分数阶超混沌系统的完全状态投影同步

颜闽秀, 王　哲

(沈阳化工大学 信息工程学院, 辽宁 沈阳　110142)



分数阶超混沌系统的完全状态投影同步

颜闽秀, 王哲

(沈阳化工大学 信息工程学院, 辽宁 沈阳110142)

摘要:应用分数阶系统稳定性理论,设计了一个新的非线性控制器,实现了分数阶超混沌系统的完全状态投影同步.该方法理论严格,设计简单,能够实现任意比例因子的完全状态同步.数值仿真结果验证了方法的有效性.

关键词:分数阶; 超混沌系统; 投影同步; MATLAB仿真

早在20世纪80年代,Fujisaka和Yamada等人最早对混沌同步进行了研究. 1990年,美军实验室的Pecora和Carroll首次提出了混沌同步的理论并在电路设计实验中实现且观察到了混沌同步的现象[1].之后,各国的科学工作者对混沌同步理论进行了更加深入的研究和实验.如今,混沌同步研究已取得了丰硕的成果,特别是在保密通信、生物医学工程、化学以及信息科学等很多学科中有着重要的应用[2].这些成果主要是针对整数阶混沌系统的同步,人们从不同的角度实现了不同类型的混沌同步,如完全同步[3]、广义同步[4]、投影同步[5]、反同步[6]等.

分数阶微积分理论已有300多年的历史,但很长时间没有实际的应用背景,导致发展缓慢[7]. 在整数阶非线性系统上的研究成果很多[8].近几年来,随着对分数阶非线性系统的基本特性以及分数阶非线性系统稳定性的研究,分数阶混沌系统的控制与同步方面取得了不少进展. 由于应用的推广,分数阶微积分得到了比较大的发展,已被广泛应用于数理科学、化学、工程科学等诸多领域[9-10].但由于缺乏分数阶非线性系统的稳定理论,现有的分数阶非线性系统包括分数阶混沌系统的稳定和同步,基本都是基于主动控制的策略,而且对于分数阶超混沌系统的同步的研究不是很丰富. 本文主要基于分数阶系统稳定性原理,构造了相应的非线性控制器,实现了超混沌系统的完全状态投影同步. 此种方法可以有效地消去非线性系统的非线性部分,可以使得系统中的信号更容易跟踪,从而更简捷地处理非线性系统的同步问题.

1分数阶混沌系统数学模型

设q阶分数阶混沌系统作为驱动系统:

(1)

式中,x(t)∈Rn为驱动系统的状态矢量,A∈Rn×n,B∈Rn×m,f:Rn→Rm(m≤n)为非线性映射,Ax为分数阶驱动混沌系统的线性部分,Bf(x)为分数阶驱动混沌系统的非线性部分,1

分数阶混沌系统的响应系统为

(2)

式中,U为待设计的响应系统的控制器,A1,B1,f1,q与驱动系统的A,B,f,q表示的意义相同.

分数阶驱动系统和分数阶响应系统的同步误差

(3)

式中,e为系统的误差,α为达到投影同步的比例因子.当α=1时,为完全同步;当α=-1时,为反同步;当α(α≠0)为其他值时,为混合投影同步.

可以看出,完全同步与反同步只是投影同步的特殊情况.

2设计投影同步控制器

引理一般分数阶混沌系统都可以表示成如下形式:

(4)

式中,1

阶数为q的分数阶系统的稳定区域如图1所示,可以看出,对于分数阶非线性系统,如果在平衡点处的Jacobian矩阵的特征值都在稳定区域内,无论状态变量为何值,那么分数阶受控系统的平衡点为稳定的平衡点.

图1　阶数为q的分数阶系统的稳定区域

由e=x-αy可知,动态系统的误差为

(5)

令

(6)

根据主动控制器的设计思路,使用控制器U来消除系统的混沌系统中的非线性部分,同时也能有效地实现驱动系统与响应系统的线性化.于是,控制器可以设计为

(7)

式中,M∈Rn×n为参数矩阵.

证明将式(7)代入式(5),得

(8)

式中,A为系统的系数矩阵,M为参数矩阵.

即

由此可知,误差系统渐近稳定,分数阶驱动系统和响应系统就达到了投影同步,说明了控制器U设计的可行性.

3分数阶超混沌Lorenz系统的完全状态投影同步数值仿真

分数阶超混沌Lorenz系统的形式如下:

(9)

研究表明,当分数阶系统的系数q=0.93时,该系统是超混沌系统.如图2所示.

图2　q=0.93时分数阶Lorenz超混沌吸引子

因此,分数阶超混沌Lorenz系统用式(1)可写成如下形式:

(10)

当q=0.93,投影因子α=0.9,步长为0.001时,对上述驱动系统和响应系统选取初始值为:x1(0)=0.32,x2(0)=0.78,x3(0)=-1.08,x4(0)=-0.65;y1(0)=0.20,y2(0)=0.30,y3(0)=-0.10,y4(0)=-0.40.

对系统的同步误差e=x-αy进行数值模拟仿真,最后得到系统状态误差曲线e1,e2,e3,e4,如图3所示.

图3　分数阶超混沌系统投影同步误差状态曲线

由图3可以看出,在设计的控制器U的作用下,投影同步误差的状态响应曲线在较短的时间里驱动系统与响应系统的误差渐近趋于零,也就是说,误差e按照比例因子实现了投影同步.

4结语

本文主要研究的是分数阶超混沌完全状态投影同步问题,根据分数阶渐近稳定性原理设计了控制器,从而可以将分数阶超混沌系统更简单地运用在同步过程中.针对超混沌Lorenz系统的不确定性和随机性为驱动系统和响应系统,通过实现数值仿真可以达到投影同步,验证了控制器设计的可行性和有效性.

参考文献:

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[ 2 ] 王晓燕,瞿少成,田文汇,等. 异结构混沌系统同步及其在保密通信中的应用[J]. 计算机应用研究, 2009,26(5):1874-1876.

(WangXiaoyan,QuShaocheng,TianWenhui,etal.SynchronizationofDifferentStructureChaoticSystemsanditsApplicationinSecureCommunication[J].ApplicationResearchofComputers, 2009,26(5):1874-1876.)

[ 3 ] 张广军,董俊,姚宏,等. 分数阶Chen混沌系统的完全同步与反相同步[J]. 应用力学学报, 2013,30(2):201-205.

(ZhangGuangjun,DongJun,YaoHong,etal.TheCompleteSynchronizationandAnti-phaseSynchronizationoftheFractional-OrderChenChaoticSystem[J].ChineseJournalofAppliedMechanics, 2013,30(2):201-205.)

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(YanMinxiu,FanLiping.ActiveAdaptiveSlidingModeModifiedProjectiveSynchronizationoftheChaoticSystems[J].ProcessAutomationInstrumentation, 2013,34(2):23-25,29.)

[ 6 ]HoMC,HungYC,ChouC.PhaseandAnti-phaseSynchronizationofTwoChaoticSystemsbyUsingActiveControl[J].PhysicsLettersA, 2002,296(1):43-48.

[ 7 ] 赵灵冬,胡建兵,刘旭辉. 参数未知的分数阶超混沌Lorenz系统的自适应追踪控制与同步[J]. 物理学报, 2010,59(4):2305-2309.

(ZhaoLingdong,HuJianbing,LiuXuhui.AdaptiveTrackingControlandSynchronizationofFractionalHyper-ChaoticLorenzSystemwithUnknownParameters[J].ActaPhysicaSinica, 2010,59(4):2305-2309.)

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(GuoXianggui.DynamicOutputFeedbackH∞ControllerDesignforaClassofContinuous-TimeNonlinearSystems[J].JournalofShenyangUniversity:NaturalScience, 2012,24(5):62-68.)

[ 9 ]BensonDA,WheatcraftSW,MeerschaertMM.ApplicationofaFractionalAdvection-DispersionEquation[J].WaterResourceResearch, 2000,36(6):1403-1412.

[10]LiWanglong,ChangKuoming.RobustSynchronizationofDrive-ResponseChaoticSystemsviaAdaptiveSlidingModeControl[J].Chaos,Solitons&Fractals, 2009,39(5):2086-2092.

【责任编辑: 李艳】

Full State Projective Synchronization of Fractional Order Hyperchaotic System

YanMinxiu,WangZhe

(College of Information Engineering, Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang, 110142, China)

Abstract:Based on the stability theory of the fractional order system, a new nonlinear controller was designed to achieve the full projective state synchronization of fractional order hyperchaotic system. This method is simple and theoretically rigorous, which is capable to realize a full state synchronization of arbitrary scaling factor. Finally, simulation studies have verified the effectiveness of the method.

Key words:fractional-order; hyperchaotic systems; projective synchronization; MATLAB simulation

收稿日期:2014-12-03

中图分类号:TP 391

文献标志码:A

作者简介:颜闽秀(1972-),女,福建仙游人,沈阳化工大学副教授.

基金项目:国家自然科学基金资助项目(61143007); 国家科技支撑计划资助项目(2012BAF09B01).

文章编号:2095-5456(2015)02-0135-04