采用Prony 与粒子群算法的电力暂态信号分析

杨宣访，王家林

（海军工程大学电气工程学院，武汉430033）

随着电力系统中非线性负载的广泛应用，电力系统暂态信号中的情况也越来越复杂，但采样的电力系统离散数据往往同时受到多个误差原因的影响，如数据中包含有衰减直流分量、间谐波、噪声等。准确地提取电力故障暂态信号中周期信号的幅值和频率等参数对电力系统状态分析，故障诊断，控制和保护至关重要[1]。分析电力故障暂态信号的方法有快速傅里叶变换法FFT（fast Fourier transform algorithm）[2-4]、小波算法[5-6]、自回归谱估计法[7]、Prony 法[8-9]、神经网络法[10]和遗传优化算法[11]以及结合以上算法优点而形成的组合算法。文献[12]提出神经网络和Prony 算法相结合的方法避免了Prony 算法矩阵求逆困难和误差较大的缺点，但未考虑Prony 算法对信号中幅值较小的高频分量的估计易出错误和估计信号频率存在较大误差的问题；文献[13]提出了采用差分算法改善信号高频分量特性，提高了Prony 算法对信号中幅值较小的高频分量分析精度，但存在Prony 算法固有缺点，且未考虑信号中噪声的影响。文献[14-15]将粒子群优化算法应用到电力信号的参数识别中，文献[14]未考虑信号中有较强噪声的影响，文献[15]的算法实现的前提是需要确定待求参量的个数及其值的范围。这些方法为本文的研究提供了很好的思路，但以上方法都仅考虑了部分误差因素，且在使用优化算法进行分析时，需要提前明确待求参数个数和值的范围，而这在电力故障暂态信号分析中是很难实现的。针对电力系统暂态信号中含有谐波/间谐波、衰减直流分量和噪声的特点，本文首先利用多小波[16-18]对信号进行滤波预处理，并采用一阶差分方法滤除信号中的衰减直流分量并对高频信号进行放大。在此基础上，将Prony 算法和量子遗传算法相结合，首先利用Prony 算法估计出信号中含有的频率个数和相关参量的粗略估计值，并建立电力参数极值优化模型，以得到的相关参量的粗略估计值作为算法的初始种群值，并估计出各参量的范围，最后采用粒子群优化算法对模型进行求解。仿真结果表明所提方法具有较好的收敛性能，能准确地提取电力系统暂态信号的电力参数。

1 电力故障暂态信号模型与改进Prony 算法

电力系统的暂态信号中除了稳态的基波分量外，而且存在着大量的谐波/间谐波、衰减直流分量和噪声，暂态信号模型可表示为

式中：B 为衰减直流分量的初始值；α 为衰减直流分量的衰减常数；q 为频率分量的个数；Am、fm、θm分别为第m 个频率分量的幅值、频率和初相角；ξ（t）为白噪声。

取式（1）的离散值为

式中，Δt=1/fS，fS为系统采样频率。

1.1 多小波滤波与差分算法

1.1.1 多小波消噪

消噪是对信号进行处理之前的一种必要的预处理手段。利用传统小波分析来对电力系统信号消噪已经被广泛开展且取得了一定的成果。随着小波理论研究的进展，近年来出现了以多个小波基函数为特点的新的小波——多小波。相比传统意义下的小波，多小波除了具备传统小波具有的多分辨率分析的优点，多小波还可以同时具有对称性、正交性、紧支性及高阶消失矩，具有比单一小波基函数生成的小波优越的信号处理性能。由于具有多个小波基函数，在实际应用中，多小波受波形匹配的影响较小，对信号的先验知识要求较低，而在处理多种形态的信号时具有比小波优越的性能。多小波基本理论及其消噪算法可参见文献[16-17]，在此不再赘述。文献[17]将多小波分析方法应用到电力故障暂态信号中，并分析不同预处理方法对消噪效果的影响，在本文中，采用GHM双小波，预处理方法采用GHM.int。

1.1.2 差分算法的作用

对式（2）进行差分处理，则有

得到其一阶差分后的信号为

由式（4）的分析结果可以知道：采用差分算法对暂态信号进行滤波，不仅可以有效滤除衰减的直流分量，亦可达到抑制低频分量，放大高频分量的效果，也可以实现对频率信号的幅值和相位的还原。

1.2 改进Prony 算法

Prony 算法针对等间距采样点，假设模型是由一系列具有任意振幅、相位、频率和衰减因子的指数函数的线性组合，其第n 个采样点的估计值可表示为

式中：Am为幅值；fm为频率；θm为初相角；αm〈0，为衰减因子。估计值（n）可表示为

式中，zm=exp[（αm+j2πfm）Δt]。

采用Prony 算法求zm和bm，并求得各振幅、相位、频率及衰减因子的过程和步骤详见文献[8，12]。

可以看到，若忽略信号中噪声的影响，Prony算法的模型能较准确地描述电力系统故障暂态信号特征，但文献[13]指出，由于电力系统故障暂态信号中高频分量的幅值较小，易被幅值较大的基波、谐波、间谐波或直流分量所湮没，使得采用Prony 算法检测信号电力参数容易出现错误。且Prony 算法在求幅值和初相角时，由于之前各级计算都有舍入误差，Z 有一定误差积累，因此直接用由Prony 算法求取或由Z 和神经网络训练求取bm所得到的幅值和初相角时会产生较大的误差。

由此针对本文研究的暂态信号的特点，得到先将信号进行预处理，再采用Prony 算法进行分析的方法：

（1）采用多小波滤波方法对暂态信号进行消噪预处理；

（2）在式（1）的基础上，采用差分算法对暂态信号进行滤波，滤除衰减的直流分量，抑制低频分量，放大高频分量；

（3）在式（2）基础上采用Prony 算法对暂态信号参数进行估计。

将多小波、差分算法和Prony 算法相结合而得到的改进Prony 算法应用在暂态信号的粗略估计中，得到信号中频率分量的个数和相关参量的粗略估计值。

2 粒子群优化算法在暂态信号分析中的应用

2.1 电力参数极值优化模型

由本文第1 节可知：电力故障暂态信号经多小波算法和一阶差分算法预处理后，暂态信号模型变化为

式中，y（n）为第n 个采样点的值。由此可见，采样点的值为信号中Am，fm和φm的共同函数，将式（7）简记为

式中：n=1，2，…3q；xl表示待求参量Am、fm和φm。

由式（8）得到的关于电气幅值、相位以及各种误差参数的非线性方程组即为本文的求解目标，方程组个数为3q，等于待求参数个数。

在采用优化算法求解时，需将方程组转化为一个等价的极值优化问题，将式（8）等价为

式中：Φ 为方程组解区间，当F（X）最小为0 时，所对应的X 即为方程组的解。

2.2 基于粒子群优化算法的暂态信号分析

粒子群优化算法（PSO）是一种基于群体的具有全局搜索能力的随机优化算法，它不是用遗传算子来更新染色体的基因，而是类似梯度下降算法使各染色体向符合度函数值最高的方向群游。粒子群游算法的优点是收敛速度快，能很好地解决组合优化问题，已在电力系统的无功优化、电力市场和负荷预测等方面取得了良好的应用。其基本思想：优化问题的每一个解称为一个粒子。定义一个符合度函数来衡量每个粒子解的优越程度。每个粒子根据自己和其他粒子的“飞行经验”群游，从而达到从全空间搜索最优解的目的。本文将式（9）所示的电力参数极值优化模型采用量子遗传算法进行寻优求解，其算法实现过程可参见文献[14-15]，在此不再赘述。做以下几点说明。

1）编码方式及初始种群选取

采用实数编码方式，个体的长度等于待求变量的个数，个体基因初始值为采用改进Prony 算法得到的估计粗略值，并由此确定解区范围。

2）适应度函数选取

从式（9）知，F（X）值越小，X 越逼近方程组的解，因此本文选择将目标函数选为适应度函数。即

3）更新各粒子的速度和位置的公式为

式中：w 为速度惰性权重，通常取0.4～0.9；c1为认知权重，c2为社会学习权重，c1、c2通常取2；r1、r2为（0，1）间随机数。

由此可得到改进Prony 算法与粒子群优化算法相结合的电力故障暂态信号分析算法的具体步骤为

（1）采用第2.3 节所述改进Prony 算法对电力故障暂态信号进行参数估计，得到信号中含有的频率分量个数和相关参量的粗略估计值；

（2）由（1）得到的参数确定建立电力参数模型及算法初始种群和解区范围；

（3）采用粒子群优化算法对模型进行求解，得到暂态信号的精确分析结果。

3 仿真算例与比较

为了验证本文所提出的改进Prony 算法分析电力系统故障暂态信号的方法，对信号进行仿真分析，即

式中：ξ（n）为高斯白噪声，信号信噪比为50 dB，采样频率为1 000 Hz，衰减直流分量的初值为70 与衰减系数为-60。各频率分量的频率、幅值和相位的参数如表1 所示。

表1 分析仿真信号参数Tab.1 Parameter of the analysis signal

3.1 采用改进Prony 算法进行粗略估计

采用本文第1.2 节方法对仿真信号进行多小波滤波和一阶差分算法处理，仿真信号、经多小波滤波后信号和不含噪声的仿真信号的对比结果如图1 所示。由图1 可看出采用多小波滤波的效果是明显的。根据仿真信号的频率分量个数确定Prony 算法需要的阶数P=18，为测试信号中频率分量个数的2 倍，Prony 算法中采样点数满足N〉2p，本文取N=40。采用本文第1.2 节所述Prony算法，用奇异值分解SVD 求解AR 模型，对差分后信号进行各参数粗略估计并对信号的幅值和相位进行还原，结果如表2 所示。由表2 可看出利用改进Prony 算法对信号进行参数估计，可准确估计出频率个数和各待求参数的粗略估计值。

图1 多小波滤波后信号比较Fig.1 Contrast of simulated signal and estimated signal

表2 利用改进Prony 算法对信号进行参数粗略估计Tab.2 Estimation of the signal parameter based on improved Prony algorithm

3.2 采用粒子群优化算法进行精确估计

利用本文第3.1 节Prony 算法估计得到的信号参数，采用本文第2 节所述方法，确定粒子群优化算法的个体长度为27，种群规模为50，种群初始值如表2 所示，种群解区范围为（粗略估计值×95%，粗略估计值×105%），w = 0.55，误差准则ξ =10-7，最大迭代次数为1 000；经过637 次学习后，误差已小于设定标准，收敛曲线如图2 所示。采用本文所提方法得到分析计算结果和误差如表3 所示，仿真信号与估计信号的对比如图3 所示。

图2 采用本文方法的算法收敛曲线Fig.2 Convergent curve of proposed algorithm

表3 采用改进Prony 算法和粒子群优化算法得到的结果Tab.3 Estimation of the signal parameter based on improved Prony algorithm and PSO algorithm

由表3 可以看出，利用本文提出的方法得到的信号参数估计结果的误差较小。由图3 可以看出，仿真信号与估计得到的信号之间的误差较大，这是由于仿真信号中存在大量噪声，而本文估计得到的信号参数是在对仿真信号进行滤波的基础上而得到的。

图3 仿真信号与估计信号对比Fig.3 Contrast of simulated signal and estimated signal

3.3 与其他算法的比较

3.3.1 直接采用Prony 算法的信号参数估计

采用本文第1.2 节方法，在采用一阶差分滤除衰减直流分量的基础上，直接采用奇异值分解法的Prony 算法对信号进行参数估计，各待求参数估计结果如表4 所示。

表4 直接采用Prony 算法得到的结果Tab.4 Estimation of the signal parameter based on Prony algorithm

3.3.2 直接采用粒子群优化算法的信号参数估计

直接采用粒子群优化算法对信号进行参数估计，确定粒子群优化算法的个体长度为27，种群规模为50，种群初始值为随机值，种群解区范围为（仿真信号参数值×50%，仿真信号参数值×150%），ω=0.55，误差准则ξ=10-7，最大迭代次数分别为1 000 和10 000。若设置最大迭代次数为1000，经过1 000 迭代后，算法误差未小于设定标准，收敛曲线如图4（a）所示；若设置最大迭代次数为10 000，经过8 377 迭代后，算法收敛，收敛曲线如图4（b）所示。得到的各待求参数估计结果如表5 所示。

比较表3、表4 和表5 可看出，本文所提方法能在信号含有较多谐波/间谐波分量、衰减直流分量和噪声的情况下，实现更加准确的电力系统暂态信号的电力参数提取；比较图2 和图4，可以看出，本文提出的方法具有更好的收敛性能。

图4 直接采用粒子群优化算法的收敛曲线Fig.4 Convergent curves via PSO arithmetic

表5 直接采用粒子群优化算法得到的结果Tab.5 Estimation of the signal parameter based on PSO algorithm

4 结语

针对电力系统故障暂态信号的特点，本文采用多小波滤波和一阶差分方法对信号进行预处理，不仅可以有效滤除衰减的直流分量和噪声影响，亦可达到提高Prony 算法估计精度的效果；首先利用Prony 算法估计出信号中含有的频率个数和相关参量的粗略估计值，并建立电力参数极值优化模型，以得到的相关参量的粗略估计值作为算法的初始种群值，并估计出各参量的范围，最后采用粒子群优化算法对模型进行求解。仿真结果表明所提方法具有较好的收敛性能，能快速、准确地提取电力系统故障暂态信号的电力参数。

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