Logistic方程组的统计模型及对红松单木生长的拟合1)

徐文科 乔钰

(东北林业大学，哈尔滨，150040)

责任编辑:戴芳天。

由Veshulst 在1838年首次提出具有微分方程形式的Logistic 模型，该模型几乎是描述种群S 型增长的唯一数学模型，国内外一些学者根据自己的实验结果及在总结前人研究结果基础上，提出了许多关于Logistic 方程模型的修正和改进，文献［1］对Logistic 方程的参数进行了估计，并对初始预测值进行了修正。统计学家Zellner 在1962年首次提出了似乎不相关模型，它允许各方程存在不同的自变量，这为统计建模带来了很大的灵活性［2］。同时，似乎不相关线性模型从结构上来说，它们的误差方差阵可能不是对角阵［3］，表现出统计相关，“似乎不相关”也正是体现于此，即可以提供一些附加信息。文献［4］、［5］对似乎不相关模型的应用做了进一步的研究。

对于多个具有相互关系的Logistic 方程，如果单独考虑每个Logistic 方程的参数估计，不免失去了具有相互关系多个方程的系统性，从而失去了系统的功能。从多个具有相互关系方程构成的系统为出发点，在方程中看似不相关，但实为相关，如何把它们内在的相关性表达出来成为问题的关键所在。利用生物统计学中的似乎不相关线性模型的原理与方法，为多个具有相互关系的Logistic 方程搭建了相互联系的建模平台。从而使其参数估计具有了统计估计的原理依据，且进一步优化了对参数的估计。此外，这种分析问题、解决问题的方法具有整体性、系统性。

笔者运用生物统计学中的似乎不相关线性模型的原理与方法对Logistic 方程组的参数进行广义最小二乘估计，并应用于红松单木生长的拟合。

1 Logistic 方程组的似乎不相关线性模型

设有m 个相关的Logistic 方程:

式(1)是Verhulst 方程

的变形，其中内禀增长率ri=ai，容纳量Ni=ai/bi。

式(2)的解形式为

其中xi(t0)为初始值，i=1、2、…、m。

式(2)的差分方程为Δxi(t)= aixi(t)- bix2i(t)。

由计算数学可知，差分表达式可以有:

向后差分Δxi(k)=xi(k)-xi(k-1);

向前差分Δxi(k+1)=xi(k+1)-xi(k)。

设yi(k)=ω1ikΔxi(k)+ω2ikΔxi(k+1)。

随机(预报)误差:

记

矩阵方程

在实际问题中，一般观测向量(y1y2…yq)的各个不同观测之间往往是互不相关的，并且有相同的协方差矩阵，因此可以假设误差矩阵…em的均值为0，它的各个行之间是互不相关的，并且各行都有相同的协方差矩阵。

若

从式(5)可以看出，似乎不相关模型实际上是由m 个“相互联系”的线性模型组成的。当σij≠0时，第i 个线性模型与第j 个线性模型的误差向量是相关的。“似乎不相关”一词正是反映了误差向量的这个特征。

若记

则式(5)可以化成形式:

其中:设计矩阵X 的列数为2m，且Σ =(σij)m×m。

2 Logistic 方程组似乎不相关线性模型的参数估计

Logistic 方程组的似乎不相关模型是一种特殊的广义线性模型，因而其参数估计可以使用最小二乘估计、广义最小二乘估计和拟广义最小二乘估计［4］。

2.1 Logistic 方程组似乎不相关模型的最小二乘估计

对于线性统计模型式(7)，其最小二乘估计:

2.2 Logistic 方程组当协方差矩阵Σ 已知时参数β的广义最小二乘估计

式(8)或(9)的最小二乘估计不是β 的最优线性无偏估计量，因为没有用到Σ 的信息。为了得到β 的最优线性无偏估计量，需要采用广义最小二乘估计。

似乎不相关线性模型式(7)参数β 的广义最小二乘估计:

2.3 Logistic 方程组当协方差矩阵Σ 未知时参数β的拟广义最小二乘估计

当式(10)的协方差矩阵Σ 未知时，需要先估计协方差矩阵。采用二步估计法，首先得到Σ 的估计值，然后得到β 的拟广义最小二乘估计。

首先利用式(9)计算参数βj的最小二乘估计，然后计算

3 红松生长模型的拟合

以凉水实验林场(凉水国家级自然保护区管理局)为研究区，在林场中选取解析木，将解析木树干锯成若干段，在每个横断面上根据年轮的宽度确定各年龄的直径生长量。在纵断面上根据断面高度以及相邻两个断面上的生长轮之差可以确定各年龄的胸径与树高生长量［1，6-7］，统计结果见表1。

由于建模拟合的方法比较多，所以不能把各种建模拟合过程与结果一一列举，只给出胸径与树高的各3 个比较典型的建模拟合过程及拟合结果，便于比对与分析。相对误差公式

设胸径与树高两个相关的Logistic 方程构成方程组，其中x1表示胸径，x2表示树高。红松解析木胸径与树高建模拟合过程:

利用式(9)得到最小二乘估计:

环境容纳量估计值分别是:

内禀增长率估计值分别是:

利用文献［1］、［6］求初始预测值公式:

计算得到初始值的估计值分别是:

此初始值使得实际值和预测值的相对误差达到最小值，比利用文献［1］、［6］中其它方计算得到的初始值均理想。

参数β 的似乎不相关线性模型的拟广义最小二乘估计:

模型拟合2:①与模型拟合1 中①的条件相同;②取初始预测值(1)=3.454 12，(1)=2.929 397(利用式(13)得到的初始值的预测值)。

模型拟合3:①利用似乎不相关线性模型的拟广义最小二乘估计=(0.179 740 7 0.002 296 6)T，=(0.240 455 6 0.007 847 7)T;②取初始预测值^x1(1)=3.454 12，(1)=2.929 397(利用式(13)得到的初始值的预测值)。

4 结论

对于预测结果，模型拟合2 和模型拟合3 均优于模型拟合1，模型拟合3 略优于模型拟合2，也就是说利用原初始值或与原初始值接近的初始值，其预测误差较大，预测效果不良。利用式(13)得到相对较优的初始值，且在此初始值下，考虑到Logistic方程间的相关性(利用似乎不相关模型)的拟合要优于不考虑Logistic 方程间相关性的拟合。

在建立模型Logistic 方程组过程中，需要调整的参数有权数、预测初始值、方程参数(包括内禀增长率与容纳量)。笔者提供了可以组合的多种调整方案，通过调整参数，使Logistic 方程组提高了拟合精度。在建立模型的拟合过程中选取0.6，i=1、2，k=2、3、…、24 是在对权重调整修正后的最优选择，并同时通过调整修正预测初始值于(1)=3.454 12，(1)= 2.929 397，从而达到提高拟合精度的目的。

运用生物统计学的原理和方法于Logistic 方程组模型中，为进一步定量研究具有微分形式的生物数学模型提供了一个新方法。

表1 红松解析木测树因子值及拟合值统计

［1］ 徐文科，孙广山，李凤日.Logistic 方程统计建模及对红松单木生长的拟合［J］.东北林业大学学报［J］，2011，39(6):114-115.

［2］ Zellner A.An efficient method of estimating Seemingly unrelated regression equations and tests for aggregation bias［J］.Journal of the American Statistical Association，1962，57:348-368.

［3］ 马铁丰，王松桂.半相依回归模型参数的协方差改进估计［J］.工程数学学报，2008，25(6):1074-1080.

［4］ 唐守正，李勇著.生物数学模型的统计学基础［M］.北京:科学出版社，2002.

［5］ 徐文科，刘洋.捕食与被捕食种群似乎不相关模型的参数估计［J］.黑龙江大学自然科学学报，2013，30(5):570-575.

［6］ 徐文科.基于微分方程的生态数学模型统计分析［D］.哈尔滨:东北林业大学，2009.

［7］ 周元满，谢正生，刘素青，等.Logistic 模型在桉树生长过程估计中的应用［J］.南京林业大学学报，2004，28(6):107-110.