四项展开式的性质及其应用

孟　迪, 谷　峰

(1.杭州师范大学经亨颐学院,浙江 杭州 311121；2.杭州师范大学理学院,浙江 杭州 310036)

四项展开式的性质及其应用

孟迪1, 谷峰2

(1.杭州师范大学经亨颐学院,浙江 杭州 311121；2.杭州师范大学理学院,浙江 杭州 310036)

摘要：研究了一个四项展开式的问题, 获得了四项展开式的一些有趣性质, 并利用这些性质证明了一些新的组合恒等式.

关键词：二项式定理；四项式定理；四项式系数；组合恒等式

二项式定理以及与其密切相关的二项式系数有许多有趣的性质, 多位学者曾进行过深入的研究[1-5]. 最近，毛妍等[6]讨论了一个三项展开式，并获得了几个新的组合恒等式. 本文受此启发，引入并研究了如下展开式:

(1)

1性质及其证明

(2)

令r=3t+2p+q,0≤r≤3n，则分为以下3种情况讨论.

表1　3种情况下t,p,q的组合数目

2p+q036…r-3rtr3r-33r-63…r-(r-3)30

2p+q147…r-3rtr-13r-43r-73…r-(r-3)30

2p+q258…r-3rtr-23r-53r-83…r-(r-3)30

性质.

证明

又

根据性质2, 将展开的系数类似杨辉三角那样排列(称之为D三角形)如下:

1

1111

1234321

13610121210631

…………………………

性质.

性质.

证明在展开式(1)中令x=1即得.

性质.

性质.

性质.

证明将四项展开式对x求导可得:

(3)

对式(1)和(3)取x=1，得

(4)

(5)

2几个新的组合恒等式

(6)

(7)

(8)

且

(9)

将式(6)、(7)、(8)代入(9),得：

所以得：

最后，给出一个利用四项展开式证明不等式的例子.

注此证法比用数学归纳法要简便.一般，若恒等式一边可表示成若干个非负项的和，去掉其中一项或若干项可得到相应的绝对值不等式.若干关于n的不等式，常可用四项式定理证明.

参考文献:

[1] 卢开澄，卢华明.组合数学[M].北京：清华大学出版社，2006：23-27.

[2] 李宇寰.组合数学[M].北京：北京师范大学出版社，1988.

[3] 杨桦飞.组合数学[M].北京：北京理工大学出版社，1994.

[4] 蒙正中.几个组合恒等式及其组合意义[J].广西师范大学学报：自然科学版，2003，20(3)：104-106.

[5] 王永亮，叶芳，高静伟，等.六个组合恒等式的证明[J].贵州教育学院学报，2004，15(4)：12-13.

[6] 毛妍，谷峰.三项展开式的性质及其应用[J].杭州师范大学学报：自然科学版，2014，13(3)：262-267.

The Properties and Applications of Quadranomial Expansion

MENG Di1，GU Feng2

(1. Jing Hengyi Honors College, Hangzhou Normal University, Hangzhou 311121, China;

2. School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Abstract:The problem of quadranomial expansion is studied and some interesting properties are obtained. Using these properties, several new combinatorial identities are proved.

Key words:binomial theorem; quadranomial theorem; quadranomial coefficients; combinatorial identity

文章编号:1674-232X(2015)06-0645-07

中图分类号:O157；O122.4MSC2010: 05A10；05A19

文献标志码:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.06.015

通信作者：谷峰(1960—)，男，教授，主要从事非线性分析及其应用研究．E-mail：gufeng99@sohu.com

基金项目：国家自然科学基金项目(11071169)；浙江省自然科学基金项目(Y6110287).

收稿日期：2015-05-31