一类二阶中立型时滞微分方程的振动准则

康永强

(广东顺德职业技术学院，广东顺德 528300)

一类二阶中立型时滞微分方程的振动准则

康永强

(广东顺德职业技术学院，广东顺德 528300)

本文主要利用H(t,s)型函数和广义Riccati变换技巧，建立二阶中立型时滞拟线性微分方程[r(t)|x′(t)|γ-1x′(t)]′+q0(t)|y(t-σ)|γ-1y(t-σ)+q1(t)|y(t-σ1)|α-1y(t-σ1)+q2(t)|y(t-σ2)|β-1y(t-σ2)=0.其中x(t)=y(t)+p(t)y(t-τ)，在0≤p(t)≤1的新的振动准则.

二阶拟线性微分方程；振动性；Riccati变换技巧；H(t,s)型函数；中立型；时滞

本文考虑二阶中立型时滞拟线性微分方程

[r(t)|x′(t)|γ-1x′(t)]′+q0(t)|y(t-σ)|γ-1y(t-σ)+q1(t)|y(t-σ1)|α-1y(t-σ1)

+q2(t)|y(t-σ2)|β-1y(t-σ2)=0,t≥t0.

(1.1)

其中x(t)=y(t)+p(t)y(t-τ).以下假设：

(A1)τ，σ，σ1，σ2是非负的常数，α，β，γ是正的常数，σ≥σ1，σ≥σ2且0<α<γ<β；

(A2)q0,q1,q2∈C([t0,∞),R+),R+=[0，∞)；

(A3)r∈C([t0,∞),(0,∞)),p∈C([t0,∞),R)，且-1

函数y(t)∈C([Ty,∞),R),Ty≥t0.是方程(1.1)的解，若p(t)|x′(t)|α-1x′(t)∈C1(Ty，∞)，且满足方程(1.1).我们主要考虑方程(1.1)的非平凡解y(t)，即sup{|y(t)|∶t≥T}>0,T≥Ty.若它有任意大的零点，称之为振动的；否则，称之为非振动的. 若方程(1.1)的所有非平凡解都是振动的，方程(1.1)称为振动的.

当p(t)≡0,q1(t)≡0,q2(t)≡0,σ=0时，方程(1.1)转化为半线性微分方程

[r(t)|y′(t)]γ-1y′(t)]′+q0(t)|y(t)|γ-1y(t)=0.

(1.2)

关于方程(1.2)的Sturm比较定理和解的零点分离定理，Elbert[3]，Li和Yeh[4]，Manojlovic[5]利用Philos[6]提出的二元函数H(t,s)型积分平均辅助函数，研究了方程(1.2)的振动性.Wang[7]将Manojlovic[5]定理1.1中的限制“ρ′(t)≥0”去掉.Wang和Yang[8]研究了方程(1.2)的区间振动性.Xu和Liu[9]得到如下结果.

本文受Wang[7]，Wang和Yang[8]，Xu和Liu[9]以及Liu[10]等的启发，将文献[9]的结果推广至(1.1).在0≤p(t)≤1的情形下，建立方程(1.1)新的振动准则.首先给出一个不等式，可见Hardy[16].

引理2 假设X≥0，Y≥0，则Xq+(q-1)Yq-qXYq-1≥0，q>1，等号成立当且仅当X=Y.

D0={(t,s)∈R2∶t>s≥t0}，D={(t,s)∈R2∶t≥s≥t0}.

对于给定的函数h∈C(D,R)，ρ∈C1([t0,∞),R+)和η∈C1([t1,∞),R)，记

Θ(t,s)=Q(s)-η′(s)+φ(x)+λ(t,s)η(s).

(2.1)

则方程(1.1)是振动的.

证明 令y(t)是方程(1.1)的非振动的解，不失一般性，假设y(t)≠0，t≥t0.当用u=-y代换方程(1.1)时，定理1的假设形式是相同的，因此不妨存在t1>t0，使得

y(t)>0,y(t-τ)>0,且y(t-σ)>0,y(t-σ1)>0，y(t-σ2)>0,t≥t1.

(2.2)

类似文献[11]中引理1(1)的证明(也可参考文献[12])，对某个T0≥t1+τ+σ有

x(t)>0,x′(t)>0，且x″(t)<0,t≥T0-τ-σ.

(2.3)

由(2.3)，可注意到x(t)≥y(t)，则有

y(t)≥x(t)-p(t)x(t-τ)≥[1-p(t)]x(t).

由此，对任意的t>T0，有

y(t-σ)≥[1-p(t-σ)]x(t-σ)，

y(t-σ1)≥[1-p(t-σ1)]x(t-σ1)≥[1-p(t-σ1)]x(t-σ),

y(t-σ2)≥[1-p(t-σ2)]x(t-σ2)≥[1-p(t-σ2)]x(t-σ).

于是，由方程(1.1)可得，当t≥T0时

[r(t)|x′(t)|γ-1x′(t)]′+q0(t)[1-p(t-σ)]γxγ(t-σ)+q1(t)[1-p(t-σ1)]αxα(t-σ)

+q2(t)[1-p(t-σ2)]βxβ(t-σ)≤0.

(2.4)

定义

(2.5)

由(2.4)和x′(t)

(2.6)

根据杨氏不等式Hardy[文献16，定理61]可得

于是

q1(t)[1-p(t-σ1)]αxα-γ(t-σ)+q2(t)[1-p(t-σ2)]βxβ-γ(t-σ)≥Q(t).

(2.7)

结合(2.6)和(2.7)，当t≥T0时，有

(2.8)

将(2.8)用s代换t，用H(t,s)相乘，并在[T,t]上积分，根据(H2)，对所有的t≥T≥T0，有

(2.9)

现令

根据引理3，则有

(2.10)

将(2.10)代入(2.9)，得到

令T=T0，则有

(2.11)

因此，根据(H2)得到

即

(2.12)

因(2.12)在t→∞时上极限的结果与条件(2.1)矛盾，则定理1得证.

(2.13)

且

(2.14)

条件(C2)：0≤p(t)≤1，存在φ∈C([t0,∞)，R)，使

(2.15)

且对任意的T≥t0，有

(2.16)

其中φ+(s)=max{φ(s),0}.

当方程(1.1)满足(C2)时，方程(1.1)是振动的.

φ(T)≤ω(T),T≥T0.

(2.17)

定义

则根据(2.11)和(2.17)，可知

(2.18)

现在我们断定有下式成立

(2.19)

否则，假定(2.19)的相反情形

(2.20)

根据(2.13)，存在一个正的常数k1，使得

(2.21)

令k2是任意常数，从(2.20)可知，存在T1,T1≥T0，使得

(2.22)

而且

根据(2.21)，存在一个T2,T2≥T1，使得H(t,T1)/H(t,T0)≥k1，对任意t≥T2，说明Q(t)≥k2y，即

(2.23)

Q(Tn)-P(Tn)≤M.

(2.24)

对任意大的n∈N，由(2.24)确定

(2.25)

另外，由(2.24)表明

(2.26)

因此，由(2.24)和(2.26)，得出不等式

对任意大的n∈N，根据上式和(2.26)

(2.27)

而且有

由(2.18)和(2.20)得到

这与(2.15)矛盾，则定理2得证.

(2.29)

条件(C3):0≤p(t)≤1，存在φ∈C([t0,∞),R)使(2.15)成立，且对任意T≥t0，有

(2.30)

当方程(1.1)满足(C3)时，方程(1.1)是振动的.

(2.31)

当方程(1.1)满足(C4)时，方程(1.1)的解是振动的.而且，假设φ∈C([t0,∞),R)，则(2.15)和(2.30)成立.

[1]C.A.Swanson,Comparison and Oscillation Theory of Linear Differential Equations[J].New York:Academic Press, 1968.

[2]燕居让.常微分方程的振动理论[M].太原:山西教育出版社,1992.

[3]A.Elbert.A half-linear second order differential equation,Colloq[M].Math.Soc.Janos Bolyai:Qualitative Theory of Differential Equations,Szeged,1979:153-180.

[4]H.J.Li,CC.Yeh,Sturmian comparison theorem for half-linear second-order differential equations[J].Proc. Royal Soc.Edinburgh,1995,125A:1193-1204.

[5]J.V.Manojlovi′c,Oscillation criteria for second-order half-linear differential equations[J].Math.Comput. Modelling,1999(30):109-119.

[6]Ch.G.Philos,Oscillation theorems for linear differential equations of second order[J].Arch.Math.Basel, 1989(53):482-492.

[7]Wang,Qi-Ru.Oscillation and asymptotics for second-order half-linear differential equations[J].Appl.Math. Comput,2001(2):253-266.

[8]Wang,Qi-Ru,Yang,Qi-Gui.Interval criteria for oscillation of second-order half-linear differential equations[J].J.Math.Anal.Appl.，2004,291(1):224-236.

[9]Xu Zhi-ting,Liu Xiu-xiang.Philos-type oscillation criteria for Emden-Fowler neutral delay differential equations[J].J.Comput.Appl.Math.,2007,206(2):1116-1126.

[10]Liu Hai-dong.Comment on the paper“Interval criteria for oscillation of second-order nonlinear neutral differential equations”[J]. Comput.Math.Appl.,2008,56(6):1662-1663.

The Oscillation Criteria for a Class of Second-order Neutral Delay Differential Equations

GANG Yong-qiang

(Shude Polytechnic, Foshan Guangdong 528300, China)

Using H(t,s) type function and the generalized Riccati transformation technique, this thesis intended to establish the new oscillation criteria in 0≤p(t)≤1 for a class of second-order neutral delay quasi-linear differential equations of the form

second-order quasi-linear differential equations; oscillation; Riccati transformation technique;H(t,s)type function; neutral; delay

2014-07-30

康永强(1969- )，男 ，甘肃永登人，广东顺德职业技术学院讲师，硕士，从事确定性系统理论与应用研究。

O175

A

2095-7602(2015)02-0001-06

[r(t)|x′(t)|γ-1x′(t)]′+q0(t)|y(t-σ)|γ-1y(t-σ)+q1(t)|y(t-σ1)|α-1y(t-σ1)+q2(t)|y(t-σ2)|β-1y(t-σ2)=0,

x(t)=y(t)+p(t)y(t-τ).