用插值型无单元Galerkin方法求解广义Fisher方程

张国达,王迪飞,任红萍

(太原科技大学 应用科学学院,山西 太原 030024)

用插值型无单元Galerkin方法求解广义Fisher方程

张国达,王迪飞,任红萍

(太原科技大学 应用科学学院,山西 太原 030024)

首先讨论了移动最小二乘插值法,并利用移动最小二乘插值法建立形函数,结合广义Fisher方程的Galerkin积分弱形式,提出了求广义Fisher方程数值解的插值型无单元Galerkin方法,该方法在求解偏微分方程定解问题时可以直接施加本质边界条件,这样就提高了求解效率．并给出了数值算例．

无网格方法；移动最小二乘插值法；插值型无单元Galerkin方法；广义Fisher方程

无网格方法是一种近年来兴起的一种数值计算方法,其试函数的构造是基于一系列离散节点,场点与节点之间的联系不再依赖于单元,现在已成为计算数学的研究热点之一[1-2]．

目前发展的无网格方法有许多,如无单元Galerkin方法[3]、重构核粒子法[4]、无网格局部Petrov-Galerkin方法[5]、配点法[6]、径向基函数法[7]、复变量无网格方法[8]、局部边界积分方程法[9]、边界径向点插值法[10]和边界无单元法[11]．

无网格方法的形函数构建可以通过多种方法,其中移动最小二乘近似是最广泛的方法之一．基于移动最小二乘近似,Belystschko等人提出了无单元Galerkin方法[3]．Liew等人提出了改进的移动最小二乘近似．在改进的移动最小二乘近似里面,代数方程组不再是病态的,并且在解的过程中避免了矩阵的求逆运算．将改进的移动最小二乘近似和边界积分方程相结合,得到边界积分方程的无网格方法(BEFM),这种方法可以用来求解诸如弹性力学和断裂力学[3-7]等问题．同时Zhang在改进的移动最小二乘近似的基础上研究了改进的无单元Galerkin方法．

为了减少无网格方法的计算时间,基于移动最小二乘法,Liew等人提出了复变量移动最小二乘法[12],建立了复变量无单元Galerkin方法和复变量边界无单元法．Ren对复变量移动最小二乘插值法进行了研究[13]．

由于用MLS方法得到的形函数不满足Kronecker delta函数的性质,所以导致定解问题的边界条件不能直接施加,这样就降低了计算效率．所以引进具有插值性的形函数非常必要．基于移动最小二乘近似,Lancaster提出了移动最小二乘插值法．Wang等人提出了权函数具有非奇异性的改进的插值型无单元Galerkin方法．Ren等人提出改进的移动最小二乘插值法[14],并基于此研究了插值型无单元Galerkin方法和改进的边界无单元法[15]．

本文利用Ren等人提出的改进的移动最小二乘插值法建立形函数,结合广义Fisher方程的Galerkin积分弱形式,提出了广义Fisher方程的插值型无单元Galerkin方法,该方法可以直接施加边界条件．我们推导了相应的公式,建立了其算法实施流程,编制了上述方法的计算程序,给出了相应的数值算例,验证了本文所提出方法的有效性及有关结论的正确性．

1 插值型无单元Galerkin方法形函数的构造

我们采用移动最小二乘法构造形函数．假设函数u(x),(x∈D)在定义域内的点x1,x2…，xn,的函数值已知,设为uI=u(xI)(I=1,2,…,n),u(x)的近似函数可以写成如下形式:

(1)

在上式中,pi(x),i=1,2,…，m,是多项式基函数;ai(x)是对应基函数的系数．

定义如下函数:

(2)

其中,xI,(I=1,2,…，n)为点x的影响域内的节点,w(dI)是权函数,其具有紧支集特性,且是x和xI间的距离dI的单调减函数．J是影响域内所有节点误差的加权平方和．

式(2)写成矩阵形式可以表示为:

(3)

其中

(4)

(5)

(6)

(7)

令Ja=0,我们得到

(8)

其中矩阵A(x)和B(x)分别为

(9)

(10)

由式(8)可以得到

(11)

逼近函数uh(x)的表达式为

(12)

这里Φ(x)称为形函数,

(13)

式(12)中的uh(x)是不经过插值节点的,现在我们建立移动最小二乘插值法．

在空间span(p1,p2，…，pm)里,我们定义如下内积

(14)

相应定义范数为

(15)

在x点基函数p1(x)≡1单位化为

(16)

(17)

(18)

其中r是影响域的半径,任红萍已经证明了形函数ΦI(x)，(I=1，2，…，n),满足Kronecker delta函数的性质[16],即

(19)

2 广义Fisher方程的插值型无单元Galerkin方法

广义Fisher方程以其群体遗传学的基本定律而闻名．它是由Fisher于1930年提出的关于种群动态的方程．广义Fisher方程的性质在理论上已经被很多学者研究过,其中,Galerkin有限元方法和sinc配置方法在Fisher中已有了很好的应用．

因为在基于Galerkin方法的无网格方法中,本质边界条件必须通过辅助方法如Lagrange乘子法、罚函数法等引入[19-21]．但由于本文第二部分的移动最小二乘插值法所得的形函数满足Kronecker delta函数的性质,所以基于此建立的插值型无单元Galerkin方法可以直接施加边界条件．

2.1 广义Fisher方程的积分弱形式

考虑如下广义Fisher方程:

(20)

(21)

(22)

其中的u代表生物种群密度,右边第一项称为扩散项,它代表种群的迁徙．右边第二项称作反应项,它代表种群的繁殖．a2为自然增长率,一般要求a2a3>0．

式(22)的等效积分弱形式如下:

(23)

2.2 广义Fisher方程的插值型无单元Galerkin方法利用式(12),我们可以得到:

(24)

(25)

(26)

(27)

其中

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

把式(24)-(32)代入式(23),得

(33)

由δUT(t)的任意性,上式可以写成如下形式

(34)

其中

(35)

(36)

用中心差分方法形成对时间离散后的方程(33)

(37)

这里Δt是时间步长,并且

(38)

(39)

然后我们有

(40)

(41)

(42)

则

(43)

(44)

(45)

(46)

将式(43)-(46)代入式(37),我们得到

(47)

这里

(48)

现在,我们可以得到关于Un+1,的离散方程

(49)

化简为

AUn+1=BUn

(50)

这里

A=2G+ΔtK-2ΔtH

(51)

B=ΔtK-2G

(52)

以上即为广义Fisher方程的插值型无单元Galerkin方法．

2.3 算法实施流程

利用插值型无单元Galerkin方法求解偏微分方法定解问题时,首先在求解域内布置N个节点,且这些节点的影响域的并集覆盖了求解域．方程(50)中矩阵的元素采用Gauss积分进行计算,我们布置的积分网格是矩形网格．

先求解方程(50)得到求解域内所布置的N个节点的u值,再由N个节点的u值及式(24)拟合出求解域内任一点的值．

3 数值算例

下面利用本文建立的广义Fisher方程的插值型无单元Galerkin方法,分别对两个带有不同初始条件的广义Fisher方程进行数值求解．

3.1 算例1

考虑方程(20),

其中a0=0,a1=0.1,a2=a3=0

其边界条件为u(a,t)=u(b,t)=0,t>0,

初始条件为u(x,0)=sech2(10x).

算例中,在定义域内均匀分布151个节点．图1为t=0.1时刻插值型无单元Galerkin方法的数值解,图2为t=0.5时刻插值型无单元Galerkin方法数值解,图3为t=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5时刻插值型无单元Galerkin方法数值解．

图1 t=0.1处IEFG数值解

图2 t=0.5处IEFG数值解

图3 t=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5时的IEFG的数值解

3.2 算例2

仍考虑方程(20),此时初始条件变为

算例中,在定义域内均匀分布151个节点．图4为t=0.1时刻处插值型无单元Galerkin方法数值解,图5为t=0.5时刻处插值型无单元Galerkin方法数值解．

图4 t=0.1处IEFG数值解

图5 t=0.5处IEFG数值解

4 结论

以任红萍等人提出的移动最小二乘插值法为基础建立形函数,结合广义Fisher方程的等效积分弱形式,得到广义Fisher方程的插值型无单元Galerkin方法,该方法可以直接施加边界条件,避免了使用Lagrange乘子法或罚函数法处理边界条件,这样就减少了方程组中的方程个数以及未知量个数．通过数值算例,验证了插值型无单元Galerkin方法应用于求解广义Fisher方程的有效性．

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The Interpolating Element-free Galerkin(IEFG) Method for Generalized Fisher Equations

Zhang Guoda, Wang Difei, Ren Hongping

(School of Applied Science, Taiyuan University of Science and Technology,Taiyuan 030024, China)

An interpolating moving least squares(IMLS) method is discussed first. Combining the shape function constructed by the IMLS method and Galerkin weak form for the generalized Fisher equations, the interpolating element-free Galerkin(IEFG) method for the generalized Fisher equations is put forward, and the corresponding formulae are obtained. The boundary conditions can be directly applied in the IEFG method. Numerical results show that it enhances computational efficiency.

meshless method;interpolating moving least-squares (IMLS) method; interpolating element-free Galerkin (IEFG) method; generalized Fisher equations

2015-01-26

山西省自然科学基金项目(2014011006-2);太原科技大学博士研究基金项目(20102024).

张国达(1991-),男,太原科技大学在读硕士生,主要从事微分方程与工程数值计算研究.

1672-2027(2015)02-0001-07

O241.82

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