一类偏微分方程特征值的估计

吴 平

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

一类偏微分方程特征值的估计

吴 平

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

考虑一类偏微分方程特征值的估计，利用Rayleigh定理、分部积分法和不等式估计等方法，得到第k+1个特征值用前k个特征值来估计的不等式，这个结果有广泛的应用价值.

一类偏微分方程；特征值；估计

设方程(1)的特征值为0＜η1≤η2≤…≤ηk≤ηk+1≤…，对应的特征函数为w1，w2，…，wk，wk+1，…，且满足

记∇⋅∇=∇ =2Δ，(i，j，l=1，2，…).

对问题(1)，利用分部积分法有

假设

根据Rayleigh定理可得

求得

利用ψil与wj(j=1，2，…，k)的正交性，以及由式(6)得

利用式(7)得

利用式(5)和式(8)有

在式(9)中，用ηk替代所有的ηi(i=1，2，…，k)有

1 引理

引理1 设wi是问题(1)对应的特征值ηi(i=1，2，…，k)的特征函数，则

证利用分部积分法、Schwartz不等式得

同理

化简得利用分部积分法、Schwartz不等式、式(11)、式(12)和式(3)得

化简得引理1的1).引理1的1)代入式(12)得引理1的2).引理1的2)代入式(11)得引理1的3).

引理2 设wi是问题(1)对应的特征值ηi的特征函数(i=1，2，…，k)，则

证对于1)，利用分部积分法得

对于2)，类似地有

利用式(13)得

利用引理2的1)和式(14)得

引理3 设ηi(i=1，2，…，k)是问题(1)的k个特征值，则

证，由于，，所以有从而得

利用引理2的2)和式(15)有

利用Schwartz不等式、式(3)和引理1的1)得

根据式(16)、式(17)可得引理3.

引理4 对ψil和ηi(i=1，2，…，k；l=1，2，…，m)，有

证由ψil的定义，有

即有

利用式(18)、式(19)得

根据式(20)、Schwartz不等式和引理2得

根据式(21)和引理1的2)有

从而得

2 主要结果

定理1 设ηi(i=1，2，…，k+1)是问题(1)的特征值，则

证根据引理3和引理4，由式(10)得定理1的1)，ηi用ηn来代换，得定理1的2).

定理2 对于m≥2，k≥1，有

证选择参数σ＞ηk，利用式(9)得

利用式(19) 和Young不等式有

式中δ＞0是待定常数.

利用引理1的2)与式(25)得

选取

式(26)右端的值可达到最小，根据式(26)及式(27)有

把式 (28)代入式(24)得

式中σ＞ηk，选取σ，使不等式(29)右端等于0，即

3 结论

考虑一类偏微分方程特征值的估计，利用Rayleigh定理、分部积分法和不等式估计等方法，得到第k+1个特征值用前k个特征值来估计的不等式，这个结果有广泛的应用价值.

[1] HILE G N，YEN R Z.Inequalities for eigenvalues of the biharmonic operator[J].Pacific J.Math.，1984，112：115-133.

[2] 吴平. 一类偏微分系统谱的上界估计[J]. 宁波职业技术学院学报，2014(1)：94-97.

[3] 吴平. 一类5阶常微分方程特征值的估计[J]. 商丘职业技术学院学报，2014(2)：1-5.

(责任编辑：沈凤英)

Estimates of Eigenvalues for a Partial Differential Equation

WU Ping
(Department of Mathematics and Physics，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

This paper addresses the estimates of eigenvalues of a partial differential equation.We construct some test function and then use Rayleigh theorem to basic inequality.These estimates are that the (k+1)th eigenvalue is bounded from above by an amount depending on the first k eigenvalues and independent of the measure of the domain in which the problem is concerned.This kind of problem is significant in potential application to mechanics and physics.

a partial differential equation；eigenvalue；estimates

O175.9

A

1008-5475(2015)03-0045-05

2014-12-17；

2015-01-15

吴 平(1962-)，男，江苏苏州人，副教授，主要从事方程特征值研究.