基于小波分析的资本资产定价模型

谢依辰

（西南财经大学经济数学学院，四川 成都 611130）

一、研究背景

小波分析与金融数学模型相结合可适用于金融中的许多领域。小波分析作为新兴的数学变换理论，将其运用于金融时间序列，将时间序列扩展到时频的二维空间，深化了时间序列的频率特性，为金融时间序列的研究提供了全新的研究方法。本章着重回顾了小波分析在CAPM 模型中的运用，充分说明了小波分析在深入挖掘CAPM 模型内涵方面有效应用，为CAPM 模型的进一步发展提供了新的研究视角。

二、模型推演

金融市场中，金融资产的价格往往受到投资者对交易周期不同偏好的影响。在不同的时间尺度下，投资者会相应选择不同的投资策略。因此，市场风险也相应具有多期结构。

用Mallat 算法，通过最大重叠小波变换将金融资产收益率组成的时间序列分解到j 层，j=1，......，J：

根据CAPM 模型，我们可以定义资产i 在尺度λj下的收益方程：

式中，rit(λj)表示资产i 在尺度λj下的收益，rmt(λj)表示尺度λj下的市场收益，εit(λj)为随机干扰项。在这里，我们称其为基于小波时间尺度分解下的资本市场模型。

三、实证分析

笔者所选取数据分别为上证50 指数中的成分股：包钢股份、保利地产、贵州茅台、华夏银行和浦发银行的日收益率，样本期间为2013 年12 月31 日～2014 年12 月31 日（有效交易日为247 天）。

首先，我们通过小波变换将收益率的时间序列分解到时间尺度下。在实证中，我们所采用的小波函数是Daubechies 小波，分解时间尺度为6 层，即小波滤波器宽度为L＝6(尺度j≤log2N，N 为时间序列的宽度)。然后，通过逐层回归的方式得到了不同时间尺度下的βi估计值，并计算了用来描述拟合优度的相应R2值。在这里我们构造了由所选取的5 只成分股所构成的投资组合P，该投资组合中各个资产的权重相等，即：。市场收益率用上证50 指数收益率来代替。实证结果见表1。从表中，我们可以看出，所有的βi值都为正数，这表明市场变化同资产收益之间是正相关。同时，我们发现保利地产、华夏银行和浦发银行的β 值随时间尺度的增加而呈现出明显的递增趋势，这与上证50 指数构成中金融类股票占比较大有关。相对于个股，投资组合P 在尺度λ1下，即在时间水平2～4天内的系统性风险更小，这表明在短期内，市场变动对投资组合的影响较小。

整体来看，在不同的时间尺度下，βi值并不恒定，而是随时间尺度变化呈现出不同变化趋势。但是，这种变化的趋势并不统一，这说明系统性风险变动并不单纯受时间尺度影响。根据不同时间尺度下的β 值，投资者的交易策略也相应不同。在实证中，如果是长期投资者，他们会倾向于选择包钢股份和贵州茅台，因为两只股票在时间尺度λ6下的系统性风险更小；而对于短期投资者，他们的投资策略多表现在时间尺度λ1，λ2下，因此他们会选择系统性风险较小的资产安排投资策略，比如包钢股份。

表1 市场模型回归结果

四、结语

小波分析理论在经济金融领域中无疑有着巨大的应用研究潜力。随着现代金融环境日趋复杂，交易量日渐攀升，全球金融市场联系日加紧密，对金融领域的研究分析也将会寻求更加多元化的方法，而小波分析在时频分析中的优良性质毫无疑问将得到更充分应用。所以，我相信，小波分析理论在金融领域大有可为，它的发展将会更加完善，运用也将更加广泛。

[1]樊启斌，小波分析[M]，武汉大学出版社，2008.

[2]Zvi Bodie，Alex Kane，Alan j.Macus.投资学.机械工业出版社.

[3]Percival，D.B.，Walden，A.T.，2000.Wavelet methods for time series analysis.Cambridge University Press..

[4]Percival，D.B.，1995.On estimation of the wavelet variance.Biometrika 82，619-631.