匹配追踪算法为代表的贪婪算法。这3类算法各有优缺点：凸优化算法具有较高的重构精度，但是计算量巨大且容易出现能量从低尺度到高尺度的搬移现象。组合优化算法能够更加快速便捷地重构信号，但是其重构精度较低。而以正交匹配追踪算法为代表的贪婪算法［11-12］利用冗余字典中若干元素的线性组合表示信号，通过迭代找到与信号最匹配的元素来逼近信号，逐渐降低估计信号和原始信号的残差，从而实现信号的精确重构。正交匹配追踪算法兼顾了估计精度和运算速度，应用较为广泛。

目前，大部分针对压缩感知DOA估计的研究都是在均匀线阵（Uniform Linear Array，ULA）的条件下进行的［13-15］。 以上述研究为基础，为了充分地扩展阵列孔径，提高算法的测角分辨力，本文提出一种基于非均匀线阵的正交匹配追踪算法（NLA-OMP）。

2 信号模型和压缩感知的基本原理

2.1 信号模型

固定M元均匀线阵的阵列孔径，阵元间距为入射信号波长的一半，随机去掉若干个阵元，得到与M元均匀线阵等价的m（m＜M）元非均匀线阵。当n个远场窄带复信号矢量 S（t）=［s1（t）s2（t）…sn（t）］T分别从方向（θ1θ2…θn）入射到上述非均匀线阵上时，m个阵元在t时刻的接收信号矢量表达式X（t）为：

其中，矩阵 A为 m×n维非均匀线阵阵列流型阵；N（t）为n×1维加性零均值高斯白噪声矢量，且：

其中：导向矢量 a（θn）如下：

其中，i=1，2，…，n；dk（2≤k≤m）为第k个阵元到参考阵元的距离。

2.2 压缩感知基本原理

其中，α为对应的系数矩阵，则信号S为ψ域上的稀疏信号。利用l×n（l＜＜n）维观测矩阵Φ对稀疏信号S进行投影测量，得到维数较低的观测值向量y，则：

其中，ξ为加性零均值高斯白噪声向量；Θ为感知矩阵。此时，仅需从观测值向量y中重构系数 α即可完成信号S的精确重构。当感知矩阵Θ满足约束等容（Restricted Isometry Property，RIP）条件［13-14］时，可通过求解y的最优l0范数来重构系数α。为了降低计算量，许多学者研究表明，可以通过匹配追踪等算法精确地重构原信号。

3 基于非均匀线阵的正交匹配追踪算法

非均匀线阵阵列流形阵形式较为固定，且各个导向矢量之间具有一定的正交性，可作为观测矩阵。

正交性越大，越能精确地重构原信号。将2.1节中的M元均匀线阵的阵列流形阵记为矩阵，则在经过角度划分的整个观测空间中：

其中，b=1，2，…，β。在此经过角度划分的观测空间中将与上述均匀线阵等价的m元非均匀线阵阵列流形阵A更新为：

其中，dk（2≤k≤m）为第 k个阵元与参考阵元的间距。

利用观测矩阵对信号 S进行降维处理，得到观测值。通过计算观测矩阵的各个列向量与当前观测值的内积，找到与当前观测值最匹配的列向量；去掉该列向量并更新观测矩阵，继续在观测矩阵中选择与当前残差最匹配的列向量。ULA-OMP算法仅利用了非均匀线阵的阵列形式和其扩展阵列孔径的能力，不涉及非均匀线阵的其他性质，因此，所提算法能够实现非均匀线阵条件下相干信源的波达方向估计。

总结ULA-OMP算法步骤如下：

（1）根据待测信源角度范围将空间角度均匀划分成为 β份。

（2）利用m元非均匀线阵接收 β×1维的 n稀疏信号S，将非均匀线阵阵列流形阵A的导向矢量扩充为 β个。

（3）将A作为观测矩阵 Φ，对信号 S进行投影测量，得到信号的观测值y=AS+ξ，初始化残差向量r0=y。

（4）将A中每一个列向量记作一个原子，计算每个原子与残差的内积，记录内积最大值时所对应的原子序号：

更新原子集合 Δg=Δg-1∪｛a（μf）｝以及原子序号索引集合Ωg=Ωg-1∪｛f｝，其中，g为迭代次数。

（5）利用最小二乘法得到逼近信号：

（6）更新残差rg=y-ΔgSg，g=g+1。

（7）判断迭代次数g与信号稀疏度n的关系，若g＜n则返回步骤（4），若 g≥n，则输出信号谱峰对应的空间网格，即为入射信源的方位估计值

4 实验结果与分析

实验1 独立信源DOA估计成功概率

独立信源分别从7°和13°的方向入射到5阵元非均匀线阵上，入射信号波长为λ，非均匀线阵阵元摆放位置为噪声为零均值高斯白噪声，噪声与信号相互独立，扫描间隔为0.1°。当快拍数为50时，分别在上述非均匀线阵和5阵元均匀线阵的条件下利用OMP算法和MUSIC算法对独立信源进行DOA估计，蒙特卡罗实验次数为500次。

图1为上述算法对独立信源进行DOA估计的成功概率（成功概率单位为1）。其中，NLA-OMP为本文所提基于非均匀线阵的OMP算法；ULA-OMP为均匀线阵条件下的OMP算法；ULA-MUSIC为均匀线阵条件下的MUSIC算法；NLA-MUSIC为非均匀线阵条件下的MUSIC算法。

图1 独立信源DOA估计的成功概率

仿真实验结果表明，ULA-MUSIC算法和NLAMUSIC算法均需要较高的信噪比才能得到较大的成功概率。当信噪比降低到5 dB时，ULA-MUSIC算法完全失效，NLA-MUSIC算法的估计成功概率降低到0.7以下。当信噪比降低到3 dB时，ULA-OMP算法的成功概率降低到0.9以下，NLA-OMP算法的成功概率仍能达到0.9以上，明显高于其他3种算法。可见，在上述4种算法中，NLA-OMP算法在低信噪比的条件下处理独立信源时具有最高的测角分辨力。

实验2 小快拍、大阵列孔径独立信源DOA估计成功概率

图2为当快拍数较小、阵列孔径较大时，上述算法对独立信源进行DOA估计的成功概率。

图2 小快拍、大阵列孔径独立信源DOA估计的成功概率

当快拍数较小时，ULA-MUSIC算法即使在高信噪比条件下估计成功概率依然在0.7以下。NLAMUSIC算法由于获得了较大的阵列孔径，当信噪比达到12 dB时能够获得0.9以上的估计成功概率。当信噪比降低到2 dB时，ULA-MUSIC算法和NLAMUSIC算法均失效。此时，ULA-OMP算法能够实现独立信源的DOA估计，但其成功概率仅能达到0.7，而NLA-OMP算法由于充分扩展了阵列孔径，成功概率能够达到0.9以上。可见由于获得了更大的阵列孔径，NLA-OMP算法在小快拍数、低信噪比的恶劣条件下仍能以较高的成功概率估计独立信源的方位信息。

实验3 相干信源DOA估计成功概率

相干信源分别从6°和11°的方向入射到5阵元非均匀线阵上，入射信号波长为λ，非均匀线阵阵元摆放位置为噪声为零均值高斯白噪声，扫描间隔为0.1°。当快拍数为50时，分别在上述非均匀线阵和5阵元均匀线阵的条件下利用OMP算法进行DOA估计。由于SS-MUSIC算法仅适用于均匀线阵，因此分别在5阵元的均匀线阵以及与上述与非均匀线阵等价的12阵元均匀线阵条件下对相干信源进行 DOA估计。蒙特卡罗实验次数为500次。

图3为上述算法对相干信源进行DOA估计的成功概率。其中，ULA-SS-MUSIC（5）为5阵元均匀线阵条件下的基于空间平滑的MUSIC算法；ULASS-MUSIC（12）为12阵元均匀线阵条件下的基于空间平滑的MUSIC算法。由图3可知，由于空间平滑算法严重损失了阵列孔径，即使在高信噪比的条件下ULA-SS-MUSIC（5）算法仍然完全失效。ULASS-MUSIC（12）算法通过大量增加阵元数，实现了高信噪比条件下相干信源的DOA估计，但其成功概率较低，可见这种以损失阵列孔径为代价的解相干算法严重地降低了算法的测角分辨力。当信噪比达到12 dB时，ULA-OMP算法的成功概率能够达到0.9以上，但当信噪比降低时，该算法的成功概率急剧下降，NLA-OMP算法在4 dB时成功概率就能达到0.9以上，可见NLA-OMP算法在低信噪比的条件下处理相干信源时仍有较好的DOA估计性能。

图3 相干信源DOA估计的成功概率

实验4 小快拍相干信源DOA估计成功概率

实验3的条件不变，当快拍数为15时，对实验3中的信号进行DOA估计。

图4为快拍数较少时，上述算法对相干信源进行DOA估计的成功概率。由图4可知，ULA-SSMUSIC（5）算法ULA-SS-MUSIC（12）算法完全失效；ULA-OMP算法在信噪比达到16 dB时，成功概率才能达到0.9以上，而NLA-OMP算法在信噪比为9 dB时，成功概率能达到0.9以上，可见，本文所提算法能够在小快拍数、低信噪比的恶劣条件下以高概率精确重构相干信号并实现相干信源的DOA估计。

图4 小快拍数相干信源DOA估计的成功概率

5 结束语

本文提出一种基于非均匀线阵的正交匹配追踪算法。该算法利用非均匀线阵作为接收阵列，并将观测矩阵更新为经过角度划分的非均匀线阵阵列流形阵。仿真结果表明，与均匀线阵条件下的 SSMUSIC算法和OMP算法以及非均匀线阵条件下的MUSIC算法相比，该算法具有更高的测角分辨力、抗噪能力和解相干能力，实现了非均匀线阵条件下相干信源的DOA估计。然而该算法仍存在一定的改进空间，如在阵元数不变的情况下，如何设计阵元的摆放方式，得到固定条件下压缩感知DOA估计性能最优的阵列结构，从而进一步提高压缩感知DOA估计的阵列利用率。

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编辑 刘 冰

Direction of Arrival Estimation Using Com pressed Sensing Based on Non-uniform Linear Array

DIAO Ming1，GAO Lu1，GAO Hongyuan1，FENG Pinghui2
（1.College of Information and Communication Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China；2.State Grid Zhejiang Electric Power Corporation，Hangzhou 310000，China）

In order to improve the array utilization rate of Direction of Arrival（DOA）estimation using Com pressing Sensing（CS），this paper proposes an Orthogonal Matching Pursuit（OMP）algorithm based on Non-uniform Linear Array（NLA）.For the proposed algorithm，the observation space which is divided into a plurality of parts according to the rough range of DOA by using uniform angle division and uniform sine division.It uses the NLA to accept the signal，and makes the angle divided NLA manifold as measuring matrix.It projects and measures the signal with measuring matrix to achieve the observation value which has lower dimension，reconstructs the sparse signal and estimates the DOA from the observed values.Simulation results show that this algorithm needs fewer number of snapshots，achieves excellent antinoise performance，and gets higher array utilizable rate com pared with Multiple Signal Classification（MUSIC）algorithm. It also achieves higher angular resolution and the ability of dealing with coherent sources compared with OMP algorithm and MUSIC algorithm based on Spatial Smoothing（SS）under the Uniform Linear Array（ULA）.

Non-uniform Linear Array（NLA）；Orthogonal Matching Pursuit（OMP）；Compressing Sensing（CS）；Direction of Arrival（DOA）estimation；array utilization rate；angular resolution

刁 鸣，高 璐，高洪元，等.基于非均匀线阵的压缩感知波达方向估计［J］.计算机工程，2015，41（10）：83-87.

英文引用格式：Diao Ming，Gao Lu，Gao Hongyuan，et al.Direction of Arrival Estimation Using Com pressed Sensing Based on Non-uniform Linear Array［J］.Computer Engineering，2015，41（10）：83-87.

1000-3428（2015）10-0083-05

A

TN911.7

国家自然科学基金资助项目（61102106）；中央高校基本科研业务费基金资助项目（HEUCF140809）；中国博士后科学基金资助项目（2013M 530148）；黑龙江省博士后科学基金资助项目（LBH-Z13054）。

刁 鸣（1960-），男，教授、博士生导师，主研方向：移动通信，阵列信号处理；高 璐，硕士研究生；高洪元，副教授；冯平辉，助理工程师。

2014-11-04

2014-12-01E-mail：gaolu-hrbeu@foxmail.com