公平理论参考下的供应链契约

杨兴林，仇民才

(江苏科技大学经济管理学院，江苏镇江212003)

自1985年Pastemack提出供应链协调概念以来，学者们对供应链契约进行了深入的研究，相继提出了回购契约、收益共享契约、数量弹性契约、保险契约等.在传统的供应链契约研究中都假设决策者是完全理性的，但行为研究通过大量博弈实验发现，人的公平关切是普遍、客观存在的.因此，在决策者做出企业决策时势必也会受到其公平关切行为的影响.文献［1］研究发现在群体中，人们会将自己的收益与别人的收益进行比较，当收益低于或高于他人收益时，会产生嫉妒负效用或内疚负效用，并在此基础上建立了F-S模型.文献［2］进一步将不公平厌恶分为“不利不公平厌恶”和“有利不公平厌恶”两种情形，构建了以供应商利润为决策参考点的零售商效用函数，研究了当零售商具有不公平厌恶行为时，批发价格契约对供应链的协调效果.文献［3］对F-S模型进行了修正，研究了考虑公平关切的制造商的收益分享与供应商质量投入的关系.文献［4］在F-S 模型基础上构建了鲜活农产品供应链模型.研究发现:零售商的公平关切因素能够影响其订货量和供应商的批发价格决策，从而影响供应链成员利润.

文献［5］将公平关切行为引入报童模型研究其对批发价格契约的影响，发现当市场需求为确定性需求时，批发价格契约可以协调具有公平偏好成员组成的供应链.文献［6-7］进一步将文献［5］的研究推广到非线性指数函数需求情形、信息不对称情形下的供应链生产决策及协调情况.文献［8］研究发现通过简单的批发价格契约就可以协调幂函数需求模式下的供应链.文献［9］研究发现采取公平关切行为可提高供应链效率、增加销售商利润.文献［10］研究发现在批发价格契约下，公平关切会使零售商最优决策更加偏离系统最优;在回购契约和收益共享契约下，公平关切不会影响零售商最优决策，供应链依旧可以实现协调.文献［11］研究得出零售商公平关切行为对供应链定价策略、收益及废旧品回收量有直接影响.以上文献在考虑公平关切行为时都将对方利润作为己方利润的决策参考点，而文中在公平理论参考下引入了新的决策参考点，因而研究结果有所不同.

上述文献在考虑公平关切行为时，采取的决策参考点都是绝对的收益公平，但是在现实情况下，公平是具有相对性的.1965年亚当斯提出的公平理论认为人们总会自觉或不自觉地将自己付出的劳动代价及其所得到的报酬与他人进行比较，并对公平与否做出判断.同样，企业作为社会人，在企业与企业之间进行生产活动时，也会将收益投入比进行比较以此判断是否公平.因此，文中以一个供应商和一个零售商组成的Stackelberg博弈模型为研究对象，以亚当斯提出的公平理论为基础，将公平决策参考点设为投资收益比，并在此基础上构建公平效用函数，研究报童的决策及供应链契约的协调情况.

1 模型假设

考虑一个由公平关切的供应商和公平关切的零售商构成的销售单周期产品的两级供应链模型，交易过程中信息是完全对称的.销售季开始前，零售商根据对市场需求的预测向制造商订购q单位产品.市场需求D是随机变量，其密度函数和累积分布函数分别记为f(x)和F(x)，且f(x)和F(x)均大于零.供应商以单位成本c提供产品，以批发价格w向零售商供货，零售商的零售价格为p.每单位产品的缺货成本为h，未卖出单位产品的残值为s.其中0＜s＜c＜w＜p且0＜h＜w.文中π表示期望收益，L表示订货量偏离市场需求而产生期望损失，U表示效用.上标* 表示最优值，下标s，r，sc，i分别表示供应商、零售商、供应链以及保险契约.

文中在考虑公平关切特性时参考文献［10］，认为供应链成员在面对同等损失与收益时敏感度是一样的.不同于其他研究将对方获取的收益作为自己收益的参考点，文中参考公平理论中对公平的解释，认为公平是个体对自己和参照对象的报酬和投入比例的主观比较感觉，因此没有考虑供应链双方投资成本的参考点缺乏公平性，而将参考点设为投资收益比更能体现公平性.

公平关切零售商的效用函数为:Ur=πr+βr(θr－θs)wq.

公平关切供应商的效用函数为:Us=πs+βs(θs－θr)cq.

式中:β＞0，βr和βs分别为零售商、供应商的公平关切系数分别为零售商、供应商的投资收益比.

2 公平中性下的供应链模型分析

2.1 集中式供应链模型

在集中模式下，供应商和零售商组成整体集中化决策系统，假设其为公平中性.供应链的期望收益为:

假设供应链是公平中性的，因此供应链的期望效用为:

通过计算发现供应链期望效用Usc对q的二阶导小于零，可得供应链最优订货量为:

2.2 批发价格契约下的供应链模型

在批发价格契约下，零供双方作为独立的决策主体，均以自身利润最大化为决策目标，双方进行Stackelberg博弈:供应商先决定批发价格w，零售商根据w决策订货量q.

零售商、供应商的期望收益分别为:

假设零售商、供应商都是公平中性的，因此零售商、供应商的期望效用分别为:

解得，零售商的最优订货量为

作为Stackelberg博弈领导者的供应商的最优批发价格为:

简单分析，可知公平中性下，零售商最优订货量低于供应链系统最优订货量，即批发价格契约下供应链系统不能达到系统最优.

3 公平关切下的供应链模型分析

3.1 批发价格契约下的供应链模型

考虑公平关切行为后，零售商、供应商的期望收益分别为:

公平关切零售商的效用函数为:

公平关切供应商的效用函数为:

式中β＞0，βr和βs分别表示零售商、供应商的公平关切系数;分别为零售商、供应商的投资收益比.

为了保证零售商与供应商之间能够达成交易，必须保证Ur＞0，Us＞0，否则无研究意义.

求得零售商的公平关切系数βr除了满足β＞0外还应该满足以下关系式:

1)当w2－cp=0时

2)当w2－cp＞0时

3)当w2－cp＜0且(pc－w2)q－cL(q)≥0时，βr取任意值.

4)当w2－cp＜0且(pc－w2)q－cL(q)＜0时

供应商的公平关切系数βs除了满足β＞0外还应该满足以下关系式:

1)当w2－cp≥0时，βs取任意值.

2)当w2－cp＜0且(pc－w2)q－cL(q)≤0时，βr取任意值.

3)当w2－cp＜0且(pc－w2)q－cL(q)＞0时

作为Stackelberg博弈主方的供应商的最优批发价格为:

简单分析可得:集中情形下的供应链系统的最优订货量大于分散情形下零售商的最优订货量，即，也就是说分散情形下的供应链系统未达到系统最优;公平关切零售商的最优订货量小于公平中性零售商的订货量，即

通过进一步探究公平关切系数、批发价格与零售商订货量的关系，发现如下性质:

性质1 零售商的最优订货量随着供应商批发价格的增加而减少

证明:令F(q*r)=y

由反函数求导定理、复合函数求导定理可得:

性质2 零售商的最优订货量随其公平关切系数的增加而减少.

证明:同样由反函数求导定理、复合函数求导定理可得:

研究发现，在批发价格契约下零售商的最优订货量小于供应链系统最优订货量，且随着零售商公平关切系数的增加，其最优订货量越来越偏离系统最优订货量.为了使供应链能够协调，考虑供应商采取保险契约来使得零售商的最优订货量等于供应链系统最优订货量.

3.2 保险契约下的供应链模型分析

保险契约主要包括2个参数，一个是保费T，即在销售季开始前零售商向制造商支付一定的费用以换取在销售季结束后制造商与零售商分担一定的损失;另一个是损失分担比例φ，即销售季结束后供应商分担零售商损失的比例.

引进保险契约后，零售商、供应商的期望收益分别为:

此时，公平关切零售商的效用函数为:

公平关切供应商的效用函数为:

对Ur，i求qr，i的一阶、二阶导数可得:

证明:当 φ 满足式(6)时，令Ur，i对qr，i的一阶等于零，求得保险契约下零售商最优订货量为:

易得

要使得保险契约可以协调该供应链，必须同时满足式(6，7).令

要使得φ存在，必须有:

1)当w2－cp≤0时，f1－f2＞0，存在φ使=成立.

2)当w2－cp＞0且时，f1－f2＞0，存在φ使成立.

综合零售商的效用分析，当零售商的公平关切系数βr满足一定关系时，总存在一个φ使成立.

同时，为了使供应商与零售商能够接受保险契约，需满足以下2个激励约束:

解得:

通过对比零售商公平关切行为对供应链契约的协调研究发现，当契约不可协调时，考虑公平关切行为后契约仍然无法协调，并会使零售商最优订货量更加偏离系统最优订货量.当契约可以协调时，引入公平关切行为仍然可以协调.

4 数值分析

文中通过数学推理得到:批发价格契约下零售商的最优订货量会偏离系统最优;公平关切零售商的最优订货量小于公平中性零售商;零售商最优订货量随着公平关切系数的增加而递减;引入保险契约后，通过设置相应契约参数可以使得供应链达到协调状态.为了验证上述结论，采用MATLAB进行数值仿真结果如图1～5.市场需求服从均匀分布D～［0，100］，p=30，c=10，s=5，h=3.

根据式(1)得到公平中性情形下供应链系统的最优订货量q*sc=82.142 9，此时供应链整体的期望效用Usc=πsc=794.6429.由式(2，4)可知，无论零售商是否存在公平关切行为，其最优订货量都与供应商给定的批发价格有关，且随着批发价格的增加而递减.

由图1可得:无论零售商是否公平关切，其最优订货量都随着批发价的增加而递减;当批发价格一定时，公平中性零售商的最优订货量始终高于公平关切零售商的最优订货量，随着零售商公平关切系数的增加其最优订货量递减.由图2可得:零售商的订货量随其公平关切系数的增加而递减;当公平关切系数一定时，零售商的最优订货量随着批发价的增加而递减，与图1结论一致.因此，性质1、2得证.

图1 批发价格对零售商最优订货量的影响Fig.1 Influence of wholesale price on the retailer′s optimal decision

图2 公平关切系数对零售商最优订货量的影响Fig.2 Influence of coefficient of fairness concerns on the retailer′s optimal decision

假设零售商的公平关切系数βr=0.5，供应商的公平关切系数βs=0.5，结合式(2，3)计算得到，公平中性下作为Stackelberg博弈领导者的供应商制定的最优批发价为w*=21.5，此时供应商的期望效用为U*s=472.3214，零售商的最优订货量为:q*=41.0714，期望效用为U*r=86.1607.结合式(4，5)计算得到，公平关切下作为Stackelberg博弈领导者的供应商制定的最优批发价为w*s=17.9，此时供应商的期望效用为=378.8146，零售商的最优订货量为:q*=37.0940，期望效用为=63.9528.结合图3发现，公平中性供应商制定的批发价格高于公平关切供应商制定的批发价格，公平中性零售商的订货量高于公平关切零售商的订货量.

在批发价格契约下供应链系统不能达到协调状态，通过引进保险契约来进一步协调供应链，当保险契约 参 数 满 足 φ=0.395，T∈［－164.5376，157.1019］时，零售商的最优订货量变为82.1429，此时零售商的期望效用为440.2123－2.4T，供应商的期望效用为1.78T+336.535 7，供应链系统的期望效用为776.7480－0.62T，此时供应链各方期望效用都比批发价格契约下有所增加且供应链达到协调状态.其中T的不同取值表示零售商的讨价还价能力，T越小表示零售商的讨价还价能力越强，反之则越弱.取T=100，进一步探讨订货量对供应链各方的影响.

图3 批发价对供应商期望效用的影响Fig.3 Influence of wholesale price on the supplier′s expected utility

由图4可知，公平中性供应链系统的期望效用始终高于公平关切供应链系统的期望效用;批发价格契约下供应链的最优订货量低于保险契约下供应链的最优订货量;通过引进保险契约可以增加供应链系统效用;保险契约下供应链系统的最优订货量等于公平中性供应链系统最优订货量.由图5可知，批发价格契约下零售商的最优订货量低于保险契约下零售商的最优订货量;引进保险契约后，零售商、供应商的期望效用都较批发价格契约下有所提高.结合图4，5可得:批发价格契约下，零售商的最优订货量始终偏离供应链系统最优订货量;通过引进保险契约，可以使得零售商的最优订货量等于供应链系统最优订货量，供应链达到系统最优.

图4 订货量对供应链期望效用的影响Fig.4 Influence of order quantity on the supply chain′s expected utility

图5 不同契约下供应链各方期望效用Fig.5 Members′expected utility under different contracts

综上可得，当供应商、零售商都公平关切且双方进行Stackelberg博弈时，批发价格契约不能协调该供应链，当零售商与供应商之间缔结保险契约且满足一定契约参数时，供应链可以达到协调.

5 结论

文中以一个供应商和一个零售商组成的Stackelberg博弈模型为研究对象，以亚当斯提出的公平理论为基础，建立供应链效用的公平关切框架，探讨了零售商的公平关切系数对供应链的影响.进一步采用MATLAB进行数值仿真证明了:零售商的最优订货量随着供应商批发价格的增加而减少;零售商的最优订货量随其公平关切系数的增加而减少;在批发价格契约下，供应链不能达到系统最优，但是引进保险契约可以使供应链双方达到Pareto最优.然而，文中仅考虑了单一行为因素，没有将多个行为因素综合进行考虑.因此，同时考虑多个行为因素的供应链决策及协调是下一步值得研究的方向.

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