关于高等数学教学中融入数学建模思想的探讨

陈洁

（云南省西双版纳职业技术学院 云南西双版纳 666100）

关于高等数学教学中融入数学建模思想的探讨

陈洁

（云南省西双版纳职业技术学院 云南西双版纳 666100）

在高等数学教学中适当渗透数学建模的思想，创设适当的问题情境，体现从实际问题中抽象出数学模型的过程以及用数学知识解决实际问题的思想方法，也可以从数学建模的角度介绍一些数学的发展过程。可调动学生应用数学知识分析和解决实际问题的积极性和主动性，激发学生学习数学的兴趣和热情。

数学建模思想 数学模型 概念教学 应用问题

一、数学建模在高等数学中的重要作用

数学最显著的特点之一就是其应用极其广泛。在我们日常生活中随处都能找到数学的影子。在社会生活的各个领域，都在运用着数学的概念、法制和结论。很多看似和数学无关的问题都可以运用数学工具加以解决。但很多高职学生由于基础薄弱，学习数学的兴趣不高，不知道数学有什么用途，他们认为数学是枯燥无味的，学习数学就是为了应付考试。而现在数学素养已成为公民文化素质的重要内容，更是大学生不可或缺的基本素质。高等数学教学一个很突出的方面就是培养学生的应用能力。数学模型是沟通实际问题与数学工具之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，实际上就是将数学理论知识应用于实际的过程。

数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，即数学建模。数学建模是指对现实世界的一些特定对象，为了某特定目的，做出一些重要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构，用它来解释特定现象的现实性态，预测对象的未来状况，提供处理对象的优化决策和控制，设计满足某种需要的产品等。从此意义上讲数学建模和数学一样有古老的历史。例如，欧几里得几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数学化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予了更为重要的意义。

二、数学建模思想在高等数学教学中的运用

高等数学教学的重点是提供学生的数学素质，学生的数学素质主要体现为：抽象思维和逻辑推理的能力。如今在一些教材中也渐渐的补充了与实际问题相对应的例子，习题。学生能否对数学产生兴趣，主要依赖于教学过程，与教学内容和教学方法的选择和应用密切相关。因此，教师必须在教法和学法指导上多下功夫，狠下工夫，从数学应用的角度处理数学、阐释数学、呈现数学，以提高学生的数学理论知识和操作水平；必须加强数学应用环节的实践，注重用数学解决学生身边的问题，用学生容易接受的方式展开数学教学，注重学生的亲身实践；必须重视在应用数学中传授数学思想和方法，把培养学生解决实际问题的能力作为教学内容的主线，运用“问题情境——解释与应用”的教学模式，多角度、多层次地编排数学应用的内容，有效地激发学生的学习兴趣。

要加强对学生简历数学模型并利用计算机分析出来时间问题能力的培养和训练。同时大学生自己在学习时也喜欢更多地思考所学知识的价值，喜欢探索一些具有挑战性的问题，喜欢亲自动手操作实践，数学建模正好契合了学生的这种需要。教师可以在高等数学教学中适当渗透数学建模的思想，创设适当的问题情境，体现从实际中抽象出数学建模的过程以及用数学知识解决实际问题的思想方法，也可以从数学建模的角度介绍一些数学的发展过程。这种教学方式调动了学生应用数学知识分析和解决实际问题的积极性和主动性，学生充满了把数学知识和方法应用到实际问题之中去的渴望，从而让学生感受到数学的理论价值、应用价值和文化价值，激发学生学习数学的兴趣和热情。

（一）在概念引入教学中融入建模思想

高等数学中的概念相比初等数学中的概念更为抽象，如极限、连续、导数、定积分等，学生在开始学习这些概念的时候总想知道这些概念的来源和应用，希望在实际问题中找到概念的原型。事实上，在高等数学的微积分概念的形成中本身就渗透着数学建模思想。因此在数学概念的引入时，融人数学建模过程是完全可行的，每引出一个新概念，都应有一个刺激学生学习欲的实例，说明该内容的应用性。在概念引入教学中应创设与概念紧密联系的实际问题情境，让学生了解概念的来龙去脉，同时展现从实际问题中抽象出数学概念的过程，引出数学概念，建立数学模型，体会数学地处理问题的方法。

如在导出定积分的概念时，设计如下教学过程：实际问题：①如何求变速直线运动的路程？于如何求不规则图形的面积？问题提出后引导学生建立模型。先看问题①，如果速度是不变的，那么，路程＝速度×时间。问题是这里的速度不是一个常数，所以上述公式不能用。我们可以这样考虑：把时间段分为许多小区间，当时间段分割的足够小时，由于速度的变化是连续的，可以认为各小区间段内的速度是匀速的，即小区间内的速度看作是一个常数，用这一小段的时间乘速度就是这一小段的近似路程，把所有小段时间的路程加起来就得到路程的近似值，要想得到精确的值，就要把分割无限地加细，使每个小区间段的长度都趋于零，这时所有小区间段上的路程之和的极限就是所求的路程。再看问题于，求不规则图形的面积，归结为求曲边梯形的面积的问题，类似问题①的分析，通过分割、近似、求和、取极限转化为一个和式的极限：若该极限存在，则称此极限值为函数在区间上的定积分，从而抽象出定积分的概念。

（二）在应用问题教学中渗透建模思想

培养学生数学应用能力是高职数学教育的根本任务，是数学教学目的中的重要内容。数学应用能力是一种综合能力，它离不开数学运算、数学推理、空间想象等基本的数学能力。应把应用问题的渗透和平时教学有机结合起来，循序渐进。在数学应用意识和能力的培养中，应特别重视学生探索精神和创新能力的培养，把数学应用问题设计成探索和开放性试题，让学生积极参与，在解题过程中充分体现学生的主体地位。在运用数学知识去解决实际问题时，首先要建构实际问题的数学建模，然后用数学理论和方法找出结果并用于实际，这样既可解决实际问题，又能促进数学新思想、新理论的建立和发展。因此“数学建模”是沟通数学理论与实际的中介和桥梁，培养学生“数学建模”能力是培养学生数学思维和应用能力的重要手段，在教学过程中穿插建模能力训练对现实是十分必要的。培养学生建模能力是一种循序渐进的过程，开始应从简单问题入手，师生共同创建模型，引导学生初步掌握应用数学形式建构模型的方法，培养学生积极参与和勇于创造的意识。随着学生能力和经验的增加，可通过实习作业或小组活动的形式，由学生展开分析讨论，分析每种模型的有效性，提出修改意见，讨论是否有进一步扩展的意义。这样可以纠正学生理解上存在片面性的问题，在不断发展、不断创造中培养信心。虽然高职学生的数学基础知识对于某些数学模型的建立略显不够。但只要花很短的时间补一下，还是可以解决问题的，关键是培养学生如何将所学数学理论与实践相结合的能力。

例如，“微元法”是高等数学中最基本、最重要、最有实用价值的思想与方法之一，是高等数学得以广泛应用的基础，也是应用微积分描述实际问题，构成数学模型的基础。我们在教学实践中也发现许多工科的学生对利用“微元法”思想解决实际问题这部分内容很感兴趣。因此，要将它贯穿于课程教学的全过程。通过结合几何学、物理学、经济学、生命科学及军事科学的大量实例，加深对高等数学的历史与现实背景的理解，增强应用数学去理解、描述实际问题的能力，培养数学建模的初步能力。导数的应用可安排讲些诸如瞬时速度、切线斜率、边际利润、边际成本等求实际问题的例子；极值问题部分内容可讲些资源管理、最大利润、造价最低、征税问题等；微分方程一章除了介绍课本中物理、几何等方面的应用题外，还可以插入生物增长模型、生物竞争模型等例子，这样可以使学生在较简单的实际问题中提炼微分方程，并且求解。以存贮模型为例，可设置如下的教学案例。

现实问题：已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。问题分析与思考：日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。先从具体入手：若每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元，则每天费用5000元；若10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100＝4500元，准备费5000元，总计9500元，则平均每天费用950元；若50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100＝122500元，准备费5000元，总计127500元，则平均每天费用2550元。那么，是否10天生产一次平均每天费用最小?

现分析如下：若生产周期短，则每个周期产量小，贮存费少，但准备费多；若生产周期长，则每个周期产量大，准备费少，但贮存费多。因此，存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小，这是一个优化问题，需要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系，关键是建立目标函数。这显然不能用一个周期的总费用作为目标函数，目标函数应为每天总费用的平均值。

模型假设：①产品每天的需求量为常数；于每次生产准备费为,每天每件产品贮存费为；③天生产一次（周期），每次生产件，当贮存量为零时，件产品立即到来（生产时间不计）；④为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。

把数学建模的思想引入高等数学的教学中，其主要目的是通过数学建模的过程来使学生进一步熟悉基本的教学内容，培养学生的创新精神和科研意识，提高学生应用数学解决问题的思想和方法。

总之，数学建模解决问题的实质是学生运用数学的思想、观点、方法等与客观世界相互作用，最终达到解决实际问题为目的的创造性活动。建模的整个过程是数学应用能力的综合体现，也为培养学生这方面的能力提高了一个有益的途径。在高等数学教学中渗透建模思想不但能够激发大学生数学学习的兴趣，体会数学的实用价值，而且能够发展大学生的辩证逻辑思维、创造性。