Kantorovich 型 Bernstein-Stancu 算子的点态逼近
2015-03-01董吕修虞旦盛
董吕修,虞旦盛
(杭州师范大学理学院,浙江 杭州 310036)
Kantorovich 型 Bernstein-Stancu 算子的点态逼近
董吕修,虞旦盛
(杭州师范大学理学院,浙江 杭州 310036)
摘要:针对öz 引入的一种 Kantorovich 型 Bernstein-Stancu 算子及其逼近的正定理,文章进一步推广了相关结论, 并建立了点态的逼近正、逆定理.
关键词:Bernstein-Stancu 型算子;点态与整体估计;正、逆定理
0引言
(1)
本文的首要目的就是在移动区间An上建立一个包含点态估计与整体估计的正定理. 为陈述本文结果,需要以下概念和记号:
(2)
这里x~y表示存在正常数c使得c-1y≤x≤cy.
本文的结论如下:
贯穿全文,C或者表示一个绝对正常数,或者表示一个依赖于某些参数但不依赖于f,x,n的正常数.它们的值在不同的地方可以不同.
对于逆定理,有
1预备引理
引理1[7]对于任意给定的γ≥0,成立不等式
(3)
引理2对于任意的x∈An,有
(4)
(5)
(6)
另一方面,有
因此,由式(3) 和(6),可以推出
这就证明了式(4).
这就证明了式(5).
(7)
证明由Leibniz 公式,有
证毕.
令
引理4如果 0≤λ≤1,0<α<2,那么
(8)
(9)
证明首先,证明式(8). 考虑以下两种情形.
(10)
简单计算可得
(11)
由式(10),(11) 以及 Hölder 不等式,有
由式(3),(4),(10),并再次利用Hölder不等式,有
(12)
情形Ⅱ此时,有
(13)
(14)
由式(3),(13),(14) 以及Hölder不等式,得到
(15)
结合式(12)与(15),式(8)得证.
(16)
由式(16)及Hölder不等式,可得
再利用Hölder不等式,有
其中在最后一个不等式中利用了式(5).
引理5如果 0≤λ≤1, 0<α<2, 那么
证明证明方法类似于引理 4,在此略去详细过程.
引理8对于每一个m∈N,以下不等式成立:
证明利用积分中值定理,有
(17)
由式(17)与(3),可以得到
2定理的证明
(18)
(19)
(20)
(21)
利用式(19)可以推出
(22)
(23)
(24)
(25)
由式(21)与(23),可得
(26)
(27)
(28)
当x∈Bn时,由式(10),(27),(19)以及引理8,有
(29)
(30)
其中在最后一个不等式中利用了式(24)与(25) .
结合式(18),(22),(26),(29)以及(30),定理1得证.
定理2的证明类似于文献[8]的证明方法,由引理5,6,7,即可完成定理2的证明. 此处省略具体细节.
(31)
(32)
(33)
(34)
对于一切x∈An.
由Hölder不等式以及引理8,有
(35)
因此,由式(31),(35)与引理8,可得
(36)
(37)
当x∈Bn时,由式(10),(32),(35)与引理8,可得
(38)
结合式(34),(36)~(38),定理3得证.
参考文献:
[1] Gadjiev A D, Ghorbanalizaeh A M. Approximation properties of a new type Bernstein-Stancu polynomials of one and two variables[J]. Appl Math Comput,2010,216(3):890-901.
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[8] Guo S S, Liu L X, Liu X W. The pointwise estimate for modified Bernstein operators[J]. Stud Sci Math Hung,2001,37(1):69-81.
Pointwise Approximation of Kantorovich Type Bernstein-Stancu Operators
DONG Lyuxiu, YU Dansheng
(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)
Abstract:Recently, öz introduced a new type of Kantorovich type Bernstein-Stancu operators, and obtained a direct theorem about approximation. The present paper further generalized öz’s results, and established the direct and converse theorems about pointwise approximation.
Key words:Bernstein-Stancu type operators; pointwise and global estimates; direct and inverse theorems
文章编号:1674-232X(2015)06-0632-09
中图分类号:O174.41MSC2010: 41A25; 41A35
文献标志码:A
doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.06.013
通信作者:虞旦盛(1976—),男,教授,主要从事函数逼近论研究.E-mail:dsyu_math@163.com
收稿日期:2015-01-09